2019届高考数学复习数列高考专题突破三高考中的数列问题学案文北师大版.docx

高考专题突破三高考中的数列问题【考点自测】1(2017洛阳模拟)已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于()A2 B3 C5 D7答案B解析在等差数列an中，a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，d0，da1，3.故选B.2(2018衡水调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9答案D解析由题意知abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故选D.4(2017江西高安中学等九校联考)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan 的值是()A1 B. C D答案D解析an是等比数列，bn是等差数列，且a1a6a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantantantan .5(2018保定模拟)已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN都有Snan，若1Sk9 (kN)，则k的值为_答案4解析由题意，Snan，当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，an2an1，又a11，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k0，nN.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.解(1)由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列，从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nN)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的跟踪训练1(2018沧州模拟)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.题型二数列的通项与求和例2 (2018邢台模拟)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn(或Tn)思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等跟踪训练 (2018大连模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an(nN)(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.(1)证明a1，an1an，当nN时，0，又，(nN)为常数，是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得n1，annn.Sn12233nn，Sn1223(n1)nnn1，两式相减得Sn23nnn1nn1，Sn2n1nn2(n2)n.综上，annn，Sn2(n2)n.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3 (2018长春模拟)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知，得b7，b84b7，有42，解得da8a72，所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)ln 2，故函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a22a2ln 2(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，得a22，解得a22，所以da2a11.从而ann，bn2n，.所以Tn，2Tn.两式相减，得2TnTn12.所以Tn.命题点2数列与不等式的交汇例4 (2016天津)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kb，nN，求证： .证明(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以 62成立的正整数n的最小值解(1)由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bnanlogan2n2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，则2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值为6.3(2018届江西赣州红色七校联考)已知正项等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a5a，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b1a1，且bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.解(1)设正项等差数列an的首项为a1，公差为d，且an0.则解得an2n1.(2)bn1bnan1且an2n1(nN)，bn1bn2n3，当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n1)53n(n2)当n1时，b13满足上式，bnn(n2)，Tn.4(2018届广州海珠区综合测试)已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，an12Sn1，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3an1，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由题意得an12Sn1，an2Sn11(n2)两式相减得an1an2(SnSn1)2an，则an13an(n2)，所以当n2时，an是以3为公比的等比数列因为a22S112a113，3，所以，3，对任意正整数成立，an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1.(2)bnlog3an1log33nn，所以anbn3n1n，Tn(301)(312)(323)(3n2n1)(3n1n)(3031323n23n1)(123n1n).5(2017济宁模拟)已知Sn是正项数列an的前n项和，且2Snaan，等比数列bn的公比q1，b12，且b1，b3，b210成等差数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cnanbn(1)n，记T2nc1c2c3c2n，求T2n.解(1)当n2时，由题意得2Sn2Sn1aaanan1，2anaaanan1，aa(anan1)0，(anan1)(anan11)0，an是正项数列，anan10，anan11，当n1时，2a1aa1.a10，a11，数列an是首项为1，公差为1的等差数列，an1(n1)1n.由b12,2b3b1(b210)，得2q2q60，解得q2或q(舍)，bnb1qn12n.(2)由(1)得cnn2n(1)nn2n(1)n，T2n(122222n22n)(122222n22n)，记W2n122222n22n，则2W2n1222232n22n1，以上两式相减可得W2n22222n2n22n12n22n1(12n)22n12，W2n(2n1)22n12，T2nW2n(2n1)22n11.6已知数列an，bn，其中，a1，数列an满足(n1)an(n1)an1 (n2，nN)，数列bn满足b12，bn12bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)是否存在自然数m，使得对于任意nN，n2，有1恒成立？若存在，求出m的最小值；(3)若数列cn满足cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)由(n1)an(n1)an1，即(n2)又a1，所以ana1.当n1时，上式成立，故an.因为b12，