高中数学全程复习方略321几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(共50张.ppt

第1课时 几个常用函数的导数与基本初等 函数的导数公式,1.会应用导数的定义推导四种常见函数y=c， y=x，y=x2，y= 的导数公式. 2.掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.,1.本课重点是掌握四种常见函数的导数公式、基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用.,1.几个常用函数的导数 （1）若y=f(x)=c，则f(x)=_； （2）若y=f(x)=x，则f(x)=_； （3）若y=f(x)=x2，则f(x)=_； （4）若y=f(x)= ，则f(x)= =_.,0,1,2x,-x-2,2.基本初等函数的导数公式 （1）若f(x)=c，则f(x)=0； （2）若f(x)=xn(nQ*)，则f(x)=_； （3）若f(x)=sinx，则f(x)=_； （4）若f(x)=cosx，则f(x)=_; （5）若f(x)=ax，则f(x)=_(a0)； （6）若f(x)=ex，则f(x)=_； （7）若f(x)=logax，则f(x)= (a0且a1)； (8)若f(x)=lnx，则f(x)= .,nxn-1,cosx,-sinx,axlna,ex,1.计算过程：(sin )=cos = ,正确吗？ 提示：不正确，因为sin = 为常数，而常数的导数为0. 2.已知f(x)=x2，则f(3)=_. 【解析】f(x)=2x，f(3)=23=6. 答案：6,3.如果曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+3平行，则切点坐标为 _. 【解析】设切点(x0,y0)，y=2x，2x0=4， 即x0=2.又(x0,y0)在曲线y=x2上， y0=22=4,切点坐标为(2,4). 答案：(2,4),1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.,2.基本初等函数的导数公式的理解与识记 (1)要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些 函数的导数，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数. (2)八个基本初等函数的导数公式，可以从我们掌握的基本初 等函数顺序上识记：基本初等函数有常数函数、指、对、幂、 三角函数，常数函数的导数公式是公式（1）；指数函数的导,数公式是（5）、（6）；对数函数的导数公式是（7）、（8）；幂函数的导数公式是（2）；三角函数的导数公式是（3）、（4）. 特别地，注意到公式（5）与（6）、（7）与（8）之间的区别与联系，我们可分别以公式（6）、（8）作为（5）、（7）的两个特殊形式来识记（5）、（7）.,利用公式求函数的导数 【技法点拨】 应用导数公式求导的两个注意点 （1）应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可. （2）需要根据所给函数的特征，恰当地选择公式.,（3）对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理 转化后再求导，如y= ，y= ，可以转化为y= ，y=x-3 后再求导. （4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求 导，化简时注意化简的等价性.,【典例训练】 1.已知函数f(x)= ，则f(-3)=( ) （A）4 （B） （C）- （D）- 2.若y=10x，则y|x=1=_. 3.求下列函数的导数： （1）y=x7；（2）y= ；（3）y= ； （4）y=2sin cos ；（5）y= .,【解析】1.选D.f(x)=- ，f(-3)=- . 2.y=10xln10，y|x=1=10ln10. 答案：10ln10 3.（1）y=7x7-1=7x6. （2）y=x-2，y=-2x-2-1=-2x-3. （3）y= ，y= （4）y=2sin cos =sinx，y=cosx. （5）y=( )=,【总结】解答本题3时解题的规律与关键点. 提示：(1)解答本题3时函数解析式是较复杂的指数式、对数式、三角式，考虑先对解析式进行相应的化简，整理成熟悉的基本初等函数的形式，再对其进行求导. (2)正确应用导数公式是关键，当然指数、对数的运算性质以及三角恒等变换的熟练程度对顺利解答题目也起到至关重要的作用.,【变式训练】求下列函数的导数： (1)y=3x；(2)y=x ；(3)y=2-x； (4)y=log2x2-log2x；(5)y=-2sin (1-2cos2 ). 【解析】(1)y=(3x）=3xln3. (2)y=(x )=( )= = (3)y=2-x=( )x， y=( )x)=( )xln =-( )xln2.,(4)y=log2x2-log2x=log2x. y=(log2x)= . (5)y=-2sin （1-2cos2 ） =2sin cos =sinx，y=(sinx)=cosx.,导数的几何意义的简单应用 【技法点拨】 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解,2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤,设出切点坐标为（x0,y0）,写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),代入点P的坐标，求出x0,y0得切线方程,【典例训练】 1.（2012广东高考）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方 程为_. 2.求过曲线y=cosx上点P( )且与在这点的切线垂直的直线方 程,【解析】1.y=3x2-1, y|x=1=3-1=2, 切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0,2.y=cosx， y=-sinx 曲线在点P( ）处的切线斜率是y|x= =-sin =- . 