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第六章 参数估计基础,潍坊医学院卫生统计学教研室,Qualitative data Analysis(ranked),Quantitative data analysis,Statistical description,Statistical Inference,Statistical Inference,Statistical description,Statistical analysis,Statistical description,Statistical description,Statistical Inference,Statistical Inference,Parameter Estimation,Hypothesis Test,Parameter Estimation,常用概率分布-review,二项分布（Binomial Distribution) Poisson分布（Poisson Distribution） 正态分布（Normal Distribution）,正态曲线的特征,关于x=对称。 在x=处取得该概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为钟形曲线。 决定曲线在横轴上的位置， 增大，曲线沿横轴向右移；反之， 减小，曲线沿横轴向左移。 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大，数据越分散，曲线越“矮胖”； 越小, 数据越集中，曲线越瘦高。 曲线下面积为1。,正态分布,位置参数,形状参数,正态分布曲线下的面积的规律,范围内的面积为68.27% 1.96范围内的面积为95% 2.58范围内的面积占99%,图R1 正态曲线下的面积分布示意,标准正态分布,标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。,标准正态分布曲线下的面积,1范围内的面积为68.27% 1.96范围内的面积为95% 2.58范围内的面积占99%,图R2 正态曲线下的面积分布示意,表1 参考值范围的计算,Chapter6目的要求,1、掌握均数的抽样误差与标准误的概念 2、了解t分布的基本特征 3、掌握总体均数的区间估计,估计全国七岁男童的平均身高,总体参数,样本统计量,第一节 抽样分布与抽样误差,由于总体中个体变异的存在，在抽样过程中产生的样本统计量与总体参数间的差异以及样本统计量与样本统计量间的差异。 两种表现形式： 样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异,抽样误差产生的基本条件,个体变异 抽样研究,抽样误差的特点,抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！,SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14.x1n,SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24.x2n,SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4.xkn,A Simulation Study,原始 总体 ,图1 k个样本均数的频数分布图,一、样本均数的抽样分布与抽样误差,假定某年某地所有13岁女学生身高服从总体均数 =155.4cm, 总体标准差 =5.3cm的正态分布N（，2）。该地每一个13岁女学生都有一个身高测量值，我们将她们每个人的身高测量值（cm）都录入计算机，存在数据库里做为一个有限总体。然后通过计算机在这样一个有限的总体中作随机抽样，共抽100次。每次均抽取30例（ni = 30）组成一份样本，可以算出每一份样本的平均身高。,样本含量ni =30 抽样次数m =100,1=156.7 S1= 0.91 x1,x2,x3x30,表6-1 从正态总体N (155.4, 5.32)中抽到的100个份随机样本的计算结果,表6-2 从正态总体N (155.4, 5.32)抽样得到的样本均数的频数分布,图2 从N (155.4, 5.32)抽样得到的样本均数的频数分布,正态总体中抽样时样本均数的抽样分布特点,各样本均数未必等于总体均数（155.4cm）; 样本均数之间存在差异; 样本均数的分布很有规律:围绕着总体均数（155.4cm），中间多、两边少，左右基本对称，也服从正态分布。 样本均数的变异较之原变量的变异（5.3cm）大大缩小。,表6-1 从正态总体N (155.4, 5.32)中抽到的100个份随机样本的计算结果,中心极限定理(central limit theorem),Case 1: 从正态分布总体N(,) 中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则样本均数也服从正态分布。 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 或,样本均数 的标准误,从非正态总体中抽样,图3 不同分布总体不同样本含量时样本均数的抽样分布,24,中心极限定理(central limit theorem),Case 2: 从非正态分布总体(均数为，标准差为)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要样本含量足够大(n50),样本均数也逐渐逼近正态分布。 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 或,样本均数 的标准误,25,非正态总体中抽样，样本均数的抽样分布特点,各样本均数未必等于总体均数; 样本均数之间存在差异; 样本均数的分布很有规律：围绕总体均数，中间多两边少，左右基本对称； 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小；随着样本含量的增加，样本均数的变异范围逐渐缩小。,标准误(standard error)的计算,样本统计量（均数或率）的标准差称为标准误。,标准误的计算公式(6-1),(6-2)： 样本均数标准误的大小与标准差成正比，与样本含量n的平方根成反比，即在同一总体中随机抽样，样本含量n越大，抽样误差越小。所以在实际应用中可通过增加样本含量n来减小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。,例 2000年某研究者随机调查某地健康成年男子27人，得到血红蛋白量的均数为125g/L，标准差为15g/L。