北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-dsp02-离散时间系统和离散信号的变换.ppt

门爱东教授 ,数字信号处理 Digital Signal Processing,第 2 章 离散时间系统和离散信号的变换,2,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间系统和离散信号的变换 2.1 取样和内插 2.2 离散时间信号序列 2.3 离散时间系统 2.4 离散时间信号的傅氏变换 2.5 离散时间信号傅氏变换的性质 2.6 离散信号的 Z 变换 2.7 Z 变换与傅氏变换的关系 2.8 系统函数、零极点、稳定性 2.9 信号流图 2.10 本章小结 3 -离散傅里叶变换及其快速计算方法 4 IIR 数字滤波器设计和实现 5 FIR 数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应,3,回顾：模拟系统和模拟信号的变换,时域,微分方程,冲激响应 h(t),x(t),y(t)=x(t)*h(t),x(t),模拟系统,系统函数H(s),频率响应H(j),X(s),Y(s)=X(s)H(s),X(j),Y(j)=X(j)H(j),频域,拉氏变换 傅氏变换 FT,4,2.1 取样和内插,取样（ADC）：模拟信号的离散化过程 数字信号处理的第一个问题是将信号离散化（取样）。 内插（DAC）：离散信号变为连续信号的过程,5,2. 1.1 取样和取样定理：取样,取样：从连续时间信号中提取离散时间样本的过程，即时间轴上离散化的过程。,按取样间隔来分,常用方法是等间隔周期取样，如下图：,其中 T 为取样周期，它的倒数为取样频率，记为：,取样频率,取样角频率,6,2. 1.1 取样和取样定理：取样定理,xa(nT) 和xa(t) 的关系： 取样信号与连续信号，局部和整体； 连接两个相邻离散点 xa(nT) 和xa(n+1)T) 之间的曲线很多，但在一定条件下，离散信号xa(nT)可以按一定方式恢复出原来的xa(t)。 如何从连续时间信号中提取离散样本？取样定理 任一带宽有限的连续信号 xa(t)，如果其频谱的最高频率分量为 fm，则对其进行取样时，只要选择取样频率大于或等于 2fm，就可以由这个取样序列 xa(nT) 唯一准确地恢复 xa(t)。 重要的两点： 连续信号是带限信号； 取样频率和信号最高频率的关系为：,7,设一带限函数 ，当 时，其傅氏变换 ，将 乘以取样函数 ，得,2. 1.1 取样和取样定理：时域分析,8,数学模型,2. 1.1 取样和取样定理：时域分析,9,取样函数定义为:,- T ：取样间隔,则：,可以看到，任意一个离散序列 可表示为无穷多个等间隔的函数的加权移位集合，加权值是 在取样点 nT 处的函数值（取样值）。,2. 1.1 取样和取样定理：时域分析,10,因此，时域取样,则映射到频域为：,因 p(t) 是周期为 T 的函数，可以展开成级数和的形式：,其中,2. 1.1 取样和取样定理：频域分析,11,而,在 的积分区间内，只有一个冲激脉冲 ，其它冲激脉冲 在 时都在积分区间之外，因此：,2. 1.1 取样和取样定理：频域分析,12,其中,离散信号的频谱是原始信号频谱的周期延拓，和原始信号的频谱幅度相差常数因子 1/T。,2. 1.1 取样和取样定理：频域分析,13,连续信号的频谱和取样信号的频谱,2. 1.1 取样和取样定理：频域分析,然而，当 时，出现混迭,14,只要取样频率足够高，当满足以下条件时,-（奈奎斯特定理）,即取样频率 至少是信号最高频率 的 2 倍，则 的频谱不发生混迭，可以不失真的恢复,2. 1.1 取样和取样定理：小结,若 xa(t) 是一带限函数,15,综上所述，取样过程如下图所示,时域：,频域：,2. 1.1 取样和取样定理：小结,16,过取样（Oversampling） 过取样就是用远高于奈奎斯特频率的频率去采样，Kfs/2 好处： 简化了抗混叠滤波器设计； 过采样、噪声成形（Noise Shaping） 、数字滤波和抽取（丢点Decimator）是 ADC 降低噪声，并产生高分辨率输出的重要方法。,2. 1.1 取样和取样定理：过取样,过取样,噪声成形(如积分器),数字滤波器,x(t),数字输出,抽取,限带 滤波,过采样降低了所关注频带中的噪声层,噪声成形和滤除,信噪比与滤波器阶数和过取样倍率之间的关系,例如, 当K=64, 一个理想的二阶系统的信噪比大约80dB, 分辨率大约相当于13位的ADC,17,欠采样 （Undersampling） 对于带通信号，范围为 B1fB2，而不是 0fB， 没有必要以两倍的最高频率或 2B2 进行取样 最小取样极限取决于信号的带宽 (B2B1) 以及信号频谱的位置，至少必须是带宽的两倍，可以更高些，关键是要保证没有频谱混叠。 这种对带限信号的取样，称为欠取样（Undersampling）。 例如一个 GSM 蜂窝电话在900MHZ 频段上占 30KHz 带宽，通过欠取样，只用比 60KHz 略高一点的取样频率，而非 1.8GHz。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,18,带通信号取样后的频谱 下限频率为 l，上限频率为h，带宽 B= h l; 按照奈奎斯特取样定理，取样频率 s 应等于或大于信号的上限频率 h 的 2 倍，否则会产生频谱混迭；但实际上，对于带通信号，为了不产生混迭，取样频率并不需要这么高。 