重积分的概念与性质(20).ppt

重积分的概念与性质,二 、重积分的概念,一、 问题的提出,三 、重积分的性质,第一节,第九章,一、问题的提出,平顶柱体体积的计算公式:,柱体体积 = 底面积高.,1. 曲顶柱体的体积,回顾,特点：平顶.,曲顶柱体:,底为 xOy 面上的闭区域 D ，,曲顶为 连续曲面,侧面为以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面.,特点：曲顶,曲顶柱体的体积 = ？,变高,解决方法: 类似于定积分解决问题的思想,“分划,近似,求和,取 极限”.,步骤如下：,1 分划,划分D为 n 个小区域:,以它们为底把曲顶柱体,分为 n 个小曲顶柱体,2 近似,3 求和,4 取极限,令,则有,定义,的直径为,Di 的面积，在每个Di 上任取一点,二、重积分的概念,设 f (x, y)是有界闭区域D上的有界函数，,将闭区域D 任意 分成 n个小闭区域 D1，,作乘积,并作和,D2 , , Dn , 设i表示第i个小闭区域,定义9.1,1. 二重积分的有关概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为,函数 f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记为,注,1 各小闭区域的直径中的最大值是指：,3 二重积分存在性定理:,若函数,命题1,在 D上可积.,在有界闭区域 D上连续,则,2 在二重积分的定义中, 对闭区域的划分是任意的.,一般地，,4 二重积分的几何意义,命题2,除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,若有界函数,在有界闭区域 D 上,则,在 D上可积.,在直角坐标系下用平行,故二重积分可写为,则面积元素为,特例,来划分区域 D ,坐标轴的直线,定义9.2,将区域,的体积，,任取一点,并用,各小闭域直径的最大者.,作乘积,有界函数 ,表示,是定义在有界闭区域,设,上的,任意分成 n 个小区域,2. 三重积分的定义,在,并称 I 为,在闭区域,则称函数,记作,即,若存在一个常数 I , 使,上的三重积分.,上可积 ,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,称为积分变量，,定积分，二重积及三重积分可推广为多重积分:,注,其中I 表示积分区域，,I 上的有界 n 元函数，,n可取,表示定义在,称为被积函数，,三、重积分的性质,(以二重积分为例）,性质1（线性性质）,为常数.,性质2（关于积分区域的可加性）,其中,无公共内点.,其中,则,若在 D上,则,推论1 若在 D上,推论2,特别地, 由于,性质3（保序性）,例1 比较下列积分的大小:,其中,解,与x 轴的交点：(1, 0), (3, 0).,（方法1）,D 的边界为圆周：,从而,而域D 位于直线的上方,故在 D 上,（方法2）,解,例2,性质4（估值性质）,设,D 的面积为,则有,二重积分估值不等式的几何意义:,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域 D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,证,由性质4 可知,从而命题成立.,性质5（中值性质）,例3 估计下列积分之值,解,由于,积分性质4,即 1.96 I 2.,D,D 的面积为,二重积分中值定理的几何意义,性质6（对称性）,D,D1,在有界闭区域 D上连续，,D,D2,D3,D,则,1,1,例4,解,关于x=0 对称,关于x为 奇函数,关于y=0 对称,关于y为 奇函数,D的面积,故有,利用二重积分的性质估计二重积分,例5,解,D,而,