试估计该样本均数的抽样误差。 解：,均数标准误的应用 1、表示均数抽样误差大小，描述（n相同）样本均数的离散程度，反映用样本均数估计或推断总体均数的可靠性； 2、与样本均数相结合，用于估计总体均数的可信（置信）区间 ； 3、用于进行均数的假设检验。,表I 标准差与标准误的区别与联系,联系： 都是表示离散程度的指标 都与n大小有关。,随机变量 X B（n,） 样本频率,标准误,二、样本率的抽样分布与抽样误差,样本频率的标准差称为频率的标准误，反映样本频率的离散程度，反映样本频率抽样误差大小。,P的均数为总体均数 P的标准差为,例6-2 某市随机调查了50岁以上的中老年妇女776人，其中患有骨质疏松症者322人，患病率为41.5%，试估计该样本频率的抽样误差。,=,第二节 t分布,实际工作中，总体方差未知，用样本方差代替，此时：,正态分布的标准化变换,一、t分布的概念,设从正态分布N(,2)中随机抽取 含量为n的样本，样本均数和标准差 分别为 和s，则： t分布， = n 1,则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。,Gosset于1908年在Biometrika杂志（生物统计）上发表该论文时用的是笔名“Student”，故t分布又称Student t分布。,Gosset,N( , 2 ),n,n,n,t分布试验：从前述的13岁女学生身高这个正态总体中分别作样本量为 3和50的随机抽样，各抽取1000份样本，并分别得到1000个样本均数及其标准误。对它们分别作t变换，并将t值绘制相应的直方图。,二、t分布的图形与特征,(a) n=3,(b) n=50,图4 不同样本含量t值的频数分布,图5 自由度分别为1、5、时的t分布,t分布的特征,单峰分布，曲线以0为中心，左右对称类似于标准正态分布。 t分布的形状与自由度有关 自由度越小，则 越大，曲线越“扁平” ； 自由度越大，则 越小，曲线越“瘦高” ； 当自由度为无穷大时，t分布曲线与标准正态分布曲线完全吻合，故标准正态分布是t分布的特例。,单侧： P( t t, )= P( t t, )=,t,v,-t/2,v,t/2,v,双侧：P(t-t/2,)+ P(tt/2,)= P(-t, t t,) = 1-,-t/2,v,t/2,v,在相同自由度时，t值越大，概率P越小； 相同t值时，双侧概率P为单侧概率P的两倍， 即t0.10/2,16 = t0.05,16 =1.746。,t界值释义,双侧t0.05/2, 92.262 表明：从正态分布总体中抽取样本含量n=10的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.262的概率为0.025，小于等于-2.262的概率亦为0.025。 P(t-2.262)+P(t2.262)0.05 或：P(-2.262t2.262)=1-0.05=0.95。,参数估计,第三节、总体均数及总体概率的估计,一、参数估计的基础理论,点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation),参数估计之一：点估计,样本统计量 总体参数 用样本均数 作为总体均数 的点估计值,例6-3 2000年某研究所随机调查某地健康成年男子27人，得到血红蛋白的均数为125g/L，标准差为15g/L 。 即认为2000年该地所有健康成年男性血红蛋白量的总体均数 为125 g /L 。,点估计,点估计的缺陷,样本含量n =10,置信区间 (confidence interval, CI),按(1-)的概率或置信度，估计总体参数所在范围，称作置信度为(1- )的置信区间。,参数估计之二：区间估计,置信区间：结合样本统计量和标准误确定,具有较大置信度（ 1 ）可能包含总体参数,正确理解置信区间,结合样本统计量和标准误确定的,考虑了抽样误差,对“区间”的要求,“区间”包含总体均数的可能性（概率）比较大 考虑到抽样误差（标准误）的影响 置信度 一般取0.05或0.01,正确理解置信区间,置信度为95%的CI的涵义： 平均来说每100个样本所算得的100个置信区间有95个包含总体参数，有5个未包含总体参数。 做一次抽样，“该置信区间包含总体参数”这句话未必正确，可信的程度为95%。,正确理解置信区间,置信区间通常由两个置信限(confidence limit)构成，其中较小者称为下限，记为CL，较大者称为上限，记为CU。严格地讲，可信区间并不包括上可信限和下可信限两个值，即可信区间是一开区间。 (CL, CU),二、总体均数及总体概率的置信区间,（一）总体均数的置信区间的计算,1、 t分布法 未知且样本例数n较小时，按t分布原理,单侧置信区间,例6-3 已知某地27名健康成年男子的血红蛋白量均数=125 g /L，标准差S = 15 g /L。试问该市地健康成年男子血红蛋白平均含量的95%置信区间和99%置信区间各是多少？ 计算自由度：v =27-1=26 查t 界值表 ： = 0.05时，双侧 t0.05/2, 26=2.056， = 0.01时，双侧 t0.01/2, 26= 2.779； 按公式计算：,2、正态分布法 （1）已知，按标准正态分布原理计算,单侧置信区间,2、正态分布法 （2）未知但样本例数n足够大（n50）时 由t分布可知，自由度越大，t分布越逼近标准正态分布， 按标准正态分布原理计算,单侧置信区间,例6-4 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大学生的身高，其均数为172.2 cm，标准差为4.5 cm，试估计该市2000年19岁健康男大学生平均身高的95%置信区间。,总体均数的置信区间总结,估计方法： t分布方法：未知且样本例数n较小 正态分布近似方法： 已知 未知但样本例数n足够大（n50）,95可信区间 99可信区间 公式 区间范围 窄 宽 估计错误的概率 大（0.05） 小（0.01）,95可信区间：从总体中作随机抽样，作100次抽样，每个样本可算得一个可信区间，得100个可信区间，平均有95个可信区间包括(估计正确)，只有5个可信区间不包括(估计错误)。,参数估计,点估计 用样本频率 作为总体频率 的点估计值。 区间估计,（二）、总体概率的置信区间,估计方法： 查表法：当样本含量n较小，比如n 50 正态近似法： 当n足够大，且样本频率p和（1p） 均不太小时，如np与n(1p) 均大于5,例6-6 某医院对39名前列腺癌患者实施开放手术治疗，术后有合并症者2人，试估计该手术合并症发生概率的95%置信区间。 解：查附表6，n = 39，X=2，交叉处的数值为117，即该手术合并症发生概率的95%置信区间