为了描述方便，图中横坐标 的单位取为信号的带宽 B。 下面描述几种特殊情况，然后给出一般规律。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,19,假设信号原频谱 Xa(j) 的 h=4B，l =3B，带宽为 B。 没有频谱混迭的情况 s=2B 时，频谱分布如图： 图中阴影部分为信号原始频谱 Xa(j) ； 其余为画阴影的部分为以 s 为周期，将 X() 做周期延拓的结果。 可以看出取样频率 s=2B 时，对带宽为 B 的带通信号进行取样不会引起频谱混迭。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,n=0,n=0,20,仍用上述 Xa(j) ， s=3B 时的频谱分布如图 其余为画阴影的部分为以 s 为周期，将 X(j) 做周期延拓的结果。 可以看出取样频率 s=3B 时，对带宽为 B 的带通信号进行取样不会引起频谱混迭。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,|X(ejw)|,4B,6B,2B,0,-2B,-4B,-6B,21,产生频谱混迭的情况： s=1.5B 时，即取样频率小于 2 倍信号带宽时，取样后的频谱分布如图，产生了频谱混迭现象。,是否 s2B 时，就一定不产生频谱混迭现象呢？s=3.5B 时，取样后的频谱产生了频谱混迭现象。可见， s2B 时也不一定能避免混迭现象。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,22,避免频谱混迭的取样频率选取 X(ej）的频谱是信号原始频谱 Xa(j）以 s 为周期所做的周期拓展。 如果把 h 到 -l 之间的频谱做周期延拓，则原来在 h 和 -l 之间的谱线左移或右移 s 的整数倍。 向左移，当然不可能与在 h 到 l 之间的频谱产生混迭； 向右移，如果不与 h 到 l 之间的频谱混迭，必须符合两个条件： 第一个条件： -l 向右移 （N-1) s 后要小于 l（最多等于 l）。这里 N 为一个正整数，即,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,23,第二个条件： -h 向右移 Ns 后要大于 h（至少等于 h），即,两者结合起来，得到：,假设信号带宽为 B，信号上限频率 h 为 kB (k为正整数)情况下所允许的取样频率范围，见下表。例如信号上限频率 h = 6B 时： 取样频率 s 可以在 2.4B2.5B 之间，3B10B/3 之间，4B5B 之间，6B10B 之间以及 12B 以上。 使用其它取样频率将产生混迭现象，因此是不允许的。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,24,信号带宽 B= h l ， h 和l 分别为信号的上限和下限频率。N为正整数。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,25,N 值的选取 表中 N=1 行，对应的取样频率是 2kB，即 s 2h ，也就是说取样频率大于或等于信号所含最高频率的 2 倍，当然不会产生混迭现象。但这个取样频率可能太高了，将产生过多的取样数值，从而增加计算量，且计算时间过长。 要结合具体的实际情况，折衷地选取 N 的数值。 例如一个信号的最高频率 h=6B，假设 B = 2(200)Hz，则此信号的中心频率为 5.5B = 11(200)Hz = 2(1100)Hz。 在上表中，在 h=6B 行，如果选 N =5，则 2.4Bs2.5B，即 480 fs500Hz，若选择 fs = 490Hz，则取样频率的容许误差为 10Hz。 如果选 N =3，则 4Bs5B，即 800 fs1000Hz，若选择 fs = 900Hz，则取样频率的容许误差为 100Hz。这样就降低了对取样系统的要求，容易满足。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号,26,中国地面数字电视（DTTB）标准 GB20600-2006 接收机前端取样频率选择： 射频 RF 信号经过高频头 Tuner，变换到模拟中频 36MHz，带宽为 7.56MHz，即中频数字电视信号的频带为 32.2239.78MHz。,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号举例,27,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号举例,28,GB20600-2006 接收机中频取样后的频谱： 中频数字电视信号的频带 BIF 为 32.2239.78MHz；取样频率为 30.4MHz。 取样后频谱为原始频谱的周期拓展：,2. 1.1 取样和取样定理：带通信号举例,对于 32.2239.78MHz 频带信号，频谱拓展有：,(MHz),|Xa(j)|,32.22,39.78,0,1.82,9.38,-28.58,-21.02,中频36MHz,小中频5.6MHz,29,如果取样函数不是冲激序列，而是窄脉冲序列，则如图：,取样定理同样成立， 幅度随频率发生变化,2. 