数学解题过程与解题教学.ppt

数学解题过程与解题教学,一、 数学解题过程 1、数学问题的分类 数学问题具有客观和主观两个方面。 问题的客观方面是指问题的语言陈述，也就是通常意义下的数学题。 问题的主观方面是指解题者对问题的理解，主要包括问题的起始状态、目标状态和达到目标状态的途径，解题者对数学题的理解可以称为问题空间。 虽然问题的语言陈述是相同的，但是不同的解题者对问题的理解会有很大的不同，即不同的解题者形成不同的问题空间类型。因此我们可以将数学题和人看成一个系统，依据解题者形成的问题空间类型来划分数学问题。,（1）标准题,如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标状态，达到目标的途径，那么解题者形成第一类问题空间类型，相对于解题者而言，这个数学题称为标准题。,（2）变式题,如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标状态，达到目标的途径，但是解题者还需要从两种或两种以上达到目标状态的途径中进行选择，那么解题者形成第二类问题空间类型，相对于解题者而言，这个数学题称为变式题。,（3）探究题,如果解题者明确某个数学题的起始状态和目标状态，但不知如何到达目标，那么解题者形成第三类问题空间类型，相对于解题者而言，这个数学题称为探究性题。,（4）开放题,如果解题者只明确数学题的起始状态，或目标状态，或达到目标状态的途径而且只明确一个，那么解题者形成第四类问题空间类型，相对于解题者而言，此数学题是开放性题。,实验1,阅读题后立即报告该题的解题方法。,实验2,阅读题后立即报告该题的解题方法。,实验3,阅读题后立即报告该题的解题方法。,实验4,阅读题后立即报告该题的解题方法。 给出三张图，每个图中画出五个点，问哪张图中的五个点从整体上看散度最小，为什么？,2、数学解题过程分析,（1）波利亚的怎样解题表 乔治波利亚(George Polya，1887-1985)美籍匈牙利数学家。先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学，获布达佩斯大学哲学博士学位，是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。,（1）波利亚的怎样解题表,作为数学教授的波利亚为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他很早就开始探索数学中的发明创造，利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，直到1944年才发展为名著怎样解题一书。该书出版后，被译成多种文字，直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典，波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜，在全世界广为流传。,第一 你必须弄清问题,弄清问题 未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图。引入适当的符号。 把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？,第二 找出已知数与未知数之间 的联系,如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。 你应该最终得出一个求解的计划。,第二 找出已知数与求知数之间 的联系,拟定计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?,第二 找出已知数与未知数之间 的联系,拟定计划 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ 回到定义去。,第二 找出已知数与未知数之间 的联系,拟定计划 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？,第二 找出已知数与未知数之间 的联系,拟定计划 你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？,第二 找出已知数与未知数之间 的联系,拟定计划 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？,第三 实行你的计划,实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？,第四 验算所得到的解,回顾反思 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？ 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？,解题过程的四个阶段,问题的理解、制定解题方案、执行解题方案、评价和调整。 不一定完全按上述顺序进行，经常是从后一阶段返回到前一阶段。如果执行解题操作有困难，可能返回第一阶段，即对问题的条件状态、目标状态进行重新的理解，也可能返回第二阶段重新制定解题的方案。,（2）解标准题的过程,解标准题的过程是模式再认的过程 模式：问题条件的外在特征或本质特征、典型范例或典型范例中的关键词。 通过模式识别，激活相应操作的条件，从而执行有关的操作，直至达到问题的目标状态。,（3）解变式题的过程,由于变式题是对熟悉了的模式作形式上的变化，即对标准题增设了干扰因素，这就要求解题者逐步摆脱已有解题操作（或解题程序）的束缚以适应问题情境的变化。,（3）解变式题的过程,由于通用的解题操作（或解题程序）总是暗中支配和制约解题者的行为，所以要适应问题的变化，解题者必须学会评价解题中的中间成果和调整自己的思维，即学会评价一种解题操作是否可行。如果某种解题操作行不通或会造成复杂的运算等，则需要解题者能够及时转换思维，如重新认识问题的条件或问题的目标，以找到新的解题途径。因此与解标准题不同的是，解变式题的过程增加了评价和调整两个中间环节。,（3）解变式题的过程,解变式题可以实现从数学基本知识和基本技能的学习向探究活动的过渡，是解题学习的一个重要阶段，有别于标准题的解题过程。,（3）解变式题的过程,解变式题时，解题者为了适应新问题，开始注意问题的本质结构，对执行解题操作的条件更加敏感，应用策略技能的发展使解题者从对数学题所含信息的加工开始转向对自身认知活动本身的认识，所以在问题的认知方式上发生了重要变化。,（4）解探究题的过程,解探究题的过程是新途径的发现过程。发现过程是指解题者通过积极的思维，在向着目标状态逐步逼近的的进程中能有意识地揭示问题的潜在联系的过程。,（4）解探究题的过程,有研究认为，解变式题更多地受原型的指引和影响，而解探究题主要依赖解题者对复杂多变的情况进行抉择，通过分析、引申和适当的转换变通寻求可解的途径。要求能针对问题自身的特征，灵活地选择和支配知识，显示出创造性思维的特征。,二、数学解题教学,数学解题教学包括数学例题教学和数学习题教学。例题教学是以教师为主导，引导学生将已学习的概念、命题应用于解决数学问题所提供的一种示范性活动；习题教学则是以学生为主体，依照或模仿例题，自己将已学习的数学知识应用于解决数学问题的实践性活动。数学解题教学是数学教学中的一项重要内容。,1解题教学的意义和功能,（1）通过解题活动，学生不仅可以加深对所学知识的理解，而且还能达到训练逻辑思维的目的，根据不同的教学目标编拟不同类型的题目，能够培养学生的思维品质，提高智能和发展能力。,1解题教学的意义和功能,(2)数学概念、公式、法则、定理等是为了解决问题才产生和发展的，而用它们去解决问题却需要一定的技能，这种技能只有通过解题活动才能掌握，因此，解题教学能够帮助学生形成解决问题的技能。,1解题教学的意义和功能,(3)初学数学概念、定理、公式及法则时很容易造成对知识理解不深入，甚至产生错误的理解，而这些错误能充分地在解题活动中暴露出来，通过解题教学，教师能及时纠正和澄清学生的错误观念，使他们能正确和完整地掌握知识。,1解题教学的意义和功能,(4)通过解题教学以及对学生的解题作业分析，可以