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2019/6/12,近世代数,第三章 环与域 3 循环环、剩余类环,2019/6/12,一、循环环,定义1 若环,关于加法是循环群，称,为循环环.,，则,时，,（2）当,时，,例1 整数环是循环环.,定理1 若,（1）当,定理2,(1) 循环环是交换环，,(2) 循环环的子环是循环环，,(3) 无限阶循环环的特征是无限，,n阶循环环的特征是n.,2019/6/12,二、模m的剩余类环,1. 剩余类环的构造:,规定,则,关于剩余类的加法与乘法构成,为大于1 的正整数, 则有,设,一个有单位元的交换环.,2019/6/12,2. 剩余类环的性质,定理1 设,则,为,的零因子,(1),(2),为,的可逆元,证：(1)若,为,的零因子,则存在,使得,故,.若,则,所以,矛盾.于是,.,反之,如果, 设,则,所以,但,于是,是零因子.,2019/6/12,(2)若,为,的可逆元,则,即,于是,使得,也就是,，所以,反之, 如果,则,因此,故,可逆.,剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.,2019/6/12,例 2,解 (1),(2),直接计算可知,相应的逆元为,全部零因子:,全部可逆元:,(3),全部子环:,(4),各子环特征:,2019/6/12,定理2,为无零因子环,为素数.,为素数，若,，则,，,或者,，即,若,不是素数，则,证：设,为无零因子环.,为有零因子环.,2019/6/12,定理3,为域,为素数.,（有限无零因子环是除环）,2019/6/12,练习：,
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