《D习题课基础班》PPT课件.ppt

1,高等数学考研基础班,主讲教师:全 焕,同学们好！,2,考好数学的奥秘-陈文灯,数学基础树的根，,技巧演练考题型，,勤学苦练强磨砺，,功到高分自然成。,数学基础班-陈文灯,考研数学基础班，,任务搬掉“三重山”，,基础夯实张开帆，,一路凯歌无难关。,注：“三重山”指基本概念、基本理论、基本运算。,3,二、极限,一、函数,三、连续与间断,第一章 函数与极限, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,4,1.函数定义：,设 x 和 y 是两个变量，,法则 f，,总有确定的数值y和它对应，,记作:,因变量,自变量,函数值.,函数值的全体组成的集合称为函数的值域.,如果对于每一个给定的,则称y是x的函数，,一、函数,图形:,(一般为曲线 ),通过,定义域(非空数集),5,2.函数定义的两要素：,定义域,和,对应法则,3.两个函数相同的条件：,(1)定义域同，(2)对应法则同,不同,不同,相同,不同,定义域:,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题有意义的自变量集合.,6,4.定义域的求法：,(1)分式函数：,分母不等于零的自变量的值.,(2)开偶次方：,(3)对数函数：,(4)反三角函数：,(5)多个函数的代数和的定义域：,是其各自定义域的交集.,使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数 的(自然)定义域.,7,5.函数的四种特性,(1)函数的有界性:,说明：,1.界不唯一,不一定找最小的界.,2.函数的有界性是局部概念.,使,称,为有界函数.,一般的,3.还可定义有上界、有下界.,有界的充分必要条件是既有上界又有下界.,8,(2) 单调性,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,为 I 上的,单调减函数 ;,注意: (1)这里是严格单调.,(2)单调性是局部概念.,9,(3)函数的奇偶性:,设D关于原点对称，,对于,有,则称f(x)为偶函数.,有,则称f(x)为奇函数.,注意：,(1)定义域关于原点对称,奇偶性是整体概念.,(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形 关于y 轴对称.,不是,是,(3),奇偶函数的定义域不一定是R.,(4) 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,10,(4) 周期性,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期.,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,说明：,10周期函数的定义域是无限的点集.,20周期函数不一定存在最小正周期 .,结论：,设函数,11,6.反函数,(1)定义,(2)性质,其反函数,(减),(减) .,1) y = f (x) 单调递增,且也单调递增,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,(注意：对单值函数而言的),12,7. 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,13,(1) 基本初等函数:,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数:,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,均为初等函数.,8. 初等函数,14,非初等函数举例:,(2)取整函数:,注意：,分段函数一般不是初等函数.,(1)符号函数:,15,函数的分类:,初等函数,非初等函数(大部分分段函数,有无穷多项的函数),代数函数,超越函数(解析式中含反，对，指，三的函数),有理函数,无理函数(解析式中含有根式的函数),有理整函数(多项式函数),有理分式函数(分式函数),函数,16,例1. 设函数,求,解:,x 换为 f (x),17,例2下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),18,解:,例3.,及其定义域 .,由,得,例4. 已知, 求,解:,19,1.定义：,(1)数列极限的精确性定义：,二、极限,(4)左极限,右极限：,20,(5)极限定义的等价形式,有,21,3. 无穷小,(1)无穷小的性质 ;,(2)常用等价无穷小: 当 时,2. 函数极限的性质：惟一性；局部有界性； 局部保号性；归并性.,22,(3)无穷小的比较:,设,是同一过程中的两个无穷小，,且,记作：,特别地,若C =1时,记作：,23,4. 两个重要极限:,5. 求极限的法则:,(1)极限的四则运算法则,定理：,如果,则,(1),(2),(3),其中,(2)数列极限的单调有界准则，夹逼准则,(3)复合函数的求极限法则（变量代换法）,存在+存在=存在 存在+不存在=不存在 不存在+不存在=不一定存在,24,求极限的方法,1.利用四则法则;,2. 恒等变形法;,3.利用无穷小的性质;,4.利用两个重要极限;,5.利用函数的连续性;,4.变量替换,约去零因式,3.,：通分,等价无穷小代换.,分子分母有理化,6.利用极限存在的充要条件;,6. 求极限的基本方法:,抓大头,7.利用夹逼准则.,25,例1. 求下列极限：,解:,令,26,则有,复习: 若,27,(4) 求,解:,原式 = 1,(2000考研),28,几个常用极限与几个极限不存在的例子,29,(5) 求,解:,30,错在哪里？,31,解:,经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限.,32,例2. 确定常数 a , b , 使,解:,原式,33,解:,34,例4. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因为,故,35,非零因子要及时分离出来,36,37,例6. 函数,解答: 无界但不是无穷大.,38,三、 连续与间断,(1)函数,在点,的某邻域内有定义，,函数,在点,的某邻域内有定义,则,1.函数在 处连续的定义,39,2.函数的间断点:,间断点的分类与判别:,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,40,41,3.连续函数的运算性质:,4.初等函数的连续性:,定义域不能构成区间,42,5.闭区间上连续函数的性质:,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,定理3(零点定理),定理4(介值定理),则对 A 与 B 之间的任一数 C,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,43,例1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = -1 为第一类可去间断点.,x = 1 为第二类无穷间断点.,x = 0 为第一类跳跃间断点.,间断点为：,44,45,注意：,初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.,46,例3. 设函数,在 x =