《平面图形的面积》PPT课件.ppt

,二、平面图形的面积,一、定积分的元素法,三、微元法求体积,四、平面曲线的弧长,第五节 定积分在几何上的应用,本节重点： 定积分的元素法 直角坐标系下求面积 极坐标系下求面积 微元法求旋转体的体积 微元法求平面曲线的弧长,本节难点：定积分的元素法,返回,一、定积分的元素法,设f(x)在区间a,b上连续且 ,求以曲线y=f(x)为曲边，以a,b为底的曲边梯形的面积，这个面积可表示为定积分：,其步骤为： （1）分割：用任意一组分点把区间a,b分成长度为xi(i=1,2,n)的n个子区间xi-1,xi,相应地把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为 , 于是有,（2）取近似值：第i个窄曲边梯形的面积 近似等于以 为底、以 为高的窄矩形面积， 即 （3）求和：则曲边梯形的面积A近似等于n个窄矩形面积的和，即 （4）取极限：,为计算简便，可将上述四步简化为两步： 以 代替区间 上的任意一个子区间 , 以 的左端点x代替 ,以dx代替 ,于是 上对应的窄矩形面积可表示为 ,即 称 为面积元素（或面积微元），记为dA. (2) 以 为被积表达式，在区间 上作定积分，得 这种方法通常叫做元素法（或微元法）.,返回,下面我们将用这个方法讨论平面图形的面积及立体的体积,二、平面图形的面积,1.直角坐标情况,(1) 设由 曲线 直线 围成平面图形(图5-1)，其面积元素 于是,（2）设由曲线 及直线 围 成 的平面图形（图5-2），其面积元素为 ， 于是,图5-2,（3）设由曲线 及直线 围成的平面图形（图5-3），其面积元素为 ， 于是,例1 计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积。,解法一 画出图形（图5-4）,联立两曲线方程 得交点,选择横坐标x为积分变量, . 对应于子区间 上的小矩形面积为 ,图5-4,解法二 选择纵坐标y为积分变量， 。 对应于 上的小矩形面积为 ， 即面积元素 于是,即面积元素 于是,例2 求由抛物线 及直线 所围成的平面图形的面积.（如图5-5）,解 由联立方程 得交点 .,选择y为积分变量， .在 上任取子区间 ，其上相应小矩形面积为 于是,图5-5,（8，4）,-2,4,8,若选择x为积分变量， .但当子区间 取在 中时，面积元素为 ； 而当子区间 取在 中时， 面积元素为,（2，-2）,因此积分区间需分成 和 两部分， 即所给图形由直线x=2分成两部分 及 ， （如图5-6）,（8，4）,图5-6,显然，比较两种算法可见，取y为积分变量要简单得多。因此，对具体问题应选择积分简便的算法。,返回,则有,2. 极坐标情形 某些平面图形，用极坐标计算他们的面积比较简便.,由曲线 与两射线 所围成的图形（如图5-7），称为曲边扇形。下面用元素法求它的面积A.,用从原点O出发的射线将曲边扇形分割成小曲边扇形，相应于 上的小曲边扇形的面积近似等于以 为半径， 为圆心角的扇形面积 ， 即面积元素 于是,例3 求心形线 所围成平面图形的面积A。,解：由图形（如图5-8）的对称性可得 = = =,返回,图5-8,三、用微元法求体积,1 平行截面面积为已知的立体体积,设一物体被垂直于某直线的平面所截的平面可求，则该物体可用微法求体积.,不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面积A(x)是x的已知连续函数,求该物体介于x=a和x=b（ab）之间的体积。,在x, x+dx上视A(x)不变，即把x, x+dx上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱体，于是得体积微元 于是,例1 设有底圆半径的的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积。,解 取坐标系如图5-9，则底圆方程为,在x处垂直于x轴做立体截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 及 ，即 及 ，其面积为,从而得楔形体积为,2 旋转体的体积,(1) 由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体叫做旋转体(如图5-10).现在求它的体积V.,用垂直于x轴的平行平面将旋转体截成几个小旋转体，所得截痕都是圆。取x为积分变量，xa，b。在a，b内的任一小区间x，x+dx上小旋转体的体积近似等于以f(x)为底圆半径，以dx为高的小圆柱体的体积，即得体积微元 于是旋转体体积,图5-10,例4证明底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为 。,解：如图5-11所示，设圆锥的旋转轴重合于x轴， 即圆锥是由直角三角形ABO绕OB旋转而成。 直线OA的方程为 .,取x的积分变量，x 0, h, 相应于0, h上任一小区间 x, x+dx的薄片的体积 近似等于底半径为x, 高为dx 的圆柱体的体积，,图5-11,即体积微元为,例5计算由椭圆所围成的圆形绕x轴旋转而成的旋转体（叫旋转椭球体）的体积（如图5-12）。,解：这个旋转体可以看成是 x轴上方的半个椭圆 与x轴围成的图形绕X轴旋转 而成的立体。,于是，所求圆锥的体积为,图5-12,取x为积分变量，x-a,a,则体积元素为： . 于是,特别当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a的球体，它的 体积为 .,(2) 由曲线 ,直线y=c、y=d (cd)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体（图5-13）的体积为,例6设平面图形由曲线y=2与直线x=1及y=0所围成。 试求此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体（图5-14） 的体积。,图5-13,图5-14,即,返回,解。图所给旋转体的体积V可看作是由矩形OABC绕y轴旋转所得的柱体体积 ,减去由 、直线x=0及y=2所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积 ,四、平面曲线的弧长,在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除圆弧外）长度的计算比较困难，现在就讨论这一问题。,计算曲线y=f(x)上相应于从x=a到x=b的一段弧的长度.如图5-15所示.,在a,b上任取一子区间x, x+dx, 相应小弧度 的长度可以用曲线在点M（x,f (x)）处的切线上相应的小直线段MT近似代替，,M