C5-2定积分在几何上的应用.ppt

第二节 定积分在几何上的应用,一、定积分求平面图形的面积 二、定积分求体积 三、平面曲线的弧长 四、小结,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、定积分求平面图形的面积,1.直角坐标系情形,例1 计算两条抛物线,在第一象限,所围所围图形的面积 .,解 由,得交点,以x为积分变量，积分区间为0,1,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,例3 计算抛物线,与直线,解,得交点,所围图形的面积 .,为简便计算,选取y积分变量,积分,区间为-,4,由,例4 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a = b时得圆面积公式.,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,则曲边梯形面积,练习 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解,*极坐标系情形,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,及射线,求由曲线,对应 从 0,例5 计算阿基米德螺线,解,变到 2 所围图形面积 .,例6 计算心形线,所围,图形的面积 .,解,(利用对称性),练习 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解 利用对称性 ,所求面积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、定积分求体积,旋转体的体积为,体积元素为,立体体积为,解,直线 方程为,例8 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,成的椭球体的体积.,解法一 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),解法二 利用椭圆参数方程,则,特别当 b = a 时, 就得半径为a 的球体的 体积为,例9 计算两条抛物线,在第一象限,所围所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积 .,解 由,得交点,以x为积分变量，积分区间为0,1,体积元素为:,所求体积为:,练习:求由曲线,点(0,1)的图形绕x 轴旋转的旋转体体积,与,围成(包含,解,如图所示，,得交点(1,1)及(-1,1) .,以x为积分变量，积分区间为 0,1,体积元素:,解方程组,注:该旋转体的体积V 还可以看作以x 轴上的区间,-1,1为底边，分别以底边上的圆弧,抛物线弧,为曲边的两个曲边梯形绕 x 轴,旋转而成的两个旋转体体积的差，即,解,平行截面面积为已知的立体体积,则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于x 轴的各个截面面积A (x)，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,设,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,四、平面曲线的弧长,定义: 若在弧,当折线段的,最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),上任意作内接折线,的弧长,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长:,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长:,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例12 求连续曲线段,解,的弧长.,例13 计算摆线,一拱,的弧长 .,解,例14 求阿基米德螺线,相应于,一段的弧长 .,解,02,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,2.旋转体的体积,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,4. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,思考: 试用定积分求圆,上,半圆方程为,下,解,利用对称性求体积 :,绕 x 轴旋转而成的环体体积 V.,体积元素为:,思