§7-2平面向量的线性运算.ppt

7.2 平面向量的线性运算,复习回顾：,1、向量：,既有大小又有方向的量叫做向量,2、平行向量：,方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,3、相等向量：,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,节引言：,数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。 下面我们学习向量的线性运算。,一、向量加法运算及其几何意义,向量加法运算及其几何意义,例如:某对象从A点走到B点.,日常生活中遇到的向量加法问题:,然后从B点走到C点.,思考:这个人所走过的位移是多少?,A,B,C,分析 :由物理知识可以知道:,从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.,向量加法运算及其几何意义,E,O,O,E,思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长.,向量加法运算及其几何意义,E,O,O,E,探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.,同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,F1+F2=F,力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.,向量加法运算及其几何意义,向量加法的定义：我们把求两个向量 和的运算,叫做向量的加法, 叫做 的和.,两个向量的和仍然是一个向量.,向量加法运算及其几何意义,首尾相接，首尾连,向量加法的三角形法则,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,向量加法运算及其几何意义,向量加法的平行四边形法则,起点相同，连对角,力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型,向量加法运算及其几何意义,例1.如图，已知向量 ，求作向量 。,则,作法1：在平面内任取一点O，,作 ， ，,例题讲解：,o,A,B,o,A,B,C,作法2：在平面内任取一点O，,作 ， ，,连结OC，则,向量加法运算及其几何意义,思考：,如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？,（1）,（2）,B,C,B,C,向量加法运算及其几何意义,（1）,（2）,（4）,课堂练习：,一、用三角形法则求向量的和,（2）,二、用平行四边形法则求向量的和,向量加法运算及其几何意义,数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) 任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？,探究：,C,A,B,D,向量加法运算及其几何意义,( ),( ),向量的加法满足交换律和结合律.,结论,向量加法运算及其几何意义,例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.,学以致用：,向量加法运算及其几何意义,解：,如图，设 表示水流的速度， 表示渡船的速度，,表示渡船实际过江的速度.(由平行四边形法则可以得到),5.4,答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流速间的夹角约为680,分析：,向量加法在实际生活中的应用，本例应解决的问题是向量模的大小及向量的方向,向量加法运算及其几何意义,变式：,在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船行进的方向是_.,向量 表示静水流速， 表示船行进方向， 表示船实际行走路线，垂直于水流方向，所以DAC即为所求,方向与水的流速间的夹角为120o,向量加法运算及其几何意义,课堂练习：,A,B,C,D,E,（1）根据图示填空：,14,1、相反向量：,规定：,（1）,（3）设 互为相反向量，那么,二、 向量的减法运算及其几何意义,记作：,的相反向量仍是 。,2、向量的减法：,（2）,设,D,E,又,所以,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？,3、几何意义：,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,（1）如果从 的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？,（2）当 ， 共线时，怎样作 呢？,A,B,O,A,B,O,一般地,B,A,O,（三角形法则）,练习：,已知向量 ，求作向量 ， 。,例3,O,B,A,C,D,作法：,在平面内任取一点O，,则,作,注意：,起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。,练习：,已知向量 ，求作向量 。,（1）,（2）,（3）,（4）,例4,在 ABCD 中，,你能用 表示 吗？,D,B,A,C,变式二 本例中，当 满足什么条件时，,巩固练习：,1、在 中， ， ，则,2、如图，用 表示下列向量：,D,B,A,C,E,B,A,C,学习：向量数乘运算,1、向量的数乘运算的定义：,注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向,三、向量数乘运算及其几何意义,(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。,(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。,=,向量的数乘运算的定义,你能说出向量数乘运算的几何意义吗？,数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题.,2、数乘向量的几何意义：,3、向量的数乘运算满足如下运算律：,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,例1：计算下列各式,例4:若 其中 , 是已知向量,求 ，,分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得,解：记 ， ,3得 ,-得,概念辨析,线性运算练习,向量共线定理：,思考:1) 为什么要是非零向量?,2) 可以是零向量吗?,归纳小结：,1、一个概念: 向量的加法 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 3、两条运算律: 向量加法的交换律