线性规划及其应用.doc

教师版平面区域与线性规划【一】 基本内容 (一)二元一次不等式表示的区域 对于直线(A0) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们研究的就是求线性目标函数z=Ax+By在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.【二】 例题解析题1：选择题1.不等式组表示的平面区域是( )2已知x、y满足约束条件，则(x+2)2+y2的最小值为 DAB2C8D5D4不等式组围成的区域中，整数点的个数有（ ）AA6B7C8D95设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9【解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需要研究过、两种情形。且即答案：C题2.选择填空题1已知动点所在的区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数的最小值和最大值分别为（C）A.2，12 B.2,4C.1,12 D.1,492 已知x、y满足约束条件的最小值为（ C）A7BC5D53.若,则的取值范围是 .2,64平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】：D【解析】如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D. 5. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范围【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是（2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，故的取值范围为题3:某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资70万元，房地产投资90万元，电脑投资75万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资90万元，电脑投资150万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利25万元，每份进取型投资每年可获利30万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过290万元，房地产投资不超过450万元，电脑投资不超过600万元，那么这两种组合投资应各注入多少份，能使一年获利总额最大？最大值是多少？题4.已知有三个居民小区A、B、C构成ABC，AB700、BC 800、AC300现计划在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙据测算，从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝每安装一道隔音窗噪音降低3分贝，成本3万元，隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝，成本10万元；距离厂房平均每25噪音均匀降低1分贝（1）求C的大小； （2）求加工厂与小区A的距离（精确到1）；（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵隔音墙?（计算时厂房和小区的大小忽略不计）解：（1）由余弦定理得cosC，C60；3分（2）由题设知，所求距离为ABC外接圆半径R，4分由正弦定理得R4046分答：加工厂与小区A的距离约为404；7分（3）设需要安装x道隔音窗，建造y堵隔音墙，总成本为S万元，由题意得：即9分其中S3x10y，当x2，y1时，S最小值为16万元11分答：需安装2道隔音窗，建造1堵隔音墙即可12分题5. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得 （）目标函数为作出可行域如图所示目标函数可变形为，当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。解得点A的坐标为（20,24），10分将点代入得元答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.【规律总结】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.题6. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示： 产品 消耗量资源甲产品（每吨）乙产品（每吨）资源限额（每天）煤（t）94360电力（kwh）45200劳力（个）310300利润（万元）612 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元1分依题意可得约束条件：5分 （图2分） 利润目标函数8分如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。10分解方程组12分所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。14分线性规划练习一、选择题1不在 3x+ 2y 6 表示的平面区域内的一个点是 （ ） A（0，0）B（1，1）C（0，2）D（2，0）2已知点（3 ， 1）和点（4 ， 6）在直线 3x2y + m = 0 的两侧，则 （ ）Am7或m24 B7m24 Cm7或m24 D7m 243若，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）A2 ，6B 2，5C 3，6D 3，54不等式表示的平面区域是一个（ ）A三角形B直角三角形C梯形D矩形5在ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（1，2），C（1 ，0 ）， 点P（x，y）在ABC内部及边界运动，则 z= x y 的最大值和最小值分别是 （ ）A3，1B1，3C1，3D3，16在直角坐标系中，满足不等式 xy20 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是 （ ） A B C D7不等式表示的平面区域内的整点个数为（ ）A 13个 B 10个 C 14个 D 17个8不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是（ ）AB CD oxy9已知平面区域如右图所示，在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则的值为 （ ） A B C D不存在10如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ） AB CD二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11已知x，y满足约束条件 ，则的最小值为_12已知约束条件，目标函数z=3x+y，某学生求得x=， y=时，zmax=， 这显然不合要求，正确答案应为x= ; y= ; zmax= .13某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有_种.14已知x，y满足，则的最大值为_，最小值为_三、解答题（本大题共6题，共76分）15由围成的几何图形的面积是多少?（12分）16已知当a为何值时，直线及坐标轴围成的平面区域的面积最小？（12分）方式种类轮船飞机小麦 300吨150吨大米250吨100吨17有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？（12分）18设，式中变量满足条件，求z的最小值和最大值（12分）19某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：工艺要求产品甲产品乙生产能力/（台/天）制白坯时间/天612120油漆时间/天8464单位利润/元2024问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？（14分）20某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？（14分）参考答案一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DBACCBAAAC二填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11 123，2，11 13 7 14 2，0三、解答题（本大题共6题，共76分）xyOCBDE15（12分）解析：如下图由围成的几何图形就是其阴影部分，且. （2，2）（2，2）y=xy=x+1（1,2）（1，2）y=xy=x+116（12分）解析： 如图，由题意知及坐标轴围成的平面区域为ACOD，17（12分）解析：设轮船为x艘、飞机为y架，则可得，目标函数z=x+y，作出可行域，利用图解法可得点A（，0）可使目标函数z=x+y最小，但它不是整点，调整为B（7，0）AxyOC-11B（1,1)2答：在一天内可派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务18（12分）解析： 作出满足不等式的可行域，如右图所示.作直线19（14分）解析：设x，y分别为甲、乙二种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数Z=20x+24y的最大值.其中线性约束条件为 ，由图及下表（x，y）Z=20x+24y（0，10）240（0，0）0（8，0）160（4，8）272Zmax=272 答：该公司安排甲、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元.A型车B型车