1.1 取样和取样定理：非理想取样,30,2. 1.1 取样和取样定理：正弦信号的适用性,取样定理的适用性 当 fs=2f0，即一个周期内只取 2 个样值，能否正确恢复正弦信号与取样点的位置有关，即随相位 的不同而不同。 对于正弦信号，不论 A、f0、 为何值，只要保证在 x(t) 的一个周期内均匀取得三个点，且仅取样一个周期，即可由x(n) 准确重建 x(t)。 带通信号取样的不适用性，只有一根谱线，其带宽 B0 正弦信号取样中的不确定性,31,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换频域分析,由傅立叶变换的唯一性可知，如果原始信号的频谱能从取样信号的频谱恢复出来，那么原始信号就能由取样信号在时域通过内插得到。 用大于奈奎斯特取样频率的频率对带限函数 xa(t) 取样，被取样函数经过理想低通，只要截止频率满足 maxc s-max ，就可以恢复原来的信号，只是幅度相差1/T。,32,滤波器的输出 g(t) 是输入信号 与滤波器冲激响应 h(t) 的卷积： 其中 h(t) 又称为内插函数。 在上述表达式中， 已知 ：,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,还需要求得 h(t) ?,33,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,理想滤波器的冲激响应 h(t) 可由其傅氏反变换求得：,34,所以,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,35,因为离散信号的频谱 与原始信号的频谱 仅差一常数因子 1/T，因此，恢复后的信号：,所以，恢复后的信号为：,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,在 t=nT 点上，内插函数的加权正比例于该点x(t)的值；,36,如果选取 ，即取样频率 2 倍于截止频率，则得：,Sinc(t-nT)/T 函数在取样点 t=nT 上的函数值是 1，其 余取样点上的值是零.,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,37,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换时域分析,由此可知，若 sinc 插值函数的零点间距等于取样间距（周期），则：,在任一取样点上它们的和等于该点的样值 x(nT)； 在其他点处将等于无穷多个 sinc 值迭加而成，能完全恢复原来的连续信号； 由于内插函数不同，在取样点间的曲线将不同。,38,2.1.2 内插：理想的 DAC 变换,结论：要完全恢复原来的连续信号 xa(t) ，要满足以下条件： 限带信号 无限次的理想取样（函数）；（N） 理想低通滤波器，即sinc内插函数（其截止频率满足 ） 但上述后两条在物理上都是不可实现的，因此，原始信号在实际中不能由取样真实的重建，而只能逼近原来的信号。,39,问题：理想的 sinc 内插滤波器是一个无穷阶低通滤波器 思路：实际应用中，用模拟低通滤波器代替理想低通滤波器，即用有限阶的内插（实际上是低阶的）代替上述的无限阶低通滤波器 sinc 内插滤波器。 实现方法有：,零阶保持内插（ZOH） 一阶保持内插（FOH） 三次样条内插 ,2.1.2 内插：实际的 DAC 变换,40,2.1.2 内插：本节小结,取样定理: 若连续信号 xa(t) 的最高频率分量为 fm，当进行取样时，选择取样率大于或等于 2fm，就可以由取样序列 xa(nT) 唯一准确地恢复 xa(t)。 分析：时域 = 频域 Nyquist 取样频率 内插： 理想的 D/A 变换：理想低通滤波器，或无穷多个 sinc 值加权之和。 实际的 D/A 变换器：ZOH、FOH、三次样条内插,41,信号 连续时间信号 离散时间信号 数字信号 离散时间信号 (序列),2.2 离散时间信号序列,（其中 T 在取样过程中是重要参数，但在结果中却并不重要。） 由于： (1) 信号要进行计算机处理（数字处理），必须要离散化、数字化； （2）数字信号处理时， nT 确切的实际时间并不重要（特别在非实时处理中），重要的是离散时间序列 x(n）的前后顺序。,42,常用序列（自学）,单位取样序列 单位阶跃序列 矩形序列 实指数序列 正弦序列,2.2 离散时间信号序列：常用序列,任何离散时间信号总可以分为周期或非周期的。若对于某个正实整数 N 和所有 n，有 x(n) = x(n+N)，则信号 x(n) 是周期的，即此序列每 N 个取样重复出现。,43,2.3.1 离散时间系统的定义 离散时间系统是通过一组已定法则或运算将输入序列（激励）x(n) 变换成输出序列（响应）y(n)的一种数学算子或映射，以符号 T 表示。,2.3 离散时间系统,亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。 离散系统可按它们所具有的性质分类，常用的性质包括线性、时不变、因果性和稳定性。我们主要讨论的是线性非时变系统。,44,(其中a、b为任意常数）,2.3.2 线性非时变系统（LSI）：线性,线性：满足叠加性和齐次性的系统 对于一个线性系统，输入 x1 的输出为 y1，输入 x2 的输出为 y2，则 1）叠加性：当输入为两个输入 (x1，x2) 之和时，输出为两个输出 （y1，y2）之和；2）齐次性：输入为 ax1 时，输出为 ay1。