《概率统计建模法》PPT课件.ppt

概率统计建模法,1 报童的秘诀 2 自动化车床管理,报童的秘诀,报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有买掉的报纸退回,试为报童设计一个购进报纸数量。,概率建模法,分析：众所周知，应该根据需求量确定购进量，需求量是随机 的，这需要调查，假定报童已经通过自己的经验或其他 的渠道 掌握了需求量的随机规律为f(r)，因需求量是随机 的所以，收入也是随机的，因此，不能以报童每天的收入 为目标，而应以他一段时期（比如一年）的日平均收入 为目标。,假设：,1：设每份报纸的进价为b 2：退回价为c 3：零售价为a 4：每天购进量为n份 5：每天报纸的需求量为r的概率为f(r),r=1.2.3 6：记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G（ n）,如果需求量r n ，则他售出r份，退回n-r份 如果需求量r n ，则他售出n份。,又有需求量为r的概率为f(r),问题归结为在a,b,c,f( r )已知时，求n使G（ n）最大。,通常需求量r 和购进量n都相当大，将r 视为连续性的变量更便于 分析和计算，这时概率分布率 f(r)转化为密度函数p( r ).,(1),1式变为：,利用高等数学的方法。计算,令,使报童日平均收入达到最大的购进量n应该满足（3）式，,3,又因：,所以（3）式可以化为,根据需求量的概率密度函数p( r ).的图形 很容易从（3）式确定购进量n，在图中用A ，B中分别表示曲线p( r ).下的两块面积，则 （3）式可记作：,n,A,B,5,因为当购进份报纸n时，,是需求量r不超过n的概率。,即卖不完的概率,是需求量r超过n的概率。,即卖完的概率,所以,购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于 卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。,显然：但报童与报社签定的合同使报童每份赚钱与赔钱之比。 越大时，报童购进的份数救应该越多。,推广：一般地，报纸每天的需求量的规律（分布律）未知，需要 经过调查和统计得出 以及日常得一些事件的影响，对该问题的影响。,自动化车床管理,引例 零件的预防性更换,问题：1999赛题,可靠度和失效率 用随机变量X表示零件的寿 命，其分布函数 表示零件寿命不超过 的概率 （及在时刻 t 之前失效）X的概率密度记为f(t)， 寿命大于的概率记为R(t)，及R(t)=P(Xt)=1-F(t) 称为零件的可靠度，,显然有R(0)=1,R(无穷)=0,1-20,平均寿命即X的期望为（设积分收敛）,1-21,典型的失效率函数形状如图：,T,R（T）,它是一个条件概率， 当,1-22,预防性更换策略,这是一个随机性优化模型，目标函数取为单 位时间的平均损失，零件每更换一次称为一 个周期，周期的平均长度为,1-23,1-24,化简为,*式有解的条件是：,1-25,二：设备检查方案,1:设备故障时刻的概率分布函数为F(t)，概 率密度为f(t)，设备使用期限为T，于是 F(T)=1 2:设备带故障运行到检查时为止的损失与这 段时间呈正比，比例系数即为单位时间损失费,1-26,3相邻两次检查之间出现故障的时刻可认为是 均匀分布，而带故障运行的时间则取这个分布 的均值。 4：每次检查费用为c2，到时刻t为止的检查次数 可表示为,设备在运行一次中总费用的期望值为,1-27,它是一个泛函极值问题,自动化车床管理,模型假设,1-28,目标函数应为每个零件的平均费用,组意到每个零件才检查一次，再某一检查点 发现不合格品，一般说来，不止一个详细如下：,1-29,In次检查 （I+1）n次检查,0 。 。 1 0 0 。 1 1 0 0 0 。 1 1 1 。 。 。 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,所以m=(n+1)/2,1-30,C的计算，首先根据所给数据算出刀具的平均故 障间隔a=600,非刀具故障间隔为b=11400 当进行预防性更换时，平均间隔为,1-31,第二问：主要注意两种误判 1：工序正常，检查到不合格品误判停机 2：工序故障，检查到合格品继续生产到下 一次检查，使不合格品数增大,在这两种误判下两次检查间生产的不合格品 的平均数为,W=40%,1-32,以下解法略,具体参考438,1-33,前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。,考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。,最小二乘法,设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望,最小,此式对a和b的偏导数均 为0，解相应方程组，求得：,例1（举重成绩的比较）,模型1（线性模型）,模型2（幂函数模型）,模型3（经典模型）,(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积A，即L=k1A (2)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2 (3)体重正比于身高 L的三次方， 即B=k3L3,根据上述假设，可得,显然，K越大则成绩越好，故可用 来比较选手比赛成绩的优劣。,模型4（O Carroll公式）,(1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) B-Bo =k3L3,假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。,故有：,根据三条假设可 得L=k(B-B0),k和为两个常数，,此外，根据统计结果，他 得出B035公斤，,模型5（Vorobyev公式）,上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式均满足在 B=75公斤时有 L=L，则上述各公式化为：,将公式（1）（4）用来比较1976年奥运会的抓举成绩，各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表 所示，比较结果较为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的差异也较为微小。,例2 体重与身高的 关系,插值方法,例8 人口问题的偏微分方程模型,人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。,设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有：,对（3.38）式关于x从0到A积分，得：,令：,B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有：,若B(t)、D(t)与t无关，则可得:,例9 交通流问题,现实生活中可能吗？,车流密度和车速不可能是常数,分布参数法：,x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。,如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻t时车辆按x方向分布的密度，再设q(t,x)为车辆通过x点的流通率。,车辆数守恒，有：,由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。,利用经验公式导出基本方程。,图3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,其中u的单位是车辆数/每英里，q的单位为车辆数/每小时。图中可以看出：,（2）u增大到一定程度（达到um）时，q达到最大；u继续增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。,（1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公路是空置的，车辆率q为零）；随着u的增大，公路利用