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文档简介
分类讨论思想,一. 数学思想方法的三个层次:,分类讨论思想,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。 分类必须有一定的标准,标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏,不重复。分类后,对每个类进行研究,使问题在各种不同的情况下,分别得到各种结论,这就是讨论。,分类讨论思想,分类讨论是对问题深入研究的思想方法,用分类讨论的思想,有助于发现解题思路和掌握技能技巧,做到举一反三,触类旁通。 分类的思想随处可见,既有概念的分类:如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类;又有解题方法上的分类,如代数式中含有字母系数的方程、不等式;还有几何中图形位置关系不确定的分类,等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。,一.与概念有关的分类,1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6,相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ,则这个函数的解析式 。,解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3,2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点,求a的值与交点坐标。,二.图形位置的分类,如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,探索题1:,探索题:,在下图三角形的边上找出一点,使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形!,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,(分类讨论),3. 如图,直线AB经过圆O的圆心,与圆O交于A、B两点,点C在O上,且AOC=300,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与圆O相交于点Q,问点P在直线AB的什么位置时,QP=QO?这样的点P有几个?并相应地求出OCP的度数。,解:OQ=OC,OQ=QP OQC=OCQ,QOP=QPO 设OCP=x0 , 则有:,(3)如图,当点在的延长线上时, OQC=OCQ=1800, OPQ= (1800x)= x. 又QCO=CPO+COP,1800x=x+300 解得x=1000 即OCP=1000,(4)如图当在的延长线上时, OQC=OCQ=x,OQC=QPO+QOP, QPO= OQC= x, 又COA=OCP+CPO, 解方程30=x+ x, 得到x=200 即OCP=200,4在半径为1的圆O中,弦AB、AC的长分别是 、 , 则BAC的度数是 。,5ABC是半径为2cm的圆的内接三角形, 若BC=2 cm,则角A的度数是 。,C,A,B,C,6在ABC中,C=900,AC=3,BC=4。若以为圆心,为半径的圆与斜边只有一个公共点,则R的值为多少?,7.半径为R的两个等圆外切,则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个?,8、在一张长为9厘米,宽为8厘米的矩形纸板上,剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余两个顶点在矩形的边上),请你计算剪下的等腰三角形的面积?,解:分三种情况计算: 当AE=AF=5厘米时(图一),当AE=EF=5厘米时(图2),当AE=EF=5厘米时(图3),三.与相似三角形有关的分类,9.在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0x6)那么: (1)当t为何值时,QAP为等腰直角三角形? (2)求四边形QAPC的面积; 提出一个与计算结果有关的结论; (3)当t为何值时,以点Q、 A、P为顶点的三角形与ABC相似?,解:对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t, QA=6,当=AP时,QAP为等腰直 角三角形,即6t=2t,解得t=2(秒),(3)根据题意,可分为两种情况来研究 在矩形ABCD中:当 = 时,QAPABC,则 = , 解得t= =1.2秒。所以当t=1.2秒时,QAPABC。 当 = 时,PAQABC,则 = , 解得t=3(秒)。所以当t=3秒时,PAQABC。,(2)在QAC中,S= QADC= ( 6t)12=36 在APC中,S= APBC= QAPC的面积S=(6t)+6t=36(cm2) 由计算结果发现:在P、Q两点移动的过程中, 四边形QAPC的面积始终保持不变。,10。已知二次函数的图像与轴交于、两点(点在点的左边),与轴交于点,直线( )与轴交于点。 ()求、三点的坐标; ()在直线( )上有一点(点在第一象限),使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似,求点的坐标。,解(1)A(1,0),B(1,0),C(,2),当 PDB COB时, 有P(m, 2m2);,(2) 当 PDB BOC时, = 有(, ),11. 如图所示,在直角梯形ABCD中,AD/BC,,AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为(秒)。 (1)设BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式; (2)当线段PQ与线段AB相交于点O,且BO=2AO时,求,(3)当t为
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