,y=y?,判断一个离散系统是否是线性的，可根据定义进行。,移动通信系统？,45,例2.1 一个系统用差分方程描述为： 如下的两个输入信号加到系统的输入端上： 求出两个信号共同产生的前 20 个输出，并画图。 当几个输入同时加到此线性系统上，此时系统的响应要用到叠加原理。当系统是线性时，多个输入的情况较易处理： 1）第一种方法是分别计算每一个输入的输出，然后把它们的输出加起来得到总的输出信号； 2）第二种方法是先把所有的输入加起来，然后求取系统对这个和信号的响应。 3）两者计算结果相同，但第二种可以节约计算量,2.3.2 线性非时变系统（LSI）：线性,46,解：首先根据定义先判断出此系统是否为线性系统。当输入为 ax1(n)+bx2(n) 时， y(n)=T(ax1(n)+bx2(n)= ax1(n)+bx2(n)+0.5(ax1(n-1)+bx2(n-1) = ax1(n)+ 0.5ax1(n-1)+ bx2(n)+0.5bx2(n-1) y(n)=aT(x1(n)+bT(x2(n)= = ax1(n)+ 0.5ax1(n-1)+ bx2(n)+0.5bx2(n-1) 可见，y(n)=y(n)，那么系统为线性的。,2.3.2 线性非时变系统（LSI）：线性,47,2.3.2 线性非时变系统（LSI）：线性,48,2.3.2 线性非时变系统：非时变,时不变：系统参量或特征不随时间而变化的离散系统,若,则,49,时不变：不管作用时间先后如何，外加信号的响应均相同。 判断一个系统是否是时不变系统，可根据定义来进行。,2.3.2 线性非时变系统：非时变,移动通信系统？,50,2.3.2 线性非时变系统：非时变,例2.x 判断下列系统是否是非时变系统 (1) y(n) = x2(n) ； （2）y(n) = x(n) + x(-n) 解： （1）设输入为： 则输出为： 而 故是非移变系统。 （2）系统对输入 x(n)=(n) 的响应是： 而对 x(n-1) = (n-1) 的响应是： 因为 y(n) y(n) 不同，所以这个系统是时变的。,51,2.3.2 线性时不变系统,既满足线性，又具有非时变特性的系统。 LSI 系统输出的时域表示式- 离散卷积,由此可见，线性非移变系统的输出序列就是输入序列与该系统的单位取样响应序列的离散线性卷积。,线性时不变系统的单位取样响应,h(n-k) 表示沿纵轴翻转 h(-k)，然后右移n 位。,52,有几种计算离散卷积的方法，用哪种取决于待卷积序列的形式和类型。 解析式计算 -直接用卷积表达式计算 当序列可用简单的闭合式表示时，常可直接用解析式计算。在直接求卷积时，通常必须计算有限个或无限个和，其中包括形如 an 和 nan 的项。,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,常用级数的闭合表达式,53,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,图形法 作图：画出 x(k) 和 h(k) (2) 翻转：选择一个序列 h(k) 翻转 h(-k) (3) 位移：h(-k) 移动 n 位 h(n-k) (4) 相乘求和：对所有 k，x(k) 和 h(n-k) 相乘，求出这些乘积之和，得到的值就是 y(n) (5) 重复：对所有可能的移位 n 继续,54,排序法 (1) 首先将两个序列右对齐； (2) 逐个样值对应相乘，但不进位； (3) 最后将同列乘积值相加即可。,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,例2.2 已知 x1(n)=4,3,2,1 x2(n)=3,2,1， 求 y(n)=x1(n)*x2(n)。,55,Matlab 实现 conv(x,h) Matlab 原有的卷积 (convolution) 函数 若任意序列的长度是无限的，就不能直接用 Matlab 来计算卷积。 Matlab 提供了一个内部函数 conv 计算两个有限长度序列的离散卷级，conv 函数假定两个序列都从 n=0 开始。 调用如下： y = conv(x,h) 例2.3 给出以下两个序列的卷积 y(n)=x(n)*h(n) ： x(n)=3,11,7,0,-1,4,2，-3n 3； h(n)=2,3,0,-5,2,1，-1n4 解： x=3,11,7,0,-1,4,2; h=2,3,0,-5,2,1; y=conv(x,h) y = 6 31 47 6 -51 41 18 -22 -3 8 2 从中看到，函数 conv 可以得到 y(n) 的正确值，但没有包含任何的时间信息，如何得到？,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,56,conv_m(x, nx, h, nh) 扩展的卷积函数 如果已知两个序列 x(n) 和 h(n)，令 x(n)；nxbnnxe及h(n)；nhbnnhe 为有限序列，则得到 y(n) 的起点和终点分别为： nyb = nxb + nhb nye = nxe + nhe,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,将函数 conv 扩展为对任意基底序列求卷积的函数 conv_m, 请自己思考程序。 