过点P且与切线垂直的直线的斜率为 ， 所求的直线方程为y- = （x- ）， 即2x- y- + =0,【互动探究】题2变为“已知过曲线y=cosx,x(0, )上点P且 与在这点的切线垂直的直线方程为2x- y- =0，求P点 坐标”如何求解. 【解题指南】先求出导函数与直线方程的斜率，然后令导数值等于斜率的负倒数，便可求得点P的横坐标. 【解析】设点P为(x0,y0)， y=cosx, y=-sinx.,又直线方程为2x- =0，即得曲线在点P处的切线 斜率是y|x=x0=-sinx0=- . x0(0, ),x0= ， 方法一：把x0= 代入 得y0= . P点的坐标为( , ). 方法二：把x0= 代入y=cosx得y0= . P点的坐标为( , ).,【想一想】解答本题2时易忽视的问题是什么？ 提示：已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义：一是所求直线与切线垂直；二是所求直线也过此点在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y是否为零，当y=0时，切线平行或重合于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在,【变式训练】y=x2的斜率等于2的切线方程为( ) （A）2x-y+1=0 （B）2x-y+1=0或2x-y-1=0 （C）2x-y-1=0 （D）2x-y=0 【解析】选C. 设切点为(x0,y0)，y=(x2)=2x, y|x=x0=2x|x=x0=2x0. 令2x0=2，解得x0=1，切点为(1,1). 切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，故选C.,导数的综合应用 【技法点拨】 导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.,(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.,【典例训练】 1.设曲线y= 上有点P(x1,y1)，与曲线切于点P的切线为m， 若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x 轴于点Q，又作PRx轴于R，则RQ的长为_. 2.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点，O为坐标 原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使ABP的面积最大.,【解析】1.依题意，y|x=x1= ， n与m垂直， n的斜率为-2 ，直线n的方程为：y-y1=-2 (x-x1)，令 y=0，则-y1=-2 (xQ-x1)， xQ= +x1，容易知道：xR=x1， 于是，|RQ|=|xQ-xR|= . 答案：,2.解题流程：,【想一想】解答本题1的关键点及解答本题2时的关键点是什么？ 提示：（1）解答本题1的关键点是数形结合分析出xR=x1这一隐含条件. （2）解答本题2时关键点是注意到|AB|是定值，数形结合分析出“三角形面积最大，只需P到AB的距离最大”,即“点P是抛物线的平行于AB的切线的切点”这一隐含条件.,【变式训练】函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中kN*,若a1=16，则a1+a3+a5的值是_. 【解析】由y=x2(x0)得，y=2x， 所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为 y-ak2=2ak(x-ak), 当y=0时，解得 所以ak+1= ,所以a1+a3+a5=16+4+1=21. 答案：21,【规范解答】两曲线的公切线问题 【典例】(12分)求曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公共切线的斜率. 【解题指导】,【规范解答】(1)当公切线切点相同时，对C1,C2分别求导得 y=2x,y=3x2.令2x=3x2 ，解得x=0或x= 2分 当x=0时，2x=3x2=0,满足题意，此时k=0. 4分 当x= 时，2x=3x2= .此时C1的切线方程为y- = (x- )， 而C2的切线方程为y- = (x- ).显然两者不是同一条 切线，所以x= 舍去.6分,(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y=2x1,y=3x22. AB的斜率为 有2x1=3x22= .8分 由2x1=3x22，得x1= x22， 代入3x22= 中， 解得x2= ，x1= . 10分,此时公切线的斜率为k=2x1= . 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0， . 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,【规范训练】(12分)求曲线y=x2过点P( ,6)的切线方程. 【解题设问】(1)点( ,6)是切点吗？_，因为_. (2)需要设切点吗？_ (3)设切点有什么作用？注意到切点与点( ,6)的连线的斜率即 _这一隐含条件，可得切点的横坐标,问题迎 刃而解.,不是,点不在曲线上,需要,曲线在切点处的导数,【规范答题】设切点为(x0,x02)， y=2x，2分 又切线过点P（ ，6）,其斜率应满足 ，6分 解得x0=2或x0=3， 8分 k1=4，k2=6.且切点为（2，4），（3，9）.10分 所以切线方程为y=4x-4，y=6x-9.12分,1.设y=e3，则y等于( ) （A）3e2 （B）e2 （C）0 （D）以上都不是 【解析】选C因为e3是常数，常数的导数为零，所以选C,2.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.y=nxn-1,n2n-1=12,可得n=3.所以选B.,3.给出下列结论： 若y= ,则y=- ；y= ,则y= ； y=log2x,则y= ；y=cosx，则y=sinx. 其中正确的个数是( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4,【解析