浅析统计资料的综合

第2章 统计资料的综合（Data Summarization） 通过统计表和统计图对统计资料进行分析，虽然有了一定的认识，但还是不能准确地掌握一组数据的特征。要想深刻地认识一组数据，还要掌握数据的数字特征（特征数）。首先给一个例子，看分析数据特征数的重要性。然后介绍累计求和运算规则，数据的数字特征。特征数分四类：（1）集中位置；（2）分散程度；（3）分布特征。2.1 实例（例7）当前活期储户的账面余额是多少？平均余额是多少？有些什么特征？这些信息是银行随时要掌握的。某分理处随机抽取了1000个活期储户的账面余额值，部分数据如下： 135.75,181.09,227.46,231.87,354.02,434.48,494.18,506.88,538.96,551.29,601.85,602.5,622.54,630.94,654.86,658.48,668.70,711.49,712.20,712.29,722.25,736.43,740.69,743.92,777.55,806.45,830.01,835.71,838.49,844.65,846.84,884.69,891.89,900.65,911.38,1013.86,1027.49,1029.32,1037.73,1057.03,1057.51,1072.03,1076.54,1080.39,1082.55,1091.71,1097.73,1112.2,1112.86,1121.89,1123.6,1124.67,1131.4,1137.52,1148.68,1155.39,1157.24,1183.82,1185.92,1188.09,1199.08,1221.5,1232.4,1277.3,1277.64,1283.67,1302.32,1313.67,1317.52,1319.89,1324.23,1324.35,1341.12,1341.00, 。整理后的分布图和相关信息如下。 2.2 累计求和运算规则。求和算子定义：对于T个观测值，x1, x2, , xT，求和可以简化地表示为x1 + x2 + + xT = 其中称作求和算子。求和算子的运算规则如下： 变量观测值倍数的和等于变量观测值和的倍数。 = k x1 + k x2 + + k xN = k (x1 + x2 + + xN ) = k 两个变量观测值和的总和等于它们分别求总和后再求和。= x1 + y1+ x2 + y2 + + xN + yN = (x1 + x2 + + xN) + ( y1+ y2 + + yN)= + T个常数求和等于该常数的T倍。 = k + k + k = kT 其中k是常数。 N个 定义双重求和为 = xi1 + xi 2 + + xiT) = (x11 + x12 + + x1T) + (x21 + x22 + + x2T) + + (xT1 + xT2 + + xTT) 两个变量和的双重求和等于它们各自双重求和的和。 = +2.3 描述数据集中位置的特征数。用频数分布表与统计图可以展示数据分布的大概特征。为更准确的描述数据的特征，有必要采用一些数值，称这些数值为特征数。 （1）算术平均数（属于描述集中位置的特征数） 算术平均数定义：一组数据，（x1, x2, , x n），容量为n，则算术平均数表示为= = (1)算术平均数描述一组数据的平均水平。例8：5个学生的英语考试分数是80, 70, 85, 90, 82。则平均考试分数= 81.4例9：1427天日元兑美元汇率值数据的平均数是112.93日元。前100个值如下表。1-5100.52101.4100.97101.37100.336-10100.499.9098.8098.7799.0011-1599.5599.4399.4099.7599.6416-2099.6099.3199.3598.4099.4321-2599.4099.599.7599.3099.4226-3098.9898.8598.8698.6698.6531-3598.5297.5597.4897.3097.0336-4096.8097.196.7596.6096.7541-4595.8194.492.6090.8591.2746-5090.5791.2390.5090.9789.4051-5590.3089.1989.4289.3888.9256-6088.3189.189.0789.2288.3161-6589.5386.8586.2586.3686.2566-7085.4784.3283.1083.8084.0071-7583.5983.3582.1081.4081.1276-8082.9582.9283.2681.9583.9881-8583.5884.0483.5383.6983.4586-9083.6284.0383.0082.9583.8791-9585.8087.0086.8686.2086.7396-10087.4386.7787.4787.3887.15为了彻底了解这组数据的特征，有两种方法。（1）画图。（2）计算特征数。算术平均数的性质：观测值的和等于其平均数与观测值个数的乘积。对（1）式两侧同乘n得，n= 说明有代表性。若不考虑xi的差异。用代替xi，并乘n，则总和相等。所以人们常用描述数据。如平均年龄，平均工资等。一组观测值与其平均数的离差和等于零。= 0 证： =-= - n= 0（利用性质）此性质以后常常用到。 （2）加权算术平均数（属于描述集中位置的特征数）例10：仍以例3为例，20瓶鲜橙多饮料，净重值如下表。