function y,ny = conv_m(x,nx,h,nh) % Modified convolution routine for signal processing % - % y,ny = conv_m(x,nx,h,nh) % y = convolution result % ny = support of y % x = first signal on support nx % nx = support of x % h = second signal on support nh % nh = support of h % nyb = nx(1)+nh(1); nye = nx(length(x) + nh(length(h); ny = nyb:nye; y = conv(x,h);,57,用 conv_m 求上例中的卷积，程序如下： % x(n)=3,11,7,0,-1,4,2; nx = -3:3 % h(n)=2,3,0,-5,2,1; nh = -1:4 % y(n)=conv(x,h) x = 3, 11, 7, 0, -1, 4, 2; nx = -3: 3; h = 2, 3, 0, -5, 2, 1; nh = -1: 4; y,ny = conv_m(x,nx,h,nh) y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2 ny = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7,2.3.2 线性时不变系统：离散卷积的计算,如果 x(n) 长度为 L1，h(n) 长度为 L2，那么 y(n) = x(n)*h(n) 的长度 L = L1 + L2-1， y(n) 的起点为 x(n) 和 h(n) 的起点之和，终点亦如此。,58,2.3.3 系统的稳定性和因果性：因果性,LSI 系统是因果系统的充分必要条件：,因果性定义：某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻之前的输入的系统，即n=n0 时的 y(n) 仅取决于 n n0 的 x(n)，而不取决于 x(n) 的将来值。 涵义：对于因果系统，如果 nn0, x1(n)=x2(n),则nn0时，y1(n)=y2(n)。,可实现系统，常用来证明系统的因果性(重要，但前提是 LSI 系统）。（具体证明见教科书。）,y(n)=x(n) + x(n-1) 是因果系统，因为在 n=n0 时刻的输出仅取决于 x(n) 在当前 n0 和过去 n0-1 的输入值； y(n)=x(n) + x(n+1) 是非因果系统，因为在 n=n0 时刻的输出取决于 x(n) 在当前 n0 和将来 n0 + 1 的输入值。,59,稳定性定义：如果系统所有的输入有界，则输出有界。即当： 则： 在以后的讨论中，除非特别说明，所涉及的离散系统都是线性时不变系统，一般的实际系统都是因果、稳定的。,2.3.3 系统的稳定性和因果性：稳定性,重要结论：对于 LSI 系统，稳定的充分非必要条件是：,60,解：,例2.4：已知某系统的 问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？,有界稳定,发散 不稳定,是因果 系统,2.3.3 系统的稳定性和因果性,61,我们侧重的为： 稳定因果的系统,同时满足,稳定,因果,2.3.3 系统的稳定性和因果性,LSI 系统,62,2.3.4 LSI 系统的差分方程,模拟系统常用微分方程描述： 如：y(t) = ax(t) + bx(t) + c 离散系统则用：差分方程来描述 如：y(n) + a1y(n-1) = b1x(n-1) + b2x(n) 分类为: (1) 递归型（IIR, 无限冲击响应) (2) 非递归型（FIR，有限冲击响应）,63,2.3.4 LSI 系统的差分方程：IIR系统,递归型（IIR，无限冲击响应) 如果系统是线性、非时变、因果的，则： 满足上述表达式的系统是递归的或者无限冲激响应（IIR, Infinite Impulse Response）系统。 特点：当前输出值不仅由输入值，也由过去的输出值所决定，即反馈。 此式称为“N 阶常系数线性差分方程”，其含义为： N 阶：系统的阶次； 常系数：指差分方程的系数 ak 和 bm 是不随 n 变化的常数。若系数 ak 和 bm 是随 n 变化，则称变系数差分方程，它描述的是时变系统； 线性：指 y(n-k) 和 x(n-m) 各项都只有一次幂，且不存在它们的相乘项，否则是非线性系统； 差分：y(n) 和 y(n-1) 之间的运算。,64,非递归型（FIR，有限冲击响应) 如果 则 满足上述表达式的系统是非递归或者有限冲激响应（FIR）系统，以后我们要讲的数字滤波器的设计，就是要确定值 bm。 特点：无反馈参量，是递归系统的特例。,2.3.4 LSI 系统的差分方程：FIR系统,解差分方程的方法： （1）经典法（先求其次解，然后求特解，最后两者之和为完全解）； （2）递推法；（3）z 变换法 （4）Matlab,65,Matlab 函数：filter(b,a,x) filter(b,a,x) 用来在给定输入和差分方程时求差分方程的解。 