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湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 第五章 数值微分与数值积分_自测题及答案 1.求积公式 )()( 2 d)(bfaf ab xxf b a 具有( )次代数精度. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 答案：D 2.当 n=4 时,复化抛物线求积公式( ) b a xxfd)( (A) 3 ab f(x0)+ f(x1)+ f(x2)+ f(x3)+ f(x4) (B) 12 ab f(x0)+4( f(x1)+ f(x3)+2f(x2)+ f(x4) (C) 6 ab f(x0)+2(f(x1)+ f(x2)+ f(x3)+ f(x4) (D) 3 ab f(x0)+2(f(x1)+ f(x3)+4f(x2)+ f(x4) 答案：B 3当n=6时，=( ) )( C 840 216 )D( 840 27 )C( 840 272 )B( 840 41 )A( )6( 1 )6( 4 )6( 3 )6( 6 CCCC 答案：D 4.等距二点求导公式f(x1) ( ) 01 01 10 10 10 01 01 01 )()( )D( )()( )C( )()( )B( )()( )A( xx xfxf xx xfxf xx xfxf xx xfxf 答案：A 5. 用梯形求积公式计算积分 2 1 2dx x 答案： 2 5 6. 已知当n=4时，科茨系数为 90 12 , 90 32 , 90 7 )4( 2 )4( 3 )4( 1 )4( 4 )4( 0 CCCCC，等分区间a,b, 分点为a=x0x1 x2 x3 x4=b,那么科茨求积公式是 b a xxfd)( 答案：)( 90 7 )( 90 32 )( 90 12 )( 90 32 )( 90 7 )( 321 bfxfxfxfafab 1 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 7. 已知数值积分的梯形公式)()(d)(bfaf ab xxf b a ，将区间a,bn等分，分点 xk=a+kh，k=0,1,2,n，h=(ba)/n，则复化梯形求积公式是 b a xxfd)( 答案： )()(.)()(2)( 2 121 bfxfxfxfaf h n 已知求积节点，则求定积分 01234 axxxxxb( )d b a f xx 的近似解的复合 Simpson公式可表示为（ ）. 答案： 0132 ()4( ()()2 ()() 12 ba 4 f xf xf xf xf x 8.已知n=3时，科茨系数 )()()( ,CCC，那么 )( C 答案：1/8 9. 插值型求积公式d 0 ( )() n b kk a k f xxA f x ，( ) b kk a Alx dx n xb 至少具有_次代数精 度，这里的求积节点为. 01 axx 求积公式的代数精度以( )求积公式为最高，具有 ( )次代数精度。 ； b a k n k k xfAxxf)(d)( 0 答案: n, 高斯型，； 12 n 10.已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求 ( )。 5 1 d)(xxf 答案: 12； 11.设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 ) 1 ( f ( )。 答案: 5 . 2 12.已知 3 . 1)3(, 2 . 1)2(, 0 . 1) 1 (fff _dx ，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得 3 1 )(xf ，用三点式求得 ) 1 ( f . 答案:2.367 0.25 13.计算积分 1 5 . 0 dxx ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛 2 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 ，辛卜生公式 的代数精度为 。 答案: 0.4268，0.4309，1，3； 14.试确定求积公式 的代数精度。 解解 当f(x)取1,x,x2,计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)=1,有：左边 , 右边2 (2) 取f(x)=x,有：左边 , 右边0 (3)类似导出， 取f(x)=x2, x3, 有左边=右边 (5) 取f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9 当k 3 求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。 15.试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分 (计算结果取5位有效数字) (1)用梯形公式计算 (2)用柯特斯公式 系数为 (3)如果要求精确到10 5，用复化辛卜生公式，截断误差为 RNf , N 2 只需把0.5,14等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1 3 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 16.已知函数值f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612，用三点公式计算 在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。 解解 三点导数公式为 k=1,2,3,n1 本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1。于是有 17.在区间上，求以 1, 11, 0, 1 321 xxx 为节点的内插求积公式。 解：由系数计算公式得 1 1 2 1 1 1 1 1 0 3 1 ) 11 ( ) 1( , 3 4 ) 10)(10( ) 1)(1( , 3 1 ) 11( ) 1( dx xx A dx xx Adx xx A 所以求积公式为) 1 ( 3 1 )0( 3 4 ) 1( 3 1 )( 1 1 fffdxxf 18.求求积公式)2( 3 1 ) 1 ( 3 4 )0( 3 1 )( 2 0 fffdxxf 的代数精确度。 解: 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。 令，代入内插求积公式得 3 )(xxf 左边=4 4 1 2 0 4 2 0 3 xdxx，右边42 3 1 1 3 4 )0( 3 1 333 ， 所以 左边=右边 再令，代入内插求积公式得 4 )(xxf 左边= 5 32 2 0 4 dxx，右边= 3 20 2 3 1 1 3 4 0 3 1 444 所以 左边右边 所以此公式具有3次代数精度。 