§3-5极值、最值§3-6作图§3-7曲率.ppt

3-5 函数的极值和最值,一、函数的极值,定义1. 设 f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义, 若 (x0), 有,f (x) f (x0),则称 f (x)在x0处取得极大值(极小值) f (x0).,x0称为极大值点(极小值点),极大值和极小值统称为极值.,极大值点和极小值点统称为极值点.,注: 极值是一个局部概念, 如图,o,a,b,x1,x2,x3,x4,x5,y=f (x),x,y,定理1(Fermat定理) 设函数f (x)在某区间I内有定义, 在该区间内的点x0处取得极值, 且 f (x0)存在, 则必有,f (x0) = 0,证: 不妨设 f (x0)为极大值, 则存在U(x0) I,使x (x0), 有 f (x) f (x0),由 f (x)在x0可导, 故当x x0时,同理当x x0时,从而必有 f (x0) = 0.,注1. 使 f (x) = 0的x0称为 f (x)的驻点.,注2. f (x) = 0是 f (x)在x0取极值的必要条件, 非充分条件, 比如y = x3驻点x0=0非极值点.,注3. f (x) 不存在的点, 也可能是极值点.,如y = | x |, x0 = 0.,定理2. 设 f (x)在x0连续, 在 (x0)可导,(1)若x , f (x) 0,x , f (x) 0,则 f (x)在x0取得极大值.,(3)若x (x0)内 , f (x)不变号,则 f (x)在x0不取得极值.,(2)若x , f (x) 0,x , f (x) 0,则 f (x)在x0取得极小值.,证: 只证(1). 当x 时,因为 f (x) 0 , 所以 f (x)单调增加.,因而 f (x) f (x0) , x,当x 时, f (x) 0, 所以 f (x)单调减少,因而也有 f (x) f (x0) , x,例1. 求 f (x) = x33x2 9x +5的极值.,解: f (x) = 3x26x 9 = 3(x+1)(x3),令f (x) = 0, 得驻点x1= 1, x2= 3,将(, +)分成三个区间, 列成下表.,故, 极大值 f (1) = 10,极小值 f (3) = 22,(, 1),f (x),x,f (x),+,单增,1,0,极大,(1, 3),单减,3,0,极小,(3, +),+,单增,例2.,解:,f (x)与x同号, 故 f (0) = 0为极小值.,定理3. 设 f (x)在U(x0)具有二阶导数, 且f (x0)=0, f (x0)0, 则,(1) f (x0)0, f (x0)为极大值,(2) f (x0)0, f (x0)为极小值,证:,当 f (x0)0时, 由极限保号性, 存在 (x0),故 x x0时, f (x0) 0,x x0时, f (x0) 0,此时 f (x)在 x0处取极小.,例3. 求f (x) = sinx+cosx的极值.,解: 因 f (x)以2为周期, 只需考虑区间0, 2),由f (x) = sinxcosx = 0,得驻点,f (x) = sinxcosx,故,(, +)上,二、函数的最值,若 f (x)在a, b上连续, 则 f (x)在a, b上 一定存在最大值M和最小值m.,假定 f (x)在(a, b)内只有有限个驻点或导数不存在的点x1, x2, , xn, 我们说M和m只能在这些点或端点处达到.,即 M = max f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b),m = min f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b),(想一想: 为什么),例4. 求f (x)=x4 8x2 +2在1, 3上的最大值和最小值.,解: f (x)= 4x3 16x = 4x(x +2)(x 2),f (x)= 0, 得x1= 2(舍去), x2= 0, x3= 2,故最值在1, 0, 2, 3四处达到,f (1)= 5,f (0)= 2,f (2)= 14,f (3)= 11,所以 M = f (3)= 11, m = f (2)= 14,例5. 