该函数调用形式为： y= filter(b, a, x) 其中 b = b0,b1,bM；a = a0,a1,aN 分别是差分方程输入x(n) 和输出 y(n) 的系数，而 x 则是输入序列数组。输出 y(n) 和输入 x(n) 的长度一样，必须保证系数 a0 不为零，即 y(n) 项的系数不为零。 例2.5 给出如下差分方程 y(n) y(n-1) + 0.9y(n-2) = x(n) a）计算并画出冲击响应 h(n)， n=-20,100 b）计算并画出阶跃响应 s(n)， n= -20,100 c）由此 h(n) 确定系统是否稳定？,2.3.4 LSI 系统的差分方程：Matlab,66,Matlab 程序为： a=1,-1,0.9;b=1; IIR 系统输出和输入变量的系数 % Part a) x=impseq(0,-20,120);n=-20:120; 产生一个冲激函数(n) h=filter(b,a,x); 计算 IIR 系统输出 subplot(2,1,1); 建立绘图窗，垂直方向有两个子窗 stem(n,h);axis(-20,120,-1.1,1.1) title(ImpulseResponse);xlabel(n);ylabel(h(n) % Part b) x=stepseq(0,-20,120); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s) axis(-20,120,-.5,2.5) title(Step Response);xlabel(n);ylabel(s(n) % Part c) sum(abs(h) % 求单位冲激响应 h 的绝对值之和 z=roots(a); magz=abs(z) % 求分母多项式的根的绝对值 subplot,2.3.4 LSI 系统的差分方程：Matlab,67,ans = 14.8785 magz = 0.9487 0.9487,c) 系统是稳定的,2.3.4 LSI 系统的差分方程：Matlab,68,离散信号 与 间存在傅氏变换的关系。,2.4 离散时间信号的傅氏变换,直接关系,69,2.4 离散时间信号的傅氏变换,信号的傅里叶表示在连续时间信号和离散时间信号处理中起着极其重要的作用，它提供了一种把信号映射到另一个“域”中进行处理的方法；提供了一种解释信号和系统的不同方式。 离散时间信号的傅氏变换对（DTFT）,频域变量 是连续的,时域变量 t 是离散的,70,2.4 DTFT：变换对的推导,离散信号 与 间存在一对傅氏变换。,71,- 离散时间傅氏变换对(DTFT),级数收敛的充分条件是绝对可和的：,变换成数字域形式：,2.4 DTFT：变换对的推导,因 是的周期函数（周期为 ），因此它可以展成付氏级数，其付氏级数系数可表示为：,72,2.4 DTFT：一些常用的 DTFT 对,73,2.4 离散时间信号的傅氏变换,例2.6 求下列信号的 DTFT 变换 (1) x(n) = 2(n) - (n-1) + 3(n-2) + (n-4) (2) x(n) = 4u(n) - u(n-3) 解：1) x(n) 只有 4 个非 0 值对 DTFT 变换有贡献，因而： 一般情况下，DTFT 变换后的系数是复值。 2）在 n0 和 n3 时，x(n) 信号值都是 0，所以：,74,2.5 离散时间信号傅氏变换的性质,离散傅氏变换的周期性 离散傅氏变换是线性变换 时域卷积定理（时域卷积映射为频域乘） 频域卷积定理（时域乘积定理） 离散傅氏变换的对称性（复数、实数） 频率响应 调制 时域相关定理（能量信号 x(n) 的自相关函数和其能量谱是一对傅氏变换） Wiener-Khinchin(维纳-辛钦)定理（功率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅氏变换 ） Parserval(帕斯瓦尔) 定理（能量保持不变） 其它（移位、时间翻转、共轭、微分等）,75,2.5 DTFT 的性质：周期性,证明：,注意：一般，连续信号的傅氏变换不是周期函数。,序列的傅氏变换是的周期函数，周期为 2。,推论：在分析时，我们只需要知道 X(ej) 的一个周期（即0, 2, or -, 等）即可，而不需要在整个 - 域来分析。,76,2.5 DTFT 的性质：线性变换,离散傅氏变换是一个线性变换，即：,IIR 系统的差分方程,77,2.5 DTFT 的性质：时域卷积定理,时域内的卷积关系映射为频域内相乘,线性系统理论最重要的成果之一。利用这一性质，可以方便地把时域内的离散线性卷积计算，化简成频域内的相乘计算，再对结果求 IDTFT 反变换。 Why？（FFT）,时域卷积,频域相乘,78,例2.x 如果一个 LSI 系统的单位脉冲响应为 求系统对输入 的响应，其中,解：LSI 系统的输出是 x(n) 和 h(n) 的卷积，得：,2.5 DTFT 的性质：时域卷积定理,所以，y(n) 的 DTFT 是：,随后需要做的是求 Y(ej）的 DTFT 反变换，首先把 Y(ej）展成部分分式形式，即：,因此：,79,2.5 DTFT 的性质：频域卷积定理,时域内的相乘关系映射为频域内的(周期)卷积,证明:,交换积分与求和的次序，有,注意频域卷积的积分号前面有 。,80,共轭对称函数 Xe(ej) 定义为： 若为实函数，共轭对称则为偶函数。 共轭反对称函数 Xo(ej) 定义为: 若为实函数,共轭反对称则为奇函数。 