孤立奇点的类型及判断方.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点 1.引言 复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法2.1孤立奇点的定义 定义1 如果函数在点的某一去心领域（即除去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断 以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如为函数的孤立奇点，则的某去心领域内可以展成洛朗级数=.我们称非负幂部分为在点的正则部分，而称负幂为 在点的主要部分.实际上非负幂部分表示在点的领域内的解析函数，故函数在点的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果在点的主要部分为零，则称为的可去奇点；如果在点的主要部分为有限多项，设为则称为的阶极点，一阶极点也称为单极点；如果在点的主要部分为无限多项，则称为的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征. 如果为函数可去奇点，则有上式等号右边表圆内的解析函数.如果命则在圆内与一个解析函数重合，也就是说，我们将在点的值加以适当定义，则点就是的解析点.这就是我们称为的可去奇点的由来.定理1 如果为函数可去奇点充要条件.证明 充分性 因为为函数可去奇点，则有=，于是，必要性 则对任给的，有，只要,就有，于是，所以在点的某去心邻域内是以为界的，考虑在点的主要部分，而为全含于内的圆周可以充分小，即知当时，即是说在点的主意部分为，即为的可去奇点.说明是的可去奇点，. 如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个阶极点，表示洛朗展开式不是有个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是次数了.定理2 如果函数以为孤立奇点，则点是函数的阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条. 在点的某一去心领域内能表成=其中在点领域内解析，且； 以点为阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点是函数的阶极点，则在点的某去心邻域内有，其中显然在点的邻域内解析，且所以在点的某去心邻域内有，其中在点的某邻域内解析，且，因此点位的可去奇点，只要令，就为的阶零点.必要性 如果以点为阶零点，则在点的某邻域，其中在此邻域内解析，且，所以在此邻域内解析，在此邻域内命，则在点的主要部分就是所以点是函数的阶极点.在充分性中已经证明条件可以推导出条件，所以条件可以推导出点是函数的阶极点. 定理3 函数的孤立奇点为极点的充要条件是.第 10 页 共 10 页 证明 函数以点为极点的充要条件是以点为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点为函数的阶零点时，则点为函数的阶极点；若点为函数的阶极点，则点为函数的阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件.例如 函数，不是函数的二阶极点，因为所以，是函数的一阶极点.定理4 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若为函数的本质奇点，且在点的充分小的去心邻域内部不为零，则必为的本质奇点.证明：令，有假设得必为的孤立奇点.若点为的可去奇点，则点必为的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点为的极点，则点必为的零点，与假设矛盾，故必为的本质奇点.2.3在点的孤立奇点定义3设函数在无穷远点（去心）领域内解析，则称点为的一个孤立奇点.如果点为的一个孤立奇点，令,则函数某去心领域内解析，就为之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点与上，函数与的值相等；（2）,或两个极限都不存在.定义4 若为的可去奇点，阶极点或本质极点，则我们相应的称为的可去奇点，阶极点或本质极点.定理6 如果是函数的可去奇点的充要条件；如果是函数的阶极点的充要条件在的某去心领域内能表成其中的领域内解析，且或者为阶零点或者；函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件不存在.证明 令，再根据定理1,2,3,4可证.综上所述如果为函数可去奇点充要条件；如果为函数极点充要条件；如果为函数本质奇点充要条件不存在.孤立奇点洛朗展开式特点可去奇点无负次数项存在且为有限值极点含有有限个负次数项且有非零系数的最高负次数项本质奇点含有无限个负次数项不存在3. 复变函数中的应用定理7 若函数在点解析，点为函数的可去奇点，则点也为函数，的可去奇点；当，时，则函数，的可去奇点.证明 因为点为的可去奇点，所以（有限复数）由在点解析知在点必连续，从而，于是（有限复数），（有限复数），所以点也为，的可去奇点. 因为是函数的可去奇点，则(有限数)，函数在点解析，所以，因为,所以（有限数）所以点是函数的可去奇点.同理可证点是函数的可去奇点.定理8 若函数在点解析，点为函数的阶极点，则点也为函数的阶极点；当时，则点也为函数的，的阶极点.证明：因为点为的阶极点，所以在点的某去心邻域内能表成，其中在点解析，且.于是,令则在点解析，且所以点也为的阶极点.因为点为的阶极点，所以在点的某去心邻域内能表成，其中在点解析，且，于是，这里在点解析，且，所以点是函数的阶极点.同理可证点是函数的阶极点.定理9 若函数在点解析,点为函数的本质奇点，则点也为函数的本质奇点；当时，则点也为函数，的本质奇点. 证明 因为函数在点解析，所以，点为函数的本质奇点所以不存在，假设存在，则或者； 矛盾，所以点也为函数的本质奇点.因为点为函数的本质奇点，所以不存在；函数在点解析,且，所以，假不是函数的本质奇点，则，相矛盾，所以是函数的本质奇点.同理可证也是的本质奇点.定理10 若在点的某去心邻域内能表示成，为的阶零点，为的阶零点，当时，为得阶极点;当时，为的可去奇点.证明：,于是，所以当时，为得阶极点;当时，为的可去奇点. 例1 判断的孤立奇点类型. 解 令则得，记函数为所以点是此函数的解析点所以，这里是函数的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ； 解：是原式的孤立奇点，是函数=的一阶零点，所以是一阶极点. 是孤立奇点，是函数的3阶零点，所以是三阶极点.是孤立奇点，是函数的2阶零点，所以是二阶极点. 例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别. (2) (3) (4)解：（1）令原式为，则是有理分式，显然是单极点，当时，此时分子分母均为零，可见也是的一阶极点.当时，可见是的一阶极点. （2）显然是的一阶极点. 当=时，令,因此极限不存在（包括不为），所以，=是的本性奇点，故=是的本质奇点.注：若不存在，则=是的本性奇点，这是显然的，否则若=是可去奇点（正则点）或极点，则存在且有限，或，矛盾. （3）显然=1+（，）是分母的零点，而分子仅有分子为零，所以=1+（，）是的一阶极点. 当时，令，则所以不存在，故是的本性奇点.又（），故=不是孤立奇点. （4）由下列注知：函数仅有唯一的奇点，且它是本质奇点，于是令，则仅为函数又由=0知，当= （，）时，所以是的本质奇点.显然是的本质奇点.当=时，若定义则=是可去奇点. 综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语 本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献1尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换M,科学出版社，2009.2苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）M, 高等教育出版社，2010.3陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数M,科学出版社，2010.4钟玉泉, 复变函数论（第三版）M, 高等教育出版社，2004.5沈燮昌, 复变函数论基础M, 上海科学技术出版社,1982.6庄圻泰, 复变函数M, 北京大学出版社，1984.7冯复科，复变函数与积分变换M，科学出版社,2008.8Brown, James Ward., Complex variables and applicationsM, China Machine Press，2004. Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive