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用不等式确定混凝土泵车支腿最大反力的值域湖南省三一重工研究院 建机所 姜校林1， 前言混凝土泵车支腿反力的大小对支腿、车架等结构设计有直接影响，能否得出简便、通用且具有一定精度的支腿反力解析表达式对泵车的设计十分重要。然而实际中并未得出上述的解析式，原因有三点：混凝土泵车四个支腿反力的求解属于超静定问题，要根据车架和支腿的变形协调条件列一个辅助方程才能求解。由于实际泵车的车架支腿体系的构造非常复杂，即使经过若干简化也很难列出辅助方程。辅助方程不仅与泵车自身结构有关，还与地面的刚性有关，而泵车作业地面的刚度因工作场地不同而变化。泵车车架支腿体系的结构形式多种多样，即便对某一车型求出了支腿反力解析式，对其它泵车也不具有通用性。所以通过变形协调条件列出辅助方程，以期得到确切的支腿反力解析式的方法，显得力不从心。静力学平衡理论告诉我们，无论泵车工作在何种性质的地面，车架、支腿本身是何种结构，以及结构如何多样，泵车作业时的四个支腿反力和自身重力（包括工作时臂架、混凝土料等产生的惯性力在内，下同）所构成的空间平行力系，一定满足三个独立平衡方程的要求。因此本文从列解这三个方程入手，巧妙利用现有泵车的对称关系得出支腿反力之间的不等式，然后求出支腿最大反力的值域范围，并进而用值域中心值作为支腿最大反力实际值的估算值。理论分析和实际验算表明，该值域求解方法依据充分，形式简单实用，用值域中心值估算支腿最大反力实际值也具有相当的精度，并且本计算式不受泵车具体结构和工作场地的限制，适用于现有各类泵车，具有广泛的应用价值。2，支腿受力计算：图1 支腿受力分析立体示意图 图2 支腿受力投影图2.1，空间平行力系平衡方程式对作业泵车而言，泵车所受的外力有五个：四个向上的支腿反力，一个自身重力，其受力分析见图1，其投影见图2。由于泵车结构是左右对称的，因此支腿布置的一般形式应是等腰梯形。现以该梯形中心线为Y轴，以经过重心轨迹圆（1） 圆心且与Y轴垂直的直线为X轴，建立如图示2所示的直角坐标系，根据空间平行力系列平衡方程得：Pz=0 P1+P2+P3+P4-W=0MX(P)=0 c(P1+P2)-d(P3+P4)-WRsin=0 MY(P)=0 a(P1-P2)+b(P4-P3)+WRcos=0式中：P1、P2、P3、P4分别为四个支腿反力。:重心轨迹圆上任意一点到原点O的连线与X轴的夹角，取值为0 o90o。a：等腰梯形上底边长度的1/2。b：等腰梯形下底边长度的1/2。R：重心轨迹圆半径。W：泵车整机重量。2.2，确定支腿最大反力的值域由于泵车的布置是关于Y轴对称的，求解支腿的最大反力只要求解P2max 、P3max就可以了（因为P1max=P2max ，P3max=P4max）。不难理解，当角在0 o90o变化(重心移动)时，支腿2处的反力将达到最大值P2max ，当角在-90o0o变化时，支腿3处的反力将达到最大值P3max ，现分别求解如下。1)，确定支腿最大反力P2max的值域a，求P2max值上界将P4、W作为已知量，变换后得： P1+P2+P3=W-P4 cP1+cP2-dP3=dP4+WRsin . aP1-aP2-bP3= - bP4-WRcos解方程组，得： P3=-P4-sin . P2=W + P4 + (cos+ sin) . P1=W-P4-sin+ 变换式得：P3+P4=-sin前已述及，由于泵车的结构都是关于Y轴对称的，当整机重心在Y轴右侧移动时，不难理解，右侧支腿产生的反力一定不小于左侧支腿的反力。所以当0090o时，由图2得P3P4，故：P4+ P4P3+ P4=-sinP4(c-Rsin) .将式代入式，得： P2 = W + P4 + (cos+sin) W +(cos+sin)+ (c-Rsin) =W+(cos+ sin)令=W+(cos+sin) .即P2 ，于是，P2maxmax ，故可用max作为P2max 的上界值。由于式除为变量外，其余均为常量，故以为自变量，对求导：=(-sin+cos)令=0解得:0=arctan即当=0=arctan时，=max=W+(cos0+sin0)=W+ . . 式 即为P2max上界值的表达式。b，求P2max值下界由式：P2=W + P4 + (cos+sin) =+P4 . .其中：=W4 + (cos+sin) . . 式表明，支腿反力P2可分成两部分：以角为变化量但能确切知道大小的，以及未知项P4的值。虽然支腿4处的反力未知，但该反力一定不小于零，即：P40。故，P2max=（+P4）maxmax因此可以用max值作为P2max的下界值。由于式除为变量外，其余均为常量，故以自变量，对求导：=(-sin+cos)令=0解得：0=arctan即当=0=arctan时，=max=W+. .式即为P3max上界值的表达式。综合式、式得支腿2处最大反力的值域区间为：P2maxmax，max2），确定支腿最大反力P3max的值域同样的，当角在直角坐标系第四象限内（即-90 o0o）变化时，支腿3处的支腿反力将达到最大值P3max 。由于上述求解P2max值域的过程中，各表达式具有通用性，因此求解P3max时，可将图2的等腰梯形旋绕X轴旋转1800（参见计算举例），直接引用上述求解P2max式即可。3，计算举例为了易于理解，举例如下：图3 求解支腿2处的最大反力P2max 图4 求解支腿3处的最大反力P3max某单位一台泵车的重心轨迹圆及支腿布置形式见图3，现求各支腿最大反力的值域范围。