任一傅氏变换都可分解为共轭对称和共轭反对称两部分：,2.5 DTFT 的性质：对称性,81,若 x(n) 为复序列，则其傅氏变换 X(ej) 有以下性质：,2.5 DTFT 的性质：对称性,82,证明(3)：已知 那么：,2.5 DTFT 的性质：对称性,83,2.5 DTFT 的性质：对称性,若 x(n) 为实序列，则其傅氏变换有以下性质： a 共轭对称； b 实部是偶函数； c 虚部是奇函数； d模是偶函数；,84,e幅角是奇函数； fx(n) 的共轭对称序列对应实部； gx(n )的共轭反对称序列对应虚部。,推论： 要画出实序列 x(n) 的 X(ej) 的幅度频率响应特性 |X(ej)|，只需要 |X(ej)| 半个周期即可。,2.5 DTFT 的性质：对称性,85,h(n) H(ej),y(n) = x(n)*h(n),x(n),X(ej),Y(ej) = X(ej)H(ej),2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,LSI 系统的输入、输出关系为： 其傅氏变换为： -（卷积特性）,86,其中 H(ej) 为系统单位取样响应 h(n) 的傅氏变换： 或者 是 的周期函数，周期为 2。 H(ej) 称为 LTI 系统的频率响应，非常重要和有用的。一般来讲，它是 的复函数，可表示为实部和虚部形式：,2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,87,或者用它的幅度和相位表示为： 其中 频率响应的图形表示对LSI系统的分析具有极其重要的意义，其中常用的图形表示是 20log|H(ej)| 与 之间的关系曲线，对数幅度标度的单位为 dB（分贝）。几个特殊点：,2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,-功率谱,分贝（decibel，dB）是以美国发明家亚历山大格雷厄姆贝尔命名的，他因发明电话而闻名于世。因贝尔的单位太粗略而用其十分之一表示（分贝），1 贝尔等于10 分贝。分贝一词于 1924 年首先应用到电话工程中 ，1968 年 CCITT 规定统一书写为 dB，不能 DB、Db、db 。,88,在日常生活和工作中离不开自然计数法，但在一些自然科学和工程计算中，对物理量的描述往往采用对数计数法。从本质上讲，在这些场合用对数形式描述物理量是因为它们符合人的心理感受特性。这是因为，在一定的刺激范围内，当物理刺激量呈指数变化时，人们的心理感受是呈线性变化的，这就是心理学上的韦伯和费希钠定律。它揭示了人的感官对宽广范围刺激的适应性和对微弱刺激的精细分辨，好像人的感受器官是一个对数转换装置一样。,2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,0 dB 对应 |H(ej)| = 1 20 dB 对应 |H(ej)| = 10， -20 dB 对应 |H(ej)| = 0.1 3 dB 对应 |H(ej)| = 1.4， -3 dB 对应 |H(ej)| = 0.707， |H(ej)|2 = 0.5 ，又称为半功率点。 6 dB 对应 |H(ej)| = 2， -6 dB 对应 |H(ej)| = 0.5，幅度下降一半。 采用对数描述，一是用较小的数描述了较大的动态范围，特别有利于作图的情况；二是可把某些非线性变化的量转换成线性量。,89,例2.7 a) 求下列差分方程所表示的滤波器的频率响应表达式：,解： 对每一项都进行 DTFT 变换，得：,频率响应为：,2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,90,例2.7 b) 与上题相反，求下列频率响应函数对应的差分方程,解：首先分子分母都除以 2，把这个频率响应整理为：,交叉相乘，得：,2.5 DTFT 的性质： LSI 系统的频率响应,利用 DTFT 的性质，对每项进行 IDTFT 变换，得：,这个系统的差分方程为：,91,2.5 DTFT 的性质： 调制,调制特性：将序列乘以一个复指数的结果是其 DTFT 频率移位，即 因此，用频率为 c 的余弦去调制一个序列将把其频谱上下移动 c ，即,0,幅度,载波,基带信号,调制信号,92,2.5 DTFT 的性质：时域相关定理,证明:,如果令 Ex(ej) 是能量信号 x(n) 的自相关函数 rx(m) 的傅里叶变换，由上述相关函数，得：,能量信号 x(n) 自相关函数的傅里叶变换等于 x(n) 的傅里叶变换的幅值平方，即 x(n) 的能量谱。,时域相关定理：若 r(n) 是 x(n) 和 h(n) 的相关函数，即,和卷积的区别 1)形式相似 2）卷积描述的是离散系统 3）相关是两个信号，与系统无关,93,2.5 DTFT 的性质：维纳-辛钦定理,功率信号 x(n) 自相关函数和其功率谱是一对傅氏变换,其中 Px(ej) 是功率信号 x(n) 的功率谱；X2N(ej) 是下述信号的傅里叶变换：,确定信号的维纳-辛钦定理,功率信号的自相关函数,信号 x(n) 的总功率为：,94,2.5 DTFT 的性质：Parseval 定理,乘积定理的一个推论是帕斯瓦尔定理，又称为能量守恒定理，即变换前后能量保持不变：,证明:,Parseval 定理说明，信号在时域的总能量等于其在频域的总能量。