中考数学命题研究第三编综合专题闯关篇专题四线段和的最小值问题习题.docx

专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度,中考重难点突破) 线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使APBP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB的长度即为APBP的最小值 如图，在等边三角形ABC中，AB2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BPPE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求作的点P，故BPPE的最小值为_(2)实践运用如图，已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，则BPAP的最小值为_ (3)拓展延伸如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，点N，使PMPN的值最小，保留作图痕迹，不写作法【解析】(1)利用作法得到CE的长为BPPE的最小值；由AB2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CEAB，BCEBCA30，BE1，再根据含30的直角三角形三边的关系得到CE的长度CE的长为BPPE的最小值在等边三角形ABC中，AB2，点E是AB的中点，CEAB，BCEBCA30，BE1，CEBE.故答案为；(2)过B点作弦BECD ，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BPAP的最小值 【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图，过B作弦BECD，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB.BECD，CD平分BE，即点E与点B关于CD对称的度数为60，点B是的中点，BOC30，AOC60，EOC30，AOE603090，OAOE1，AEOA，AE的长就是BPAP的最小值故答案为； (3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图.1(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BMMN的最小值是( B )A10 B8 C5 D6,(第1题图) ,(第2题图)2(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM1，N为对角线AC上任意一点，则DNMN的最小值为( B )A3 B5C6 D无法确定 3(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PMPN的最小值是( B )A2 B1 C. D.4(2016原创)几何模型： 条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PAPBAB的值最小(不必证明)模型应用：(1)如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接PE，PB，则PBPE的最小值是_；(2)如图，O的半径为2，点A，B，C在O上，OAOB，AOC60，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；(3)如图，AOB30，P是AOB内一点，PO8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求PQR周长的最小值 解：(1)；(2)如图，延长AO交O于点A，则点A，A关于直线OB对称，连接AC与OB相交于点P，连接AC.OAOC2，AOC60，AOC是等边三角形，AC2.AA4，ACA90，PAPCPAPCAC2，即PAPC的最小值是2； (3)如图，分别作P点关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点Q，交OB于点R，OPOP1OP2，P1OBPOB，P2OAPOA，P1OP22AOB60，P1OP2是等边三角形，P1P2OP8，三角形PQR的周长PRPQRQP1RP2QRQP1P28，即PQR的周长的最小值为8.5(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中BAC45，ACD30，点E为CD边上的中点，连接AE，将ADE沿AE所在直线翻折得到ADE，DE交AC于F点若AB6 cm.(1)AE的长为_4_cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DPEP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D到BC的距离 解：(1)4；(2)RtADC中，ACD30， ADC60. E为CD边上的中点， DEAE, ADE为等边三角形将ADE沿AE所在直线翻折得ADE, ADE为等边三角形， AED60， EACEADDAC30， EFA90， 即AC所在的直线垂直平分线段ED， 点E，D关于直线AC对称， 连接DD交AC于点P, 此时DPEP值为最小，且DPEPDD， ADE是等边三角形，ADAE4， DD2AD2612, 即DPEP最小值为12 cm；(3)连接CD，BD，过点D作DGBC于点G, AC垂直平分线ED， AEAD，CECD， AEEC，ADCD4， 在ABD和CBD中，ABDCBD(SSS), DBG45， DGGB, 设DG长为x cm，则CG长为(6x)cm，在RtGDC中，x2 (6x)2 (4)2 , 解得x13，x23(不合题意舍去), 点D到BC边的距离为(3)cm. 6(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，AD12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD3.(1)求MP的值；(2)在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合，当AF等于多少时，MEF的周长最小？(3)若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ2，当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值(计算结果保留根号)解：(1)MP5；(2)如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，则点F即为所求， 过点E作ENAD，垂足为N.AMADMPPD15534，AMAM4.矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，CEPMEP，而CEPMPE，MEPMPE，MEMP5，在RtENM中，MN3，NM11.AFNE，AFMNEM，即，解得AF，即AF时，MEF的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M是点M关于AB的对称点，连接MG，在EN上截