设 f (x) = xex, 求它在定义域上的最大值和最小值.,解: f (x)在(, +)上连续可导, 且 f (x)=(x+1)ex,令 f (x)=0, 得 x = 1,x 1时, f (x)0, f (x)单减,x 1时, f (x)0, f (x)单增.,故 f (x)在1处达到极小值,由于极小值点唯一,而,故 f (x)无最大值.,注意1. f (x)C(a, b), 且在(a, b)内只有唯一 一个极值点x0 , 则当 f (x0)为极大(小)值时, 它就是 f (x)在a, b上的最大(小)值.,注意2. f (x)在a, b上单调, 则m和M在端点处达到.,注意3. 实际应用中, 驻点唯一, 最大(小)值又存在, 则此点为最大(小)值点.,例6. 要造一个容积为V0的带盖圆柱形桶, 问桶的半径 r 和桶高 h 如何确定, 才能使所用材料最省?,解: 先建立函数关系, 表面积,A = 2r2 + 2rh,又r2h = V0 ,所以,得驻点,显然,故r0为极小值点, 又在(0, +)内极小值点唯一, 此极小值就是最小值.,例7.,150,x,D,A,o,C,B,如图 C 工厂, B 铁路货站, 要从AB铁路上选 一点D修建一条公路CD. 使C与B连起来, 已知AC=20公里, AB=150公里, 又知铁路与公路的吨公里运费之比为3 : 5, 问AD=x应为多少才能使运费最省.,20,解: 建立坐标如图, 从A到B的方向, 取A为原点. 则,AC = 20,AD = x,DB =150 x,设铁路吨公里运费为3k , 则公路吨公里运费为5k.,于是从B到C每吨材料总运费为,要求W的最小值, 先求W,得x = 15. 在(0, 150)中驻点x=15唯一.,又 在(0, 150)中, 0,故W(15)为极小值也即为最小值.,故 x =15时, 全程运费最省.,例8. 宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道, 若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长度是多少?,解: 如图建立坐标系. 原木直径不计.,设AB是通过点C(3, 2) 且与渠道两侧壁分别交于A和B的线段L.,要求L的最小值.,L(t) = AC + CB,实际问题中最小值一定存在, 且驻点唯一, 故此极小值就为最小值, 于是,m = L(t0) 7.02,故能通过原木的最大长度为7.02米.,3-6 函数图形的描绘,一、渐近线,渐近线定义: 当C上动点M离坐标原点无限远移时, 存在一直线l, 使MN趋向于零, 则称直线l为曲线 C的一条渐近线.,注1. 渐近线是直线l: ax+by+c=0的形式.,注2. 一条曲线的渐近线可以是水平线 y=y0, 可以是铅直线 x=x0, 也可以是斜线: y=ax+b.,注3. 一个函数所表示的曲线可以有零条, 一条, 二条甚至更多条渐近线.,确定函数 y = f (x)的渐近线的方法如下:,(1) 铅直渐近线:,则 y = f (x)有一铅直线渐近线 x=x0.,x = 0为其渐近线.,(2) 水平渐近线:,则 y = f (x)有一水平线渐近线 y = A.,(3) 斜渐近线:,则 y = f (x)有一斜线渐近线 y=ax+b.,证: 如图,设y = f (x)有渐近线y=ax+b.,例1.,解: (1)对于 y = lnx,故 y = lnx有铅直线渐近线 x = 0.,(2),故该双曲线有一对斜渐近线:,二、函数图形的描绘.,利用导数描绘函数的图形, 步骤如下:,(1) 确定y = f (x)的定义域, 并讨论其奇偶性, 周期性, 连续性,(2) 求 f (x), f (x)及其全部零点和不存在的点, 得系列点x1, x2, xn .,(3) 在 (xi, xi+1)上及分点xi 处观察 f (x), f (x)的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应曲线的凹凸区间及拐点., : 表单增 : 表单减 : 表凹 : 表凸,(4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势.,(5) 补充一些适当的点(xi , f (xi).,(6) 用光滑的曲线连接这些点并作图.,例2. 