频域的总能量等于 |X(ej)|2 在一个周期内的积分， |X(ej)|2 是信号的能量谱,信号 x(n) 在时域的总能量 Ex 为：,95,2.5 DTFT 的性质：其它,时间移位：一个序列在时间上平移 n0 位的结果是其 DTFT 乘以一个复指数（引入一个线性相位项），即 时间翻转：按时间翻转一个序列的结果是其 DTFT 按频率翻转，即 微分： 反复利用这个性质，即可得到当 k 为任意整数时 nkx(n) 的 DTFT 变换 共轭：,96,2.5 DTFT 的性质：小结,上述性质在简化 DTFT 计算方面非常有用,97,2.6 离散信号的 Z 变换,Z 变换是一种分析离散时间信号和系统的有用工具，它与连续时间信号和系统中的拉普拉斯变换地位相当。 线性模拟系统： L变换（拉氏变换）：解常系数微分方程的运算方法 微分方程 代数方程（时域 s 域） 离散系统: Z变换：解常系数差分方程的运算方法 差分方程 代数方程（时域 z 域） Z 变换的用途： 求解常系数差分方程 估计一个输入给定的 LTI 系统的响应 设计线性滤波器,98,2.6.1 Z 变换的定义及其收敛域,序列 x(n) 的 Z 变换定义 正变换： z 复变量，它所在的平面称为复平面 令 z 表示为复指数形式：,双边 Z 变换定义,因为 Z 变换是复变量的函数，便于用 Z 复平面描述，Z 平面的横轴、竖轴分别代表变量 z 的实部和虚部。对应 |z|=1 的圆，称为单位圆。,99,收敛域 既然 X(z) 是幂级数，就存在它是否收敛的问题！ 对于任意给定的序列 x(n)，使其 Z 变换收敛的 z 值集合称作 X(z) 的收敛域 ROC（Region of Convergence），即： z：X(z) 存在 。 即 ROC 是满足 的区域。,2.6.1 Z 变换的定义及其收敛域,注意：不同的序列 x(n) ，可能具有相同的 Z 变换结果，只是收敛域不同，故在确定 Z 变换时，必须指明收敛域。,反变换：,100,因收敛域仅决定于模值 |z|=r，按复变函数的理论，幂级数的收敛域为 Z 平面上的环状区域： r1 |z| r2， r1、r2 是 X(z) 的极点所在圆的半径。 在收敛域内的 X(z) 是解析函数，X(z) 的极点在收敛域ROC 之外，收敛域以极点为边界，收敛域内无极点。 r1 可以取 0，r2 可取 。如果 r2 r1，说明收敛域不存在，那么 Z 变换也不存在。,2.6.1 Z 变换的定义及其收敛域,根据极点和收敛域 ROC 的情况，x(n) 序列分为： 右边序列（ROC: |z| r1 ） 左边序列（ROC: |z|0，x(n)=0，则ROC还包括 z=0）,101,2.6.1 Z 变换的定义及其收敛域,单边 Z 变换的定义* 单边 Z 变换的大部分性质和双边 Z 变换的相同，但移位特性不同。具体说，如果 x(n) 的单边 Z 变换为 X(z)，则 x(n-1) 的单边 Z 变换为： 正是移位特性，使得单边 Z 变换主要用于解具有初始条件的常系数差分方程。 例：求解线性常系数差分方程， 假设初始条件 x(n)=(n-1)，y(-1)=y(-2)=1。,见 Monson H. Hayes，Digital Signal rocessing，McGraw-Hill，1999,102,2.6.2 Z 反变换,常用方法： 幂级数展开法（长除法） 部分分式分解法 留数法（围线积分法） Matlab 注意：收敛域 ROC,从给定的 Z 变换闭合式 X(z) 中还原出原序列 x(n)，称为 Z 反变换：,103,柯西定理,式中 c 是一条逆时针方向环绕原点的围线。,两边同乘上 zk-1，在 X(z) 的收敛区域内取一条包围原点的逆时针闭合曲线 c 作围线积分，得到,2.6.2 Z 反变换：留数法,Z 变换的定义：,104,右边表达式，交换积分与求和次序，根据柯西定理可得,把上页表达式中的变量 k 换成 n，即得 Z 反变换的定义：,式中 c 是 X(z) 收敛域内的一条逆时针方向绕原点的闭合围线。,2.6.2 Z 反变换：留数法,问题：如何求解上述围线积分？,105,设 zk 是被积函数 X(z)zn-1 在围线 c 内的一组极点。根据留数定理，x(n) 等于围线 c 内全部极点留数之和，即：,2.6.2 Z 反变换：留数法,利用留数定理可以求解围线积分运算,求极点的留数 X(z)zn-1 在单阶极点 z0 的留数,X(z)zn-1 在 z0 有 K 阶极点的留数,复杂！,106,2.6.2 Z 反变换：留数法,利用围线外极点留数求 x(n) 假设围线 c 内有 k 个极点 zk，c 外有 m 个极点 zm（k、m 是有限值），对于扩充复平面，围线 c 内外的极点留数之和为 0，包括无穷远点 的留数，则有： 对于在围线 c 内有多阶极点，而围线 c 外没有多阶极点的情况，为避免求多阶极点留数的麻烦，可以利用留数辅助定理，即改求围线 c 外的极点留数之和，并取负号：,要求条件：X(z)zn-1 分母多项式 z 的阶次比分子多项式 z 的阶次高二阶或二阶以上。此时，X(z)zn-1 在无穷远点的留数为零。否则，需要考虑无穷远点的留数。,107,2.6.2 Z 反变换：留数法,几点说明： 极点的确定。首先确定收敛域，然后针对收敛域中围线 c 内的函数 X(z)zn-1 的极点计算 Z 反变换。不是 X(z) 的极点，因此，需要判断 X(z)zn-1 极点是否发生了变化。 当 X(z)zn-1 在 z0 处有极点时应特别注意： 设 X(z) 在 z=0 处有 r 阶的极点，即有因子 z-r