以重心轨迹圆为坐标原点，建立如图3的直角坐标系。这里：a=3580mm，b=3435mm，c=3394mm，d=3586mm，W=29.3吨，R=2663mm。1) ，支腿2（1）处的最大反力运用式、式得：max =W+=0.675W=19.78(吨)max=W+=0.551W=16.14(吨)故该支腿2（1）处的最大反力的值域为: P2max(16.14，19.78)吨。2) 支腿3（4）处最大反力的值域为求支腿3处的最大反力值域，先将图3绕X轴旋转1800(见图4)，这里a=3435mm，b=3580mm，c=3586mm，d=3394mm，w=29.3吨，R=2663mm。运用式、式得：max =W+=0.675W=19.78(吨)max=W+=0.525W=15.38(吨)故该支腿3（4）处的最大反力的值域为： P3max(15.38，19.78)吨。4，支腿最大反力的一般性估计4.1，支腿最大反力值域范围的估计1），值域范围的抽样计算为了找出支腿最大反力值域范围的近似值，随机抽取现有五台泵车的整机参数，用式、式进行计算，将计算结果列入表1(表1中W表示该种泵车的自重，所有泵车的各自重量均用W表示而未加区分)。 表1，泵车支腿最大反力值域范围统计序号支腿1、2Pmax下限支腿1、2Pmax上限支腿3、4Pmax下限支腿3、4Pmax上限1#泵车0.551W0.675W0.525W0.675W2#泵车0.557W0.675W0.560W0.687W3#泵车0.541W0.690W0.530W0.690W4#泵车0.565W0.690W0.562W0.691W5#泵车0.548W0.682W0.534W0.646W由表1可见，每台泵车支腿最大反力值域的上、下界值，均是用本身自重W乘以一个系数表示的，各泵车的上、下界的系数值虽有差别，但相差不大。而且同一条支腿的上、下界值差别也不大。那么其它泵车是否也有类似情况呢？2），值域范围的大致估计一般而言，同一泵车支腿布置的参数a、b、c、d（参见图2）虽有不同，但它们之间的差值与自身的长度比起来差别不大。作为估算，可大致认为a/b/c/d1（例如计算举例3中，a、b、c、d之间的比值1）。又常规设计中，泵车稳定性应有一定的安全系数，一般地：(参见图2)。现取中间值=，得=。将a/b/c/d1和=代入式、得：max =W+=0.70Wmax=W+=0.57W也就是说，实际使用的泵车中，支腿最大反力值域均可大致估计为（0.57W，0.70W）。对照表1，显然该结论与表1中的实测值大致吻合。4.2，支腿最大反力真值(实际值)的估计表达式由于支腿最大反力值域范围不大，若用值域范围的中心值估计支腿最大反力真值，应具有较好的效果(因为区间估计的长度越小，效果越好)。讨论如下：设值域中心值为0 max，支腿最大反力的真值为P0 max，则：0 max=(max+ max)/2现确定用0 max作为P0 max估计值所产生的相对误差，这里有两种情况：a，若P0 max小于0 max ，其相对误差一定不超过(应以下界值作为比较基数)。b，若P0 max大于中心值0 max ，其相对误差一定不超过(应以上界值作为比较基数)。如4.1所述，各类泵车支腿最大反力的值域可大致估计为（0.57W，0.70W），因此其相对误差可估计如下：0 max=(max+ max)/2=(0.57W+0.70W)/2=0.635W即:：P0 max0 max=0.635W若P0 max小于中心值0 max，则=11.4%。若P0 max大于中心值0 max ，则=9.3%。可见，用0 max 估计P0 max产生的相对误差不大，作为大致估算，用P0 max0.635W计算支腿最大反力值，能够满足工程需要。5，支腿最大反力值域的作用1），将值域的上界值作为支腿强度校核时的受力值。由于支腿最大反力值不会超过值域上界值，因此从安全角度考虑，用值域上界值作为强度校核的依据较为稳妥。2），利用一般式P0 max0.635W，在泵车整体设计时，预测支腿最大反力的实际值（泵车在初始设计时对整机参数诸如重量应事先拟定），这对于泵车的整体结构设计有重要作用。3），用值域范围作为验算有限元分析是否正确的依据在对泵车进行有限元分析时，由于在建模、确定边界条件等因素的影响，计算的结果会存在很大误差（例如同一问题不同的人作计算，有时相差甚至高达百分之十五以上）。本文构造的求支腿最大反力值域的方法，直接由静力学方法导出（若用变形协调条件求解，其计算精度依赖于变形协调的理想程度，并包含了构件材料要符合材料力学诸如材料要均匀，连续、各项同性等的假设前提），可认为是支腿最大反力值实际范围的精确体现，因此可以作为验证其它近似算法（例如有限元）是否正确的依据。例如，对臂架、车架和支腿整体的有限元分析中，若建模、确定边界条件等正确，则算出的结果应在本方法求出的值域范围内，否则说明其分析过程有误，当然求出的车架、支腿等截面上的应力值也不可信（笔者曾偶碰两例这样的情况）。6，结束语1），由于泵车车架支腿结构相当复杂，加之作业场地的不确定性，现今还无法求出通用的支腿最大反力解析式。本文通过求解静力平衡方程和表述支腿之间的不等关系，构造出了简单实用、精确表述的支腿最大反力值域表达式，以及具有一定精度的支腿最大反力真值的近似表达式。该表达式不受泵车结构、使用场地的限制，广泛适用于各类现有泵车。2），进一步地分析表明，支腿最大反力的真值P0max与泵车自