2019高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程（第1课时）圆的标准方程讲义（含解析）.docx

第1课时圆的标准方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P118P120，回答下列问题(1)圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆定点就是圆心，定长就是半径圆心和半径圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小(2)求圆的标准方程时常用哪些几何性质？提示：求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：弦的垂直平分线必过圆心圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心圆心与切点的连线长是半径长圆心与切点的连线必与切线垂直2归纳总结，核心必记(1)圆的标准方程圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径确定圆的要素是圆心和半径，如图所示圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆(2)点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MAr点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2点在圆内MAr点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2问题思考方程(xa)2(yb)2r2(a，b，rR)表示一个圆吗？为什么？提示：未必表示圆当r0时，表示圆心为(a，b)，半径为|r|的圆；当r0时，表示一个点(a，b)课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)圆的标准方程是什么？怎样求解？；(2)点与圆有哪些位置关系？.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米思考1游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心的距离都是相等的，都是圆的半径思考2若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：.思考3以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示： 3.思考4确定圆的标准方程需具备哪些条件？名师指津：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件讲一讲1求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程(链接教材P120例3)尝试解答法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分线的斜率为k1，AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：(1)待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；(2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、三一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷练一练1求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，4)；(3)过点P(2，1)和直线xy1相切，并且圆心在直线y2x上解：(1)r2(24)2(20)28，圆的标准方程为(x4)2y28.(2)设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，b0或b8，圆心为(0,0)或(0，8)，又r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.(3)圆心在y2x上，设圆心为(a，2a)，则圆心到直线xy10的距离为r.r， 又圆过点P(2，1)，r2(2a)2(12a)2，由得或圆的标准方程为(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点看图回答下列问题：思考1点与圆的位置关系有几种？提示：三种点在圆外、圆上、圆内思考2如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离讲一讲2已知圆心在点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系(链接教材P119例1)尝试解答因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径r5，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为|P1C|25，所以P3(3，4)在圆外(1)判断点与圆的位置关系的方法只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围练一练2已知点A(1,2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围解：由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是(0，)讲一讲3已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值思路点拨首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，最后结合图形求出其最值尝试解答(1)据题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0,0)到圆心C(1,0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令yxb并将其变形为yxb.问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得b1，即最大值为1，最小值为1.数形结合思想能有效地找到解题的捷径，解题时找到圆心和半径，分析待求数学表达式的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键练一练3已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解：设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点是根据所给条件求圆的标准方程2本节课要重点掌握的规律方法(1)求圆的标准方程的方法，见讲1.(2)判断点与圆的位置关系的方法，见讲2.(3)求与圆有关的最值的方法，见讲3.3本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解，如练1.课下能力提升(二十二)学业水平达标练题组1圆的标准方程1圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1 B(2，3)，3C(2,3)， D(2，3)，解析：选D由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，3)，半径为.2(2016洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()Ax2(y4)225 Bx2(y4)225C(x4)2y225 D(x4)2y225解析：选A由题意，圆的半径r5，则圆的方程为x2(y4)225.3(2016达州高一检测)ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则ABC的外接圆方程是()A(x2)2(y2)220B(x2)2(y2)210C(x2)2(y2)25D(x2)2(y2)2解析：选C易知ABC是直角三角形，B90，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r，所以外接圆的方程为(x2)2(y2)25.4经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_解析：圆心是(2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y245求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x2y10相切的圆的方程解：圆心在线段AB的垂直平分线y6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(xa)2(y6)2r2.将点(1,10)代入得(1a)2(106)2r2，而r，代入，得(a1)216，解得a3，r2或a7，r4.故所求圆的方程为(x3)2(y6)220或(x7)2(y6)280.题组2点与圆的位置关系6点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不确定解析：选A把点P(m2,5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外7点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_解析：由于点在圆的内部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.答案：0,1)8已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(1,1)，B(1,0)，C(2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为_解析：|MA|5，|MB|2，|MC|，|MB|MA|MC|，点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，圆的半径r|MA|5，圆M的方程为(x3)2(y4)225.答案：(x3)2(y4)225题组3与圆有关的最值问题9设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4C3 D2解析：选B由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为624.10已知点P(x，y)在圆x2y21上，则的最大值为_解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为1.答案：1能力提升综合练1与圆(x3)2(y2)24关于直线x1对称的圆的方程为()A(x5)2(y2)24B(x3)2(y2)24C(x5)2(y2)24D(x3)2y24解析：选A已知圆的圆心(3，2)关于直线x1的对称点为(5，2)，所求圆的方程为(x5)2(y2)24.2圆心为C(1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)220C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)220解析：选C因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r，又圆心为C(1,2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，故选C.3方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆解析：选Dy可化为x2y29(y0)，故表示的曲线为圆x2y29位于x轴及其上方的半个圆4当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)25解析：选C直线方程变为(x1)axy10.由得C(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25.5(2016合肥高一检测)圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是_解析：由可得x2，y4，即圆心为(2,4)，从而r2，故圆的标准方程为(x2)2(y4)220.答案：(x2)2(y4)2206若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆C的方程是_解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x2y0的距离为，解得a5，a5(舍去)，圆心是(5,0)故圆的方程是(x5)2y25.答案：(x5)2y257已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解：法一：如图所示，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的方程为(x3)2y225或(x3)2y225.法二：由题意设所求圆的方程为(xa)2y225.圆截y轴线段长为8，圆过点A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圆的方程为(x3)2y225或(x3)2y225.8(1)如果实数x，y满足(x2)2y23，求的最大值和最小值；(2)已知实数x，y满足方程