《无穷小无穷大》PPT课件.ppt

,第 2 章,2. 3 . 2 无穷小量的比较与运算法则,2 . 3 . 3 等价 无穷小及其应用,2 . 3 . 1 无穷小量的概念, 2. 3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,2 . 3 . 4 无穷大量,是 (当,2. 3. 1 无穷小量的概念,定 义:,则称变量 u 为该极限过程中的无穷小量。,例如 :,故函数,是 (当,时的) 无穷小；,故数列,时为) 无穷小；,故函数,是 (当,时为) 无穷小；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,约定：, 某个给定的极限过程中变量 u 的极限.,当自变量,时，它表示函数的极限；,当自变量取正整数时，它表示数列的极限。,注：,简称无穷小。,若,记作：,则称 v 为该极限过程中的一有界量，,记作：,若,函数,是 (当,时为) 有界量。,）不能忽略极限过程谈论无穷小量；,）除了常数 0 之外，任何非零常数均不是无穷小量。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注明:,）约定：无穷小量均为取非零值的变量。,为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷,的度量尺度（基本无穷小）为：,当,时；,当,时；,当,时；,定理 ：,定理 ( 函数极限与无穷小的关系 ),证:,且,且,）有限个无穷小量的和（积）仍为无穷小量；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,）有界量与无穷小量的积是无穷小量。,推论：常数与无穷小量的积是无穷小量；,有限个无穷小量的线性组合仍是无穷小量。,且,都是无穷小,2.3.2 无穷小量的比较与运算法则,例如 . 当,但,因此，有必要对它们作进一步的分析与研究。这里提出了,机动 目录 上页 下页 返回 结束,尽管各无穷小量的极限均相同（为 0 ）, 但在同一极限过程,中它们趋于零的快慢程度（速度）、方式并非完全一致。,两个方面的问题：,. 确立一套比较原则（方法），即如何比较的问题；,. 选定一个比较标准或称为比较尺度（基本无穷小），,即用什么作比较的问题。,时，,定 义：,）若,则称 u 是 比 v 高阶的无穷小,）若,）若,）设 为该极限过程的基本无穷小，,或,记作：,（或称 v 是,则称 u 与 v 是同阶的无穷小，,则称 u 是 k 阶无穷小，,则称 u 与 v 是等价的无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设同一极限过程中,记作：,记作：,称为无穷小 u 的主部。,无穷小 u 的阶；,记作：,若,k 称为,比 u 低阶的无穷小），,C 为常数，,显然,即,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是（关于 x 的） 2 阶无穷小,其主部是：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,注明：,并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。,例如：,均是无穷小( x0 ),但两者是无法比校的。,无穷小量的运算：,定 理 ：,设同一极限过程中的,C 为非零常数，,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 3. 3 等价无穷小及其应用,证:,即,例如,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定 理 1 .,设在同一极限过程中：,则,（和取低阶的原则）,当,时，,即,定 理 2 .（等价替换原理）,则,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,）积 (商) 替换：,设,）和 (差) 替换：,设,w 为一表达式，,则,) 的证明不难，同学自证，下只证）,例 1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算下列极限：,例2. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 3. 4 无穷大量,定 义 ：,则称函数,（当,时）为无穷大，,使得,若在定义中将 式改为,记作,记作,存在着,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称函数,（当,时）为正无穷大，,若在定义中将 式改为,记作,则称函数,（当,时）为负无穷大，,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定 理：（无穷小与无穷大的关系）,变量 u 为某一极限过程的无穷大量的充分必要条件是：,变量,为同一极限过程的无穷小量。,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th 2.6.1,3. 无穷小与无穷大的关系,Th 2.6.4,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,4. 无穷小的比较：,设 , 为同一极限过程中的两个无穷小，且满足：, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小，,k 称为无穷小 的阶，,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,3. 无穷小与无穷大的关系,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,4. 无穷小的比较,设 , 为同一极限过程的无穷小量，, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,内容小结,4. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明: 当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,机动 目录 上