虚功原理和位移计算.ppt

第6章 虚功原理和结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures),4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures),A点水平位移,A截面转角,B点水平位移,B截面转角,相对线位移,相对角位移,4.1 结构位移计算概述,一、结构的位移 (Displacement of Structures),引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,铁路工程技术规范规定:,二、 计算位移的目的,(1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,(2) 超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,（3）理想联结 (Ideal Constraint)。,三、 本章位移计算的假定,叠加原理适用（principle of superposition),(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),四、 计算方法,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method),4.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,4.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,4.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work),二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement),一个力系作的总虚功 W=P ,P-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,（1）刚体系的虚位移(功)原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,三、变形体的虚功原理,原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We =Wi,（2）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,几个问题:,1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。,2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。,3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。,Wi 的计算:,Wi =N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,（4）变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，变形互不耦连，略去高阶微量，有:,We =N+Q+Mds,Wi 的计算:,微段外力:,（4）变形体虚功方程的展开式,We =N+Q+Mds,对于刚体，、均为零,We =0,这就是刚体虚功原理。刚体虚功原理是变形体虚功原理的一个特例。,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method,四、位移计算一般公式,4.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,求k点竖向位移.,由变形体虚功方程:,变形协调的 位移状态(i),平衡的力 状态(P),We =Wi,We =P iP = iP,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,4.3 荷载作用产生的位移计算,变形协调的 位移状态(P),平衡的力 状态(i),We =Wi,We = iP,适用于各种杆件体系(线性,非线性).,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,求k点竖向位移.,变形协调的 位移状态(p),平衡的力 状态(i),-适用于各种杆件体系(线性,非线性).,对于由线弹性直杆组成的结构，有：,适用于线弹性 直杆体系,例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.,位移方向是如 何确定的?,例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知),解：构造虚设的力状态如图示,小曲率杆可利用直杆公式近 似计算;轴向变形,剪切变形对位 移的影响可略去不计,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,1.梁与刚架,二.位移计算公式,2.桁架,3.组合结构,4.拱,这些公式的适 用条件是什么?,解：,例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.,NP,Ni,练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.,NP,Ni,例: 1)求A点水平位移,3.3 荷载作用产生的位移计算,一.单位荷载法,二.位移计算公式,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功.,三.单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.,3.4 图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications),刚架与梁的位移计算公式为：,一、图乘法,(对于等 截面杆),(对于直杆),图乘法求位移公式为:,图乘法的 适用条件是 什么?,图乘法是Vereshagin于 1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院 的学生。,例. 试求图示梁B端转角.,解:,MP,Mi,为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?,例. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,二次抛物线,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,三、图形分解,MP,Mi,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.,三、图形分解,求,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,能用 Mi图面积乘 MP图竖标吗?,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。,三、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。,三、应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零.,作变形草图,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,练习 已知 EI 为常数，求A点水平位移 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点竖向位移,EI=常数。,例 已知： E、I、A为常数，求 。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,4. 5 静定结构温度变化时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes),4. 5 静定结构温度变化时的位移计算,变形体虚功方程为:,We =Wi,We =1kP,其中:,荷载作用求K点竖向位移.,We =1kP,温度作用求K点竖向位移.,Wi =Nit + Qit +Mikt ds,关键是计算微 段的温度变形,设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为 .,微段的温度变形分析,无剪应变,若,温度引起的位移计算公式:,对等 截 面 直 杆:,上式中的正、负号：,若 和 使杆件的同一边 产生拉伸变形，其乘积为正。,例： 刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m,解：构造虚拟状态,例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.,解：构造虚拟状态,Ni,4.6 静定结构支座移动时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement),6. 静定结构支座移动时的位移计算,变形体虚功方程为:,We =Wi,We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3,Wi =0,其中:,计算公式为:,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,制造误差引起的位移计算,每个上弦杆加长8mm,求 由此引起的A点竖向位移.,4.7 线弹性结构的互等定理 （Reciprocal Theory in Linear Structures),线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理:,方法一,由W1=W 2,先加广义力P1后再加广义力P2,先加广义力P2后再加广义力P1,由虚功原理,线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理:,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。,功的互等定理,2. 位移互等定理:,单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力