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规范答题示例1函数的单调性、极值与最值问题典例1(12分)已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围审题路线图.规范解答 分步得分构建答题模板解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.5分所以当a0时,f(x)在(0,)上单调递增,当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.6分(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,)上无最大值;当a0时,f(x)在x处取得最大值,最大值为flnalnaa1.因此f2a2等价于lnaa10.9分令g(a)lnaa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0.于是,当0a1时,g(a)0;当a1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数:写出函数的定义域,求函数的导数第二步定符号:通过讨论确定f(x)的符号第三步写区间:利用f(x)的符号写出函数的单调区间第四步求最值:根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分;(2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分;(3)求出最大值给2分;(4)构造函数g(a)lnaa1给2分;(5)通过分类讨论得出a的范围,给2分跟踪演练1(2017山东)已知函数f(x)x22cos x,g(x)ex(cosxsin x2x2),其中e2.718 28是自然对数的底数(1)求曲线yf(x)在点(,f()处的切线方程;(2)令h(x)g(x)af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值解(1)由题意知f()22.又f(x)2x2sin x,所以f()2.所以曲线yf(x)在点(,f()处的切线方程为y(22)2(x)即2xy220.(2)由题意得h(x)ex(cosxsin x2x2)a(x22cos x),h(x)ex(cosxsin x2x2)ex(sin xcosx2)a(2x2sin x)2ex(xsin x)2a(xsin x)2(exa)(xsin x)令m(x)xsin x,则m(x)1cosx0,所以m(x)在R上单调递增因为m(0)0,所以当x0时,m(x)0;当x0时,m(x)0.当a0时,exa0,当x0时,h(x)0,h(x)单调递减;当x0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x0时,h(x)取到极小值,极小值是h(0)2a1.当a0时,h(x)2(exelna)(xsin x),由h(x)0,得x1lna,x20.(i)当0a1时,lna0,当x(,lna)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递增;当x(lna,0)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递减;当x(0,)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递增所以当xlna时,h(x)取到极大值,极大值是h(lna)a(lna)22lnasin(lna)cos(lna)2当x0时,h(x)取到极小值,极小值是h(0)2a1;(ii)当a1时,lna0,所以当x(,)时,h(x)0,函数h(x)在(,)上单调递增,无极值;(iii)当a1时,lna0,所以当x(,0)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递增;当x(0,lna)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递减;当x(lna,)时,exelna0,h(x)0,h(x)单调递增所以当x0时,h(x)取到极大值,极大值是h(0)2a1;当xlna时,h(x)取到极小值,极小值是h(lna)a(lna)22lnasin(lna)cos(lna)2综上所述,当a0时,h(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)2a1;当0a1时,函数h(x)在(,lna)和(0,)上单调递增,在(lna,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(lna)a(lna)22lnasin(lna)cos(lna)2,极小值是h(0)2a1;当a1时,函数h(x)在(,)上单调递增,无极值;当a1时,函数h(x)在(,0)和(
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