组号组 限组中值组频数组频率1494496以下49510.052496498以下49750.253498500以下49980.404500502以下50140.205502504以下50320.10合计201.00 = 499.1克= 4950.05 + 4970.25 + 4990.4 + 5010.2 + 5030.1= 499.1克加权算术平均数定义： =(f1x1 + f2 x2 + + fk xk ) = x1 + x2 + +xk = w1x1 + w2 x2 + + wk xk = (2)其中：k为分组数；x i 为第i组的组中值；fi 为观测值落入第i组的频数；n 为观测值总个数，n = f1 + f2 + + fk。wi = fi / n, i =1, 2, , k是权数。 加权算术平均数描述一组数据的平均水平。注意：分组数据形式下求得的平均数，只是用原始数据计算的的近似值。只有当各个组中值与相应组内观测值的平均值全相等时，（1）、（2）式的计算结果才相等。因此，只要条件允许，应该用原始数据直接计算。当n很大时，由（2）式计算的的误差会减小。例11：中国1987年1%抽样调查全国人口，数据与分布图如下。年龄（岁）人数（万人）频率0-10以下 195.27810.182910-20以下 248.16110.232420-30以下 195.87800.183430-40以下 161.08040.150840-50以下 99.61830.093350-60以下 85.61920.080260-70以下 56.18770.052670-80以下 27.38030.025680-90以下 6.55840.006190-100以下 0.35930.0003100-110以下 0.00990.0000合 计1067.93071.0000用频数计算， (195.27815 +248.161115 + + 0.0099105) = 28.8用频率计算， (5 0.1829 +15 0.2324 + + 950.0003 + 0 ) = 28.8平均年龄是28.8岁。数据的特点是分布不均。青年人人数多，老年人人数少。（3）中位数（属于描述集中位置的特征数）。中位数定义（1）：一组n个观测值，按数值大小排列如下。x1, x2, , xn，处于中央位置的数值称为中位数。用Md表示（Median） x(n+1)/2 n为奇数 Md = (3) xn / 2 + x(n / 2)+1 / 2 n为偶数例12：对5名学生的考试分数（n为奇数），中位数Md = 85，（比=70更有代表性）。 93，90，85，82，0 （因有5个数值，5为奇数。）例13：设有一组数据如下（n为偶数） x1， x2， x3， x4， x5， x6, (n = 6) 10 12 14 17 41 66则 Md =( x 6 / 2 + x (6 / 2) + 1) =( x3 + x4) = 15.5例14：一组数据是 3，9，6，1，5。哪个是中位数？按上述要求排序， x1， x2， x3， x4， x5， n = 5为奇数 1 3 5 6 9则 Md = x(5+1) / 2 = x3 = 5，即中位数是5。中位数定义（2）：对于分组数据，Md的计算公式如下： Md = L + (4)其中：L为中位数所在组的下限值 n1为中位数所在组内，达到中位数所需频数。 n 2为中位数所在组内，观测值总个（频）数。 h为该中位数所在组组距。例15：仍以例3为例，20瓶鲜橙多饮料，净重值排序整理如下：494.8, 496.9, 497., 497.1, 497.7, 497.8, 498.4, 498.7, 498.9, 498.9, 498.9, 499.1,499.9, 499.9, 500.1, 500.6, 501.0, 501.6, 502.3, 503.9求： Md（中位数），解：1. 当数据不分组时，因为20是偶数，Md = (X20 / 2 + X(20 / 2) + 1)/2 = (X10 + X11) /2 = (498.9+ 498.9) / 2 = 498.92. 作频数分布表，把数据分成5组。20 / 2 = 10, 中位数在第3组，组频数= 8。组号组 限组频数组中值组频率1494496以下14950.052496498以下54970.253498500以下84990.404500502以下45010.205502504以下25030.10合计201.00Md = L+= 498+= 499例16：1987年1%抽样调查全国人口，数据与分布图如下（file: stat04）。年龄（岁）人数（万人）累计人数10-10以下 195.2781195.2781210-20以下 248.1611443.4329320-30以下 195.8780639.3172430-40以下 161.0804540-50以下 99.61830650-60以下 85.61920760-70以下 56.18770870-80以下 27.38030980-90以下 6.1090-100以下 0.11100-110下 0.合 计1067.9307数据的特点是分布不均。年轻人人数多，年老人人数少。平均年龄是28.8岁。显然这个特征数偏高，不能十分满意地反映数据的特征。计算中位数如下。Md落在第3组。Md = 第3组下限值+（组内达到中位数的频数/第3组频数）第3组距。=20 +10 = 20 +10 = 24.6（岁）比平均数28.8岁更有代表性。中位数性质：(1) 当观测值出现重复的现象不很多时，中位数意味着比它小的观测值个数有一半，比它大的有一半。若有2万农户的年家庭收入数值的中位数为2000元，则知有一万户收入低于2000元，有一万户收入高于2000元。 (2) 中位数不易受极端值影响。