《D3考研基础班》PPT课件.ppt

1,二、洛比达法则及其应用,一、微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,三、导数应用-研究曲线的性态,2,存在 (或为 ),定理 1.,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,二、洛比达法则及其应用,3,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,4,洛必达法则适用于：,5,例1.,解:,例2.,解:,6,注意：,1)条件充分但不必要.,洛必达法则的使用条件.,例如,极限不存在也不是无穷大,2)对有些极限失效,7,如：,事实上：,如：,8,3)对数列极限的未定式,若想用洛必达法则,应先用以下定理:,4)想用洛必达法则之前应先,(1)检查极限的类型是否为,(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四 则法则、变量代换等.,注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.,9,例3. 求,分析: 为用洛必达法则 , 必须改求,法1: 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁 !,法2:,原式,10,练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（ ）,11,12,1. 研究函数的性态:,单调性 ,极值 ,凹凸性 ,拐点 ,渐近线 ,曲率.,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化，,最值的判别问题.,3. 其他应用 :,几何应用 ;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,三、导数应用-研究曲线的性态,13,1.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.,说明：,(2)单调区间应首先为连续区间.,(1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，,结论仍然成立.,求,的连续区间，,求,求导数等于零的点和不可导点，,用以上的点分割定义区间，列表判断.,(3)求 单调区间(判断单调性)的步骤:,化为积商，,14,定义:,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,问：极值点是连续点吗？,2.利用导数求函数的极值.,注意：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,是整体的、,唯一的.,是局部的、相对的、,最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间,的内点处取得.,15,定理1,(必要条件),(费马定理),取得极值,注意：1),可导函数的极值点,驻点,如：,是驻点，,但,不是极值点.,即：可导函数的极值点,驻点,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,却是极小值点.,在,处连续不可导，,也不是极值点.,3),极值点的可疑点：,（在定义域内部的）驻点,不可导点.,即：极值点,驻点，不可导点,问：如何能快速的说明一个函数没有极值？,16,定理 2 (第一充分条件，极值第一判别法),且在去心邻域,内有导数,不是极值点.,说明：,1)定理中的条件“ 连续”很重要，,若不连续，,的连续点.,17,3)求极值的步骤:,(1)求定义区间，,求导数,判断出极值点；(最好列表),(4)求极值.,定理3 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,18,3.连续函数最值的求法:,(2),特别:,当,大(小)值就是最大(小)值.,求,19,1)定义：,(1) 若恒有,(2) 若恒有,说明：曲线：凹（凸）弧,：凹凸区间.,4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点.,切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.,凸弧:,20,2)凹凸性的判定定理：,注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.,(1)定义:,注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,3)曲线的拐点及其求法：,注意2:拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.,注意3:拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端点.,注意4:拐点的横坐标的可疑点：,21,(2)求拐点方法:,或在,处二阶不可导.,拐点.,设函数,的邻域内二阶可导，,方法2:,方法1:,(3)求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：,求函数的连续区间；,22,为曲线 的拐点（不是极值点）,为 的极值点（不是拐点）,定理4 (判别法的推广)：设 在 内具有 阶连 续导数且,但,为奇数，则,为偶数，则,是极小点 ;,是极大点 .,23,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.,(2)曲率,(3)曲率半径,(1)弧微分:,思考： 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,5.曲率.,24,典型例题分析,题型1.证明不等式,可以利用：1)单调性,2)中值定理,3)泰勒公式,4)凹凸性,5)求最值,例1. 证明,证:,故,时,单调增加 ,从而,所以原不等式成立.,25,说明：,1)用单调性证明不等式的步骤：,将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数,判断 的单调性.,用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.,2)为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.,3)为证不等式 可用 的单调性.,思考: 证明,时, 如何设辅助,函数更好 ?,提示:,26,证:,令,则,例2.,是凸函数，,所以函数值 弦上的纵坐标,即,切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标.,凸弧:,注意：这是用凹凸性证明不等式.,27,例3.,证: 只要证,证毕,28,例3.,另证: 只要证,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,29,例4. 设,且在,上,存在 , 且单调,递减 , 证明对一切,有,分析：对数值不等式，应化为函数不等式.,证: 设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,30,例5.,证明:,31,例1. 证明,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,得,题型2.求单调区间及极值,求凹凸区间及拐点,求最值.,32,例2.,求函数,的极值与拐点.,解: 定义区间为,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,拐点,33,34,则,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,3. 设,则在点 a 处( ).,B,35,例3.,上的最大值和最小值 .,解: 显然,故函数在,取最小值 0 ;,内驻点为 不可导点为,36,例3.,上的拐点 .,解: 显然,内二阶不可导点为：,37,38,例4. 求数列,的最大项 .,证:,求导得,列表判别:,因此在,处,也取最大值 .,又因,内只有唯一的极大点,39,试问,为何值时,在,时取得极值 ,解:,由题意应有,又,取得极大值为,例5.,求出该极值,并指出它是极大还是极小.,练习：,提示：,40,例6.,解：,如图,41,几个考研真题：,42,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,设,内之多有一个实根.,所以方程有且仅有一个小于 1 的正根.,定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.,题型3.讨论方程根的个数.,思考：如何讨论方程 有几个实根？,43,试确定 的根的个数，并指出根的范围,例2.,解：,做恒等变形（分离常数）,令,得驻点：,有三个单调区间,讨论：,时有三个根在,时有两个根在,时有一个根在,44,45,1)水平渐近线:,2)垂直渐近线:,3)斜渐近线:,题型4.求曲线的渐近线,46,47,例1.,解:,求,的渐近线.,所以有铅直渐近线,且,则有斜渐近线,所以它没有水平渐近线;,48,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,的渐近线 .,2. 曲线,3. 曲线,的渐近线 .,练习：,4. 曲线,的渐近线 .,49,单调增区间为 ;,的连续性及导函数,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,题型5.与曲线的图形有关的问题,50,.,在区间 上是凸弧 ;