西安市蔬菜价格变动分析和采购计划的制定.doc

2015年数学建模论文第6套 题 目：西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定 西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定摘要 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活 成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。 针对问题一，根据所选的 5种蔬菜近几年的价格数据，研究这 5 种蔬菜价格随月份的变化规律，通过绘制 5种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。显然，5种蔬菜价格分别是5个时间序列，利用 matlab 软件对 5 个时间序列进行稳定性检验，结果 显示全部 5 个时间序列都是平稳时间序列。因此，本文分别对 5 个时间序列建立了ARMA模型。 针对问题二，考虑到人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，选取季节性蔬菜，进而计算每月蔬菜价格的平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍为是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研宄。 针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，然后利用SPSS 软件做线性回归，得到显著性水平为0.05 时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜 价格总体处于高位。针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的 最大重量为目标函数分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过 LINGO 软件 进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。关键词：蔬菜价格 ARAM预测模型 价格指数 线性回归 1、 问题重述食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据（/ptl/def/def/index_1285_3890.html），为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律，请从该网站下载查阅相关监测数据，建立数学模型解决如下问题：1）请从监测的17种蔬菜数据中任意选取5种蔬菜，并根据这5种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。2）监测17种蔬菜的价格数据给监测人员带来了很大的工作负担，为了综合评价蔬菜价格的总体水平，请建立一个蔬菜价格指数模型，使这个指数的升降能够从总体上较为准确地反映蔬菜价格的水平。注意蔬菜的类型、人们的消费习惯、以及其它因素都可能与这个蔬菜价格指数有关，并说明你所建立指数的合理性。3）根据你在问题2）中建立的蔬菜价格指数模型，研究一下近几年蔬菜价格总体的变化趋势，说明一下对于西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。4）假设你是一家饭店的采购员，每一天都要根据当天西安市四个主要蔬菜批发市场的蔬菜牌价（如表1所示），选择到其中一家市场进行一次采购。为满足饭店营业需求，饭店制定了采购单，并对采购量做出如下要求：每天必须购买的蔬菜有：豆角至少50公斤，青椒至少30公斤，土豆至少20公斤，西红柿至少100公斤，莲花白至少100公斤，胡萝卜至少20公斤，茄子至少10公斤，其余蔬菜品种采购员可以酌情自己选择购买至少5种，如果购买这种蔬菜要求至少购买10公斤。假设采购所用的汽车是一辆载重量不超过1.5吨的小型三轮货车，因为车辆保养的原因，要求每天车辆的公里吨数（即路程载重吨数，空载不计）不得超过8（公里吨），每天采购额不得超过4000元，且采购单中要求必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的80%以上。请建立数学模型为你今天的采购计划制定最佳方案，即在满足上述所有条件都满足的情况下，到哪一个蔬菜市场区购买蔬菜，购买哪些蔬菜，各多少公斤，使得当天采购蔬菜的总重量最大。假定蔬菜批发的最小单位为1公斤。表1. 西安市主要蔬菜批发市场今日蔬菜牌价（单位：元/公斤）胡家庙蔬菜批发市场（与饭店距离7.2km）朱雀蔬菜批发市场（与饭店距离11.5km）新北城蔬菜批发市场（与饭店距离10.8km）西三环蔬菜批发市场（与饭店距离13.5km）豆角5.765.85.3茄子4.3青椒4西红柿青菜3.93.744.2冬瓜白萝卜2韭菜4.5黄瓜32.43.13尖椒4.8蒜薹2.6土豆2.9菜花1.4白菜1.9莲花白1.4芹菜胡萝卜二、问题分析题目要求对建立明确的数学模型，分别用来研究蔬菜价格随月份变化的规律，并对蔬菜价格进行预测；研究近几年蔬菜价格总体变化趋势；以及确定蔬菜采购的最优方案。