描绘 f (x) = 2xex的图形.,解: (1) 函数定义域为(, +), 连续.,(2) f (x) = 2ex 2xex = 2(1 x)ex,f (x) = 2ex 2(1 x)ex,= 2ex(x 2 ),由 f (x) = 0, f (x) = 0 , 得,x1 = 1, x2 = 2.,(3) 将(, +)分为三个区间(, 1), (1, 2), (2, +),列表讨论如下,(, 1),f (x),x,f (x),+,1,0,(1, 2),2,0,(3, +),+,f (x), , , ,(4),(5) 补充点 f (0)=0. 描点作图.,2,1,例3.,解: (1)定义域为,f (x)为奇函数,故 f (x)的图形关于原点对称.,(2),由 f (x)0, 知 f (x)无驻点,f (x) = 0, 得x0 = 0.,且,0,f (x),x,f (x),+,+,+,f (x),0, ,+,间断点, ,(3),(4),(5) 取辅助点,描绘出函数在0, +)上的图形, 再根据对称性得到函数在(, 0)的图形.,M1,M2,M3,例4.,解: (1) 定义域(, +), 连续,(2),f (x)为0和不存在的点为4, 0, 6,f (x)无零点, f (x)不存在的点为0, 6.,(3) 在(, 0), (0, 4), (4, 6), (6, +)上讨论.,f (x),x,f (x),+,+,+,f (x), , ,(, 0),(0, 4),不存在,不存在, ,极小0,0,4,0,(4, 6), ,6,不存在,不存在,拐点 (6, 0),(6, +),(4),= 2,故有斜渐近线 y = x +2 .,作图如下:,4,(6, 0),y= x+ 2,3-7 相关变化率 曲率,一、相关变化率,相关变化率是: 若两个函数的变化率(导数)有联系, 已知其中之一求出另一个变化率的问题, 其实就是复合函数导数的关系。,例1. 在气缸内, 当理想气体的体积为100(厘米)3时, 压强为5牛顿/ (厘米)3. 如果温度不变, 压强以0.05牛/(厘米)3 小时的速率减少, 那么体积增加的速率是多少?,解: 由物理学知, 理想气体之压强 p, 体积V和温度T关系如下,pV = RT,已知T为常数, 设RT=k, 且V=100时, p =5.,得 500 = k.,故 pV = 500,从,得,所以,例2. 液体从深为18厘米, 顶直径为12厘米的正圆锥形漏斗中漏入直径为10厘米的圆柱形桶中, 开始时漏斗盛满液体, 已知漏斗中液面深为12厘米时, 液面下落速度为1厘米/分, 求此时桶中液面上升的速率.,12,H,18,h,10,解: 设漏斗液面深为H厘米时, 桶中液面深为h厘米, 漏斗液面圆半径为R, 先求两个体积之间的关系.,由,代入上式并整理得,两边对t 求导,二、弧微分,设 f (x)Ca, b, C为y = f (x)所表示的曲线.,设x增大时, 点(x, f (x)沿曲线方向为C的正方向.,在C上取点M0, 弧 M0M 的长度为|M0M |, 规定了弧长s的值为,),),由此可知, s为x的单调增加函数.,我们要求s(x)的微分,如图, 设M, M的坐标为,M(x, y) , M(x +x, y +y ),s 的符号与x的符号相同.,则,),),而,故,或 (ds)2 = (dx)2 + (dy)2,这就是弧微分.,3-7、曲 率,曲率是描述曲线在一点弯曲程度的量.,曲率与什么有关呢? 设想有两个圆半径分别为r和R, 且r R. 则小圆比大圆弯曲程度大.,如图,M,M,O,y,x,C,M, M是曲线C上 两点(C是光滑曲线),当C上的动点从M移动M 时, 曲线切线转过了角度(称为转角).,对应弧有一个改变量s . 故,(1) 弯曲程度与转角成正比,(2) 弯曲程度与弧长改变量成反比,定义. MM 上平均曲率,),C上M点的曲率,比如, 半径为R的圆, 其曲率,直线曲率,下面推出曲率计算公式,设曲线C的方程为 y = f (x), 且f (x)具有二阶导数.,又 tan = y , = arctany,故,于是,若曲线方程为,则,代入 K 的表达式, 得,例3. 铁路拐弯处常用立方抛物线作为过渡曲线, 试求,解: y = x2,y = 2x ,于是 在(0, 0)处, K0 = 0.,定义:,给定在C上一点M ,在法线上沿