2018_2019学年高中数学第三章推理与证明2数学证明教案（含解析）北师大版.docx

2数学证明数学证明看下面两个命题：(1)三角函数都是周期函数，ytan x是三角函数，所以ytan x是周期函数；(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？提示：一般性道理问题2：第二句又说什么？提示：特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一般性道理对特殊示例作出判断1演绎推理的一般模式三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提：一般性道理；小前提：研究对象的特殊情况；结论：由大前提和小前提作出的判断2合情推理与演绎推理的关系合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础1数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提2三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题结论3三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确把演绎推理写成三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB.(2)以an2n3为通项公式的数列an为等差数列思路点拨首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来精解详析(1)等腰三角形两底角相等， 大前提A，B是等腰三角形的两底角， 小前提AB. 结论(2)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列， 大前提通项公式an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)， 小前提以an2n3为通项公式的数列为等差数列 结论一点通三段论由大前提、小前提和结论组成大前提提供一般性原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般性原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的1推理“矩形是平行四边形；正方形是矩形；正方形是平行四边形”中的小前提是()ABC D和解析：选B是大前提，是小前提，是结论2“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”此推理的大前提为()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等答案：B3用三段论的形式写出下列演绎推理(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数(2)奇函数f(x)若在x0处有定义，则必有f(0)0.现有f(x)x，xR是奇函数，则有f(0)0.解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提)34能被2整除， (小前提)所以34是偶数 (结论)(2)奇函数f(x)若在x0处有定义，则必有f(0)0，(大前提)f(x)x，xR是奇函数，且在x0处有定义， (小前提)则有f(0)0.(结论)演绎推理的判断例2指出下面推理中的错误：(1)自然数是整数， 大前提6是整数， 小前提所以，6是自然数 结论(2)中国的大学分布在中国各地， 大前提北京大学是中国的大学， 小前提所以，北京大学分布在中国各地 结论(3)三角函数是周期函数， 大前提ysin x(0x)是三角函数， 小前提ysin x(0x)是周期函数 结论思路点拨判断三段论推理是否正确，必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：所有M都是P，S是M，则S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范精解详析(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同一点通判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确4某人进行了如下的“三段论”：如果f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是函数f(x)x3的极值点你认为以上推理的()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确解析：选A若f(x0)0，则xx0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点，故大前提错误5观察下面的演绎推理过程，判断正确的是()大前提：若直线a直线l，且直线b直线l，则ab.小前提：正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1AA1，且ADAA1.结论：A1B1AD.A推理正确B大前提出错导致推理错误C小前提出错导致推理错误D仅结论错误解析：选B由la，lb得出ab只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误.用三段论证明几何问题例3如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理思路点拨证明EDAF，可证明四边形AEDF为平行四边形精解详析因为同位角相等，两条直线平行， 大前提BFD与A是同位角，且BFDA， 小前提所以FDAE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提DEBA，且FDAE， 小前提所以四边形AFDE为平行四边形 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提所以EDAF. 结论一点通(1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论6已知ABC中，A30，B45，求证：ab.证明：A30，B45，AB.ab.此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是_解析：大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角”的一个结论答案：在ABC中，若AB，则asin”，上述推理中，大前提为_，小前提为_，结论为_答案：ysin x是区间上的增函数，且sinsin9已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性解：设0x1x2，则f(x1)f(x2) (x2x1).当0x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减少的当x2x1时，则x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是增加的1应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提但为了叙述简洁，如果大前提是人们熟知的，则可以省略不写2合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是：推理方式意义主要形式结论的真假合情推理认识世界、发现问题的基础归纳推理、类比推理不确定演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真1下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式故选B.2“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是()A小前提错B结论错C正确的 D大前提错解析：选C大前提，小前提，推理形式都正确，结论正确3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()Aa2b2c2 Ba2b2c2Ca2b2c2 Da2b2c2解析：选C由cos A0，b2c2a20，a2b2c2.4在证明f(x)2x1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是大前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是()A BC D解析：选A根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)2x1满足增函数的定义；结论是f(x)2x1为增函数，故正确5.如图，l，P，POl交l于O，则可以得到的结论是_解析：由面面垂直的性质定理知PO.答案：PO6函数y2x5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_；小前提：_；结论：_.答案：一次函数的图像是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图像是一条直线7已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b0， (小前提)所以，mbma. (结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mbma， (小前提)所以，mbabmaab，即b(am)a(bm)， (结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提)b(am)0， (小前提)所以，即. (结论)8.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C，AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1BAD；(2)求证：CE平面AB1D.证明：(1)如图，连接A1D，DG，BD，三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，四边形A1ABB1为正方形，A1BAB1.D是C1C的中点，A1C1DBCD，A1DBD.G为A1B的中点，A1BDG.又DGAB1G，A1B平面AB1D，又AD平面AB1D，A1BAD.(2)连接GE，EGA1A，DCAA1，GEDC.G