4 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 19用梯形公式和4n的复化梯形公式求积分 1 01 x dx ，并估计误差。 解 （1） 梯形公式 因为 ，1, 0ba 1 1 )( x xf，代入梯形公式得 则75. 0 11 1 10 1 2 1 )1 ()0( 2 1 1 1 1 0 ffdx x （2） 复化梯形公式 因为 4 1 4 ab h和复化梯形公式得 )1 () 4 3 () 2 1 () 4 1 (2)0( 8 1 1 1 1 0 fffffdx x 697. 0 2 1 ) 7 4 6 4 5 4 (21 8 1 因为 1 1 )( x xf， 3 )1 ( 2 )( x xf ， 2)(max 10 2 xfM x 所以 3 2 ()21 ( )( ) 1212 1696 ba R ff n 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。 20用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 1 01 x dx ，使误差小于 3 10 解 （1） 辛卜生公式 因为1, 0ba， 1 1 )( x xf，代入辛卜生公式得 694 . 0 11 1 1 2 1 1 4 10 1 6 1 ) 1 () 2 1 (4)0( 6 1 1 1 0 fff x dx 4 （2） 复化辛卜生公式 因为24 )1 ( 24 )(max 5 )4( 10 4 x xfM x 解不等式 3 4 5 4 4 10 120 1 2880 m ab m M fR）（ 得 ，用2m 4 1 , 4, 2nnm，复化辛卜生公式计算得 ) 1 () 2 1 (2) 4 3 (4) 4 1 (4)0( 12 1 1 1 0 fffff x dx 5 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 69325 . 0 ) 1 () 2 1 (2) 4 3 (4) 4 1 (4)0( 12 1 fffff 变化题型：变化题型：用辛卜生公式和的复化辛卜生公式计算积分 2n 1 01 x dx 21 设为内插求积公式系数 ), 1 , 0(niAi 证明 n i ii nabxA 0 443 )2()( 4 1 证明：设 ，因为 3 )(xxf0)(, 2 4 xRn 所以 n i ii b a n i ii b a xAabdxx xAdxx 0 3443 0 33 )( 4 1 。 22 求A、B使求积公式 1 代数精度尽量高, 并求其代数精度；利用此公式求 1 ) 2 1 () 2 1 ()1 () 1()(ffBffAdxxf 的 2 1 1 dx x I 留四位小数)。 (保 解：令是精确成立，即 2 , 1)(xxxf 3 2 2 1 2 222 BA BA 得 9 8 , 9 1 BA 求积公式为) 2 1 () 2 1 ( 9 8 )1 () 1( 9 1 )( 1 1 ffffdxxf 当时，公式显然精确成立；当时，左= 3 )(xxf 4 )(xxf 5 2 ，右= 3 1 。所以代数精度为3。 69286. 0 140 97 321 1 32/1 1 9 8 31 1 31 1 9 1 3 11 1 1 32 2 1 dt t dx x xt 6 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 23取n=3,用复合梯形公式求 x xd e 1 0 的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 解： 7342. 1e)ee(2e 32 01 de 132310 3 1 0 Tx x xx xfxfe)(,e)( ， 10 x 时， e| )(| x f 05. 0025. 0 108 e 312 e |e | 2 3 TR x 至少有两位有效数字。 24. 将区间分为八等份， 采用分点上的函数值， 分别用复合梯形公式和复合Simpson 公式计算下面的定积分,计算过程中保留6位小数。 1 , 0 dx x x 1 0 2 4 解：，8n 8 1 h， 2 4 )( x x xf ，分点和分点上的函数值分别为： i x ) ( i xf 0 0 0.125 0.031128 0.25 0.061539 0.375 0.090566 0.5 0.117647 0.625 0.142349 0.75 0.164384 0.875 0.183607 1 0.2 复合梯形公式： 8 1 18 )()( 8 1 2 1 i ii xfxfT ) 8 7 (2) 4 3 (2) 8 5 (2) 2 1 (2) 8 3 (2) 4 1 (2) 8 1 (2) 1 ()0( 16 1 fffffffff 111403. 0 复合Simpson公式： 4 1 2 114 )()(4)( 4 1 6 1 i i i i xfxfxfS ) 8 7 (4) 8 5 (4) 8 3 (4) 8 1 (4) 4 3 (2) 2 1 (2) 4 1 (2) 1 ()0( 24 1 fffffffff 111573. 0 7 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料 陈以平编写 25.试利用函数在节点 x xexf )(khxxk 0 ， 其中 0 0 x,h1/8，k0,1,2,3,4,5,6,7， 8上的值,分别用复化Simpson公式和复化梯形公式计算定积分,(保留小数 点后三位数). 1 0 dxxe x 解：解： () kk Kxf x 0 0 0.0000 1 1/8 0.11031 2 1/8 0.19470 3 3/8 0.25773 4 4/8 0.30317 5 5/8 0.33454 6 6/8 0.35428 7 7/8 0.36475 8 8/8 0.36788 则 8 1/16 (0)(1)2( (1/8)(2/8)(3/8)(4/8) (5/8)(6/8)(7/8)0.264 Tffffff fff 4 1/ 24 (0)(1)2( (2/8)(4/8)(6/8)4( (1/8) (3/8)(5/8)(7/8)0.264 Sffffff fff 26.试利用函数 2 4 1 )( x xf 在节点khxxk 0 ，其中 0 0 x,h1/4，k0,1,2,3,4上 的值,分别用复化Simpson公式和复化梯形公式计算定积分 1 0 4 2 1 dx x x ,(保留小数点后 三位数). 解： () kk Kxf 0 0 0.25 1 1/4 0.24615 2 1/2 0.23529 3 3/4 0.21918 4 1 0.2000 则 4 2 111 (0)(1)2( ( )( )( ) 842 0.231 113 (0)(1)4 ( )4 ( )2 ( ) 12442 0.232 Tfffff Sfffff 3 4 1 8 湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材