2019版高考数学复习平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案.docx

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时，切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(5)“m0”是“直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为2，所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心故选D.3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为()A3 B2 C. D1答案B解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，因为222123，所以|AB|2.4课本改编圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.52018重庆模拟圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22，故两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则有r2r1dr1r2，故两圆相交62018温州十校联考对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|0，所以直线l与圆C相交故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交选A.解法三：直线l：mxy1m0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C相交故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离【变式训练1】2018深圳模拟已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d4，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|.(5)过圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d.【变式训练2】2015广东高考平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线2xym0与圆x2y25相切，即点(0,0)到直线2xym0的距离为，所以，|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.命题角度2圆的弦长问题例3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5x12y200.命题角度3圆中的最值问题斜率型最值例4已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.截距型最值例52018郑州模拟已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4) B2，4C4,4 D4,2答案B解析由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2,0)时，m2，所以即解得m2，4，选B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值【变式训练3】2015江苏高考在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析解法一：设A(1,0)，由mxy2m10，得m(x2)(y1)0，则直线过定点P(2，1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大此时，半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r ，当m0时，10时，m212m(当且仅当m1时取等号)所以r，即rmax，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.考向两圆的位置关系 例6(1)2016山东高考已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线xy0的距离d(a0)，解得a2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则Rr0)的公共弦的长为2，则a_.答案1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到【变式训练4】已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优破译高考数学思想系列 8数形结合思想在圆中的妙用 2018江西模拟过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率解析由y得x2y21(y0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示故SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.所以当sinAOB1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d|OA|sin45.设此时直线l的斜率为k，则方程为yk(x)，即kxyk0，则有，解得k，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k.答案B答题启示“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练2018湖北模拟若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是()A12，12 B1，3C1,12 D12，3答案D解析y3，1y3，(x2)2(y3)24(1y3)，即曲线y3表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆直线yxb与曲线y3有公共点，表示两曲线至少有一个公共点符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间当直线yxb过点(0,3)时，b3；当直线yxb与圆y3相切时，由点到直线的距离公式，得2，|b1|2.结合图形知b12.12b3，故选D.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018福建漳州八校联考已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆相交 Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离 Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离故选C.2已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()A B1 C2 D.答案C解析圆心为C(1,0)，由于P(2,2)在圆(x1)2y25上，P为切点，CP与过点P的切线垂直kCP2.又过点P的切线与直线axy10垂直，akCP2，选C.32018湖北武汉调研圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A1 B2 C4 D8答案B解析圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线的方程为xy20，它与两坐标轴分别交于(2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为222.故选B.4已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4 C6 D8答案B解析由圆的方程x2y22x2ya0可得，圆心为(1,1)，半径r.圆心到直线xy20的距离为d.由r2d22，得2a24，所以a4.52018安徽模拟若过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析设直线l的方程为y1k(x)，即kxyk10.由d1, 得0k，所以直线l的倾斜角的取值范围是.6圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y40的公切线有()A1条 B2条 C3条 D4条答案D解析圆C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12；圆C2：(x2)2(y1)21，圆心C2(2,1)，半径r21.两圆心的距离d，r1r23，dr1r2，两圆外离，两圆有4条公切线7由直线yx1上的一点向圆x2y26x80引切线，则切线长的最小值为()A. B2 C3 D.答案A解析如图，在RtPAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线yx1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min2，故|BP|min .82018太原质检过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于B(2,1)，则圆C的方程为_答案(x3)2y22解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意知：点(a，b)既在直线y1(x2)上，又在AB的垂直平分线上，由得圆心坐标为(3,0)，r|AC|，所以圆C的方程为(x3)2y22.92016全国卷设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_答案4解析圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以2()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.102018沈阳质检过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_答案xy30解析依题意得知，当ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y2(x1)，即xy30.B级知能提升1已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)，(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则t的取值范围是()A(0,2 B1,2 C2,3 D1,3答案D解析由题意可知，若使圆C上存在点P，使得APB90，即圆C与以原点O为圆心，半径为t的圆有交点，即|OC|1t|OC|1，即1t3，t的取值范围为1,3，故选D.22017河南洛阳二模已知圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A，则|PA|的最小值为()A. B1 C.1 D2答案D解析解法一：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cos，sin)，则A(cos，2cos)，|PA|2cossin|，|PA|的最小值为2.故选D.解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆C上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得|PA|min(1)2.故选D.32017江苏高考在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析解法一：因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x,6)因为20，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得5x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1解法二：设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2x