问题一，要根据所选的 5 种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测 2015 年这5种蔬菜每月的价格。由于5种蔬菜价格分别是5个时间序列，因此可以考虑运用时间序列构建模型来研究蔬菜价格 随月份变化的规律，并考虑比较常用的 ARMA 模型建模。按照建立模型的步骤，首先对序列进行稳定性检验，确定为平稳非白噪声序列后，计算自相关和偏自相关系数，进而进行ARMA 模型识别；确定相应的模型后，估计模型中未知参数的值，然后对所得模型进行检验，验证模型是否有效；最后根据所得的模型预测时间序列将来的走势，从而对所选的5 种蔬菜价格进行预测。问题二，考虑到蔬菜的种类、人们的消费习惯、季节性变化等多种因素都会对蔬 菜的价格指数造成影响，各种影响是一灰色系统，很难建立确定的数学关系。因此本文选取了蔬菜种类以及人们的消费习惯两种因素进行研究。为了减小误差，本文查找网上资料，选取季节性蔬菜，进而计算每月蔬菜价格的平均价格，求出每月的定基价格指数。问题三，要研究近几年蔬菜价格总体的变化趋势，容易考虑到运用回归分析来研 究变化趋势，因此可以对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析。首先绘制蔬菜 价格的散点图，大体上确定合适的回归模型；然后利用软件进行各种回归参数的求解,得出回归方程；最后根据回归方程可知近几年蔬菜价格总体的变化趋势。结合问题二的模型即可知西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。问题四，要求满足题目所有的约束条件的情况下确定采购方案，使得采购蔬菜的 总重量最大。显然，这是一个线性规划问题，只需根据题目要求分别对三个蔬菜批发 市场建立整数规划模型，确定目标函数和约束条件，利用软件进行求解。最后比较四 个结果，选择最优方案即可。三、模型假设1、假设所统计的数据全部真实可靠。2、假设所有蔬菜的产量充足。3、假设同一大类的蔬菜对总体价格指数的影响相同。4、假设统计数据中的缺省值对平均价格的影响可以忽略。四、符号说明时间序列B线性后移算子随机干扰序列j市场采购i种蔬菜的重量j市场i种蔬菜的价格蔬菜批发市场与饭店之间的距离0-1变量五、模型的建立与求解5.1 问题一 5.1.1蔬菜价格随月份的变化趋势本文采用了西安市物价局公布的蔬菜价格监测数据，具体收集了西红柿、尖椒、 茄子等17种蔬菜2011年6月至2014年5月每期的价格，并将西红柿、尖椒、 土豆、黄瓜、莲花白其整理为表1，如下： 表一西红柿、尖椒、 土豆、黄瓜、莲花白数据统计西红柿尖椒土豆黄瓜莲花白2011/63.976.132.902.771.932011/73.555.752.752.702.202011/83.804.002.733.731.932011/94.434.052.804.152.032011/105.386.052.453.831.952011/115.385.852.135051.602011/125.756 902.088 001.402012/15.5012.752.039.752.032012/26.3010.002.338.332.302012/37.9010.703.007.342.932012/47.9811.783.256.153.432012/55.658.903.304.403.152012/63.555.753.232.802.452012/72.584.502.552.801.782012/84.774.032.474.431.902012/95.754.102.903.652.452012/104.954.152.983.231.932012/115.454.352.934.481.692012/125. 735.633.175.802.032013/17.257.953.586.652.902013/26.776.833.9711.533.002013/36.037.254.088.682.382013/46.9410.524.546.422.682013/55.588.184.983.582.302013/64.505.835.253.631.682013/74.726.544.684.181.882013/84.436.164.503.582.482013/95.486.864.645.742.322013/107.047.204.826.022.922013/118.157.754.536.082.832013/127.027.504.686.022.682014/18.759.254.406.532.632014/29.9310.834.409.532.672014/39.959.234.809.181.732014/47.758.285.014.801 902014/56.436.133.732.681.08最小值2.584.002.032.681.08最大值9.9512.755.2511.533.43平均值5.977.163.575.512.25中位数5.696.853.284.932.25制做5种蔬菜价格随时间变化的折线图，如图1所示。