随机变量独立性性质及其判定论文.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文议随机变量独立性及其应用作者：xxx 指导老师：xxx摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献2中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献7中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2 随机变量独立性的定义定义 设为二维随机变量,若对于任意的实数,事件与相互独立,即 , 则称与相互独立. 若为与的联合分布函数,、分别是与的边缘分布函数,则式等价于.3 随机变量独立性的性质及其判别方法3.1离散型随机变量独立性的判定判别法一定理1 设二维离散型随机变量的联合分布列为, ,的边分缘布列是,的边缘分布列是,则和相互独立的充要条件为:对所有的取值有.证明 充分性：若,因为是二维离散型随机变量,所以对任意的有即和相互独立.必要性：若和相互独立,不妨设,则对任意,有.当时,有 ,即,亦即 . 如此进行下去,最后可得.如此下去,最后得出. 由此定理得证.例1 设随机变量和相互独立,并且有,定义随机变量为问当取何值时,和相互独立?解 由于,所以,.由此得的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表 11为使和相互独立,有由于，故方程组的解为,即当时,和相互独立.判别法二：设是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为, 可以用下表所示表 2且,矩阵称为的联合概率分布矩阵,其行向量记为,记的联合分布列.引理 设是非零向量,和线性相关,则可由线性表出.证明 因为和线性相关,所以存在不全为零的两个数和,使又因为是非零向量,如果,则,则,所以,即可由线性表出.定理2 若,则与相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明 充分性：若中任意的两个行向量线性相关,由,则中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设是非零向量,由引理可知 都可以由线性表示,则,且,这里,且.又由于,的边缘分布分别为:,因此即与相互独立. 必要性：若与相互独立,由,则中的任意两个行向量可写为,显然与线性相关.推论1 若,则与相互独立的充要条件是矩阵的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2 若,则与不相互独立的充要条件是存在矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3 若,则与不相互独立的充要条件是存在矩阵的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4 若,则与相互独立的充要条件是矩阵的秩为.推论5 若,则与不相互独立的充要条件是矩阵的秩大于.推论6 若中有某个,但元素所在的行与列的所有元素不全为零,则与不相互独立.例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设 分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量的联合分布列,并判别与的相互独立性.解 1)放回抽样 二维随机变量的联合分布列为表 3且,因此,故与相互独立.2)不放回抽样 二维随机变量的联合分布列为表 4且,因此, 所以与不相互独立.3.2 连续型随机变量独立性的判定判别法一定理3 设是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则和相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有. 证明 充分性：设,则对任意的实数,有 .所以,和相互独立.必要性：设和相互独立,则有 .因为上式对任意的都成立,于是有,综上,定理得证.例3 若的联合密度函数为问和是否相互独立?解 先分别求和的边缘密度函数:当或时,.当时,有.因此 当或时,.当时,.因此很明显,所以和不相互独立.判别法二定理 设是连续型随机变量, 其联合密度函数为 则随机变量相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数 使.(ii) 是分别与 无关的常数.证明 充分性: 首先分别求随机变量 对 的边缘密度函数.是分别与 无关的常数, 所以上式积分中的结果 与是分别与 无关的常数, 分别记为 进一步由联合密度函数的性质,有即 故相互独立.必要性: 若 相互独立, 有, 取, 则有, 所以定理中的条件1) 成立. 以下用反证法证明,若中至少有一个是与或有关的函数,不妨设,由于 是关于的边缘密度函数, 必有, 而是一个与有关的不恒为1的的函数, 与前述结果矛盾.因此必有与无关,进一步可得都应与无关, 从而必要性得以证明.推论1定理4 的条件中如果 有一个或两个都趋于 中有一个或两个都趋于,则定理的结果也成立.推论2若上述定理的条件成立, 则与呈正比例关系,与 呈正比例关系.在 维连续型随机变量场合, 我们有定理5设 是连续型随机变量, 其联合密度函数为, 满足 则随机变量 相互独立的充要条件为(i) 存在连续函数, 满足.(ii) 均为与 无关的实常数.证明充分性: 设 满足条件(i)与(ii) , 则可求得 的边缘分布函数为而当时, . 又因其中均为与 无关的实常数, 故上述积分， 分别是与 无关的实常数, 故记为则当 时, 有其中,而 与无关, 故(1) 式可合并为 重积分, 即故,即 相互独立. 必要性: 设 相互独立, 则有成立. 此时只须取, 故条件(i) 成立.现假定条件(ii) 不成立, 则中至少有一个是与 有关的函数, 不妨设, 由于 是关于 的边缘密度函数, 则必有而此时是关于 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有与无关. 同理证得均与无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证. 由上述连续型随机变量的定理及其对应的推论进行判别与的独立性，该定理的方便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易. 例4 设的联合密度函数为讨论的独立性.解 令,则有,又因为,由推论7可知相互独立.4 随机变量独立性的应用 应用一 由离散型随机变量的独立性及其边缘分布列，求其联合分布列.例5 重贝努里试验中，若令表示第次试验中事件出现的次数请写出的联合分布列.解 其分布列为由试验的独立性知，相互独立，得出的联合分布列为应用二 利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数.例6 设二维随机变量的联合分布律为 若与相互独立，求参数的值. 解 由随机变量的独立性及联合分布律的基本性质：得出与的边缘分布律：从而解得注意 求出后，要验证它们对任意是否均满足若不满足，则所求参数不符合要求，舍去.通过验证上面所求得的的值均满足条件，故上面的值为所求.应用三 利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度.例7 设随机变量和相互独立，并且服从，在上服从均匀分布，求的联合概率密度函数.解 因为和相互独立，所以.又得：其中当时，应用四 随机变量的独立性与实际生活相结合例8 一负责人到达办公室的时间均匀分布在时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在时，设他们到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过分钟的概率.解 如图所示，设负责人和他秘书到达办公室的时间分别记为和，则和的概率密度分别为由于和相互独立，得的概率密度为而.于是所以他们到达办公室的时间之差不超过分钟的概率是结 束 语本论文在随机变量独立性定义的基础上讨论了随机变量独立性的性质，并分别对离散型随机变量和连续型随机变量用多种方法进行判定，最后通过随机变量独立性的相关应用说明其在生活中的重要性，从而让人们更深入的认识概率论的思想和方法，更好的解决我们身边的实际问题.除此之外，随机变量的独立性还可以和其他数学分支紧密结合，以便很好地解决数学问题.参考文献1 缪铨生.概率论与数理统计M.上海:华东师范大学出版社,2006.2 毛纲源.概率论与数理统计解题方法技巧归纳M.武汉：华中理工大学出版社.1999.3 魏宗舒等.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，1983.4 王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社，1997.5 严士健等.概率论与数理统计M.北京：北京师范大学出版社，1998.6 钟开莱著.吴让泉译.概率论教程M.上海：上海科技出版社.7 明杰秀等.二维随机变量独立性的判定及其应用J.高等函授学报（自然科学版),2011.8 Rick Durrett.Probability Theory and ExamplesM.Springer-verlag Berlin Heidelberg,New York,2005. About independent random variables and its applicationAuthor: Zhang Lirong Supervisor: Gui Chunyan Abstract The independence of the random variables is an important concept in probability theory. The paper first introduces the definition and the nature of independent random variables, then it gives different discriminant methods of the independence of the discrete random variable and continuous random variable, according to the different problems using the method to determine the corresponding discriminant. In addition , it also gets some relevant inferenc