矩阵的特征值与特征向量(吕).ppt

第五章 相似矩阵及二次型,矩阵的特征值与特征向量 向量的内积 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型,5.2 矩阵的特征值与特征向量,一、基本概念,三、特征值与特征向量的性质,特征值与特征向量,特征多项式与特征方程,二、特征值与特征向量的计算,一. 方阵的特征值与特征向量,1. 特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量 ，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征值，,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,是方阵,1.定义 2.求法 3.性质,（2）特征向量 是非零列向量,（4）一个特征向量只能属于一个特征值,（3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一,一、基本概念,Ax4x,从几何上来看，特征向量x 的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变 或者方向相反 , 至于 时，特征向量就被线性变换变成0.,2. 特征值与特征向量的求法,或,或,是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。,称为矩阵 的特征方程。,求特征值、特征向量的求解过程：,求出 即为特征值;,把得到的特征值 代入上 式，,即为所求特征向量。,（去掉零解）即为与对应的全部特征向量。,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,得基础解系,解,得基础解系为：,思考：对角阵的特征值是什么？,三角形矩阵的特征值是什么？,所以齐次线性方程组AXo有非零解X1。,例3试证：n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零。,证：必要性： 如果A是奇异矩阵，,充分性 ：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1。,|0E-A|,则|A|0。,|-A|,(-1)n|A|0，,即0是A的一个特征值。,由特征值的定义，有 AX10X1o (X1o)，,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵。,三、特征值与特征向量的性质,【性质】 设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值。,【性质2】如果n阶方阵A的全部特征值为l1，l2， ，ln， （k重特征值算作k个特征值），则,|lE-A|= |(lE-A)T| =|lE-AT|, l1l2 ln|A|,证明 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|，则的任一个特征值都不为零,则，因而,即-是A-的特征值，x也是A-的对应于-的特征向量.,【性质3】,若是的属于特征值的特征向量，,【性质4】,即 若f (x)是一个多项式，是A的特征值则f ()是f (A)的特征值, 且对应特征向量相同.,证明,对应特征向量是:,对应特征向量也是:,证明,则,即,类推之，有,P165引理1,把上列各式合写成矩阵形式，得,例6、,矛盾。,证明,课堂练习题,一、单选题,可逆矩阵与矩阵（ ）有相同的特征值 ； ； ； ,为n阶方阵，则（ ）结论成立 可逆，则矩阵属于特征值的特征向量 也是属于的特征向量； 的特征向量既为方程 （）的全部解； 特征向量的线性组合仍是特征向量 与特征向量相同,课堂练习题,一、单选题,答案： ； ; 3. ,设是一个可逆矩阵，则其特征值中（ ） 有零特征值 有二重特征值零 可能有也可能无零特征值 无零特征值,二、填空题,课堂练习题,已知三阶方阵的三个特征值为，则 |A|（ ）， 的特征值为（ ）， 的特征值为（ ）， 的特征值为（ ）,设k=0，k是正整数，则的特征值为（ ） ,若，则的特征值为（ ） ,，-1/2, 1/3,，,4, 1, 16,0,0, 1,二、填空题,课堂练习题,4设A是3阶方阵，已知方阵， 都不可逆，则的特征值为（ ）,已知三阶矩阵A的特征值为， 则（ ）。,1, -1, 3,-72,会求方阵的特征值和特征向量,熟记特征值和特征向量的性质,作业： P138： 5（1）， 8，11，12,要求：,练习：,4、方程(lE-A)xo的解都是特征值l的特征向量吗？,1、设A是n阶方阵，如果数l和n维非零列向量x满足 _，则称l为A的特征值，x称为A的对应于特征值l的特征向量。,Axlx,2、数l为A的特征值 l满足_。,|lE-A|0,3、向量x为A的对应于特征值l的特征向量 x满足_。,(