注意：(1) 中位数指的是数据值（在横轴上），而不是观测值的频数，也不是秩数。(2) 求中位数之前，应先将观测值按大小排列。（4）众数（属于描述集中位置的特征数）。众数定义：在一组数据中，对应频数最大的那个观测值叫众数（mode），用Mo表示。例17：某班40名学生的年龄统计如下（file:bank05）： 年龄（岁）人数 1932024218225合计40因为变量值20所对应的频数最大，Mo = 20岁。对于分组数据，MO = L + (5)其中L是众数所在组下限值；D1是众数所在组频数与前一组频数差；D2是众数所在组频数与后一组频数差；h是组距。例18： 仍以例3为例，20瓶鲜橙多饮料，净重值排序整理如下：组号组 限组频数组中值组频率1494496以下14950.052496498以下54970.253498500以下84990.404500502以下45010.205502504以下25030.10合计201.00可见“众数”在第3组。有MO = 498 +2 = 498.86 注意：（1）众数指变量值，而不是频数。（2）若频数分布只有一个峰值，则分布是单峰的，若有两个，则分布是双峰的。4百分位数（Percentile）：百分位数概念是中位数概念的推广。百分位数定义：一组n个观测值按数值的大小顺序排列（由小到大）如下， x1, x2, , xn处于第p%位置的观测值为第p百分位数。所以中位数是第50百分位数。第p百分位数的秩数是第n p %位数（如不是整数，取大于它的最小整数）。例19：以例3为例，20瓶鲜橙多饮料，净重值从小到大顺序排列如下：494.8, 496.9, 497.0, 497.1, 497.7, 497.8, 498.4, 498.7, 498.9, 498.9, 498.9, 499.1,499.9, 499.9, 500.1, 500.6, 501.0, 501.6, 502.3, 503.9求这组数据的第25百分位数。解：因为有20个观测值。这20个数值中的第25百分位数，即第20 25% = 5位的数值。497.7是第25百分位数。实际意义：设第p百分位数为xk则说明有p %的观测值小于xk。下图给出了标准正态分布的第5、25、50、75、95百分位数。注意：（1）25倍数的百分位数称为四分位数。（2）可用类似于求中位数的方法求分组数据的百分位数。例20：以例7为例，1000个活期储户的账面余额值数据的第5、25、50、75、95百分位数分别是2.4 描述数据分散程度的特征数。表示分散程度的特征数有全距（极差）、方差、标准差、变异系数等。对于一组数据，只用表示集中位置的特征数描述是不够的，先通过一个例子来说明。设有如下二组数据（8， 9， 10 ，11，12）（6， 8， 10 ，12，14）二组数据的算术平均数相等，但二组数据的分布却有很大差异，显然只用表示集中位置的特征数来描述数据是不够的，还应引入一些描述分散程度的特征数。（1）全距（极差，Range），（表示分散程度）。全距定义：设一组数据为（x1, , xn），则全距（用R表示） R = x max - x min (6)其中 x max , x min 分别表示该数据中的极大和极小值。极差表示取值范围。优点：极差计算简便。缺点：没有考虑到中间各值的分布情况。例21：以上面二组数据为例：R1 = 12 - 8 = 4, R2 = 14- 6 = 8，。第二组数据的离散程度要比第一组大。例22：以例2中1427天的汇率值数据为例，最大值是147.14日元，最小值是81.12日元。R = 147.14 - 81.12 = 66.02日元。例23：股市收市时所报的最高值和最低值。实际给出了极差值。极差的缺点是没有考虑到数据内部取值的情况。例如下面两组数据不同，但极差相同。所以还应寻找计算离散程度的更好方法。（2）方差。方差用 S 2 表示。对于不分组数据定义为： S 2 = （用于计算总体方差） (7) S 2 = （用于计算样本方差） (8)方差的意义是数据对平均数的平均离差平方和。显然一组数据越分散，即离平均值越远，则方差值越大；反之越小。例24：有下列一组数据，4, 4.2, 4.8, 5, 7, 求和S2。= = 5S2 = = (4-5) 2 + (4.2-5) 2 + (4.8-5) 2 + (5-5) 2 + (7-5) 2 = 1.42例25：以例2中1427天的汇率值数据为例， S 2 = 176.8 (日元2)对于分组数据，方差定义为：S 2 = （用于总体） (9)S 2 = （用于样本） (10)其中：fi 组频数，xi 组中值。例26：有分组数据如下。求, S2 。观测值组中值xi频数fifi xi0211243446536873合计n = 11= = （11+34+53+73）= 4.45 S2 = = 1 (1-4.45)2 + 4 (3 - 4.45)2 + 3 (5 - 4.45) 2 + 3 (7 - 4.45)2 = = 4.07例27：仍以例3为例，20瓶鲜橙多饮料净重值均值为499.1克。利用下表计算方差。组号组 限组中值(xi -)组频数f(xi -)2f1494496以下495-4.1116.812496498以下497-2.1522.053498500以下499-0.180.084500502以下5011.9414.445502504以下5033.9230.42合计2020解： 对于分组数据 S 2 = = 4.41克2检查对方差概念的理解：对于生产产品来说，希望产品指标方差大，还是方差小？仪仗队人员身高值，和某班学生的身高值，那个方差大？（3）标准差。样本标准差定义：S = (11)为什么还