由图可以看出5种蔬菜价 格均存在明显的季节变动，变动的总体趋势是冬春价格较高，夏季价格较低。其中西 红柿、.尖椒、黄瓜每年的价格波动较大，土豆、莲花白每年的价格波动较小。 图1 5种蔬菜月平均价格变动图从每月价格变动情况看，由于14月天气较寒冷，蔬菜供应大部分为温室蔬菜，其成本较高，所以是一年中蔬菜价格较高时期。随着天气逐渐变暖，59月是蔬菜生产旺季，蔬菜价格逐渐下降。在每年的8月左右，蔬菜价格降到最低值。随着天气逐渐变冷，1012月蔬菜供应逐渐减少，加上北方主要依靠温室种植蔬菜，其成本逐渐 提高，蔬菜价格也随之上升，在每年的二月左右价格最高。5.1.2蔬菜价格ARMA模型的建立 时间序列的平稳性检验ARMA模型适用于平稳时间序列，因此在建立ARMA模型前，必须对有关时间序列进 行平稳性检验。如果序列为平稳序列即可使用ARMA模型建模，如果序列为非平稳序列， 则需要对序列进行处理，判定为平稳后再构建模型。实际应用中通常采用ADF检验对序列平稳性进行检验，ADF检验的形式为: 检验假设为 ;即序列非平稳，即序列平稳。进行ADF检验需要选择合适的模型形式（是否含有常数项和趋势项），在检验时， 需要确定检验的滞后阶数，对于检验形式的选择，需要依据AIC准则。利用用EViews软件进行检验，结果如表2所示。 表2 ADF检验结果蔬菜体验形式临界值ADF检验统计量伴随概率D.W值AIC值10%5%1%西红柿（C,9）-2.6-2.9-3.6-3.270.021.922.96尖椒（C,9）-2.6-2.9-3.6-4.460.002.213.75土豆（C,9）-2.6-2.9-3.6-3.860.001.580.94黄瓜（C,9）-2.6-2.9-3.7-4.260.001.983.83莲花白（C,9）-2.6-2.9-3.6-3.990.001.851.25从检验结果看，在5%的显著性水平下，各时间序列都不含有单位根 时间序列是平稳的.模型阶数识别和参数估计 经过上述检验后，各时间序列序列满足建立模型的需要，可以构建 ARMA 模型。模型构建主要是对阶数进行识别和对参数进行估计。对于模型阶数的识别，通过时间序列的自相关和偏自相关系数拖尾和截尾的性质 进行判断。利用 EViews 软件分别绘制 5 种蔬菜的自相关和偏自相关图，如图 2 至图 6 所示 图2西红柿子自相关系数和偏自相关系数 图3 尖椒自相关系数和偏自相关系数 图4 土豆自相关系数偏和自相关系数 图5 黄瓜自相关系数和偏自相关系数 图6莲花白自相关系数和偏自相关系数从自相关和偏自相关图上看出 5 种蔬菜的自相关系数均拖尾；西红柿和黄瓜的偏 自相关系数 2 阶截尾，尖椒、土豆、莲花白的偏自相关系数 1 阶截尾。因此考虑对西 红柿和黄瓜建立AR(2) 模型，对尖椒、土豆、莲花白建立 AR(1) 模型。 利用 EViews 软件进行模型参数的求解，得到:西红柿的 (2) AR 模型为 : （5-1） 黄瓜的 (2) AR 模型为 （5-2） 尖椒的 (1) AR 模型为 （5-3） 土豆的 (1) AR 模型为 （5-4） 莲花白 (1) AR 的模型为 （5-5） 对残差序列进行白噪声检验，如图 7 至图 11 所示。可以看出 ACF 和 PACF 都没有 显著异于零，Q 统计量的 P 值都大于0.05，因此可以认为残差序列为白噪声序列，模型信息提取比较充分，整个模型比较精简，模型较优。 图7 西红柿残差检验图 图8 尖椒残差检验图 图9 土豆残差检验图 图10 黄瓜残差检验图 图11 莲花白残差检验图 模型检验 若拟合模型的残差记为 e，它是的估计。对于上述 AR（p）序列，设未知参数的估计是 ，.,则残差(设)，记 e其中：L为自相关函数的托尾数。Ljung-Box 的 检验统计量是 c= =+ - 检验的假设是： ，当kL；:对某些kL， 在 成立时，若样本容量n充分大，近似于 分布，其中r 是估计的模型参数个数。 检验法：给定显著性水平 ，查表得上分位数 ，则当时拒绝，即认为非白噪声，模型检验未通过；而当 时，接受 ，认 为 是白噪声，模型检验通过。 利用 MATLAB 软件对所建立的模型进行检验，结果显示除尖椒外其余 4种模型都满足 =0 ， 即模型通过了检验。 利用所建立的模型，通过 MATLAB 软件对 5 种蔬菜的实际价格和预测价格进行比较如图12至图16所示，同时得到5种模型对西红柿、尖椒、土豆、黄瓜、莲花白价格预测的平均相对误差分别为 5.2%、4.73%、2.75%、9.79%、3.19%。并对未来一年内的 价格进行预测，结果如表 3 所示。 表 3 蔬菜价格一年内的预测值日期西红柿尖椒土豆黄瓜莲花白2014-062.975.472014-072.274.292.482.621.722014-084.993.842.404.611.842014-095.693.912.823.182.372014-104.573.952.902.901.872014-115.314.142.854.551.642014-125.535.363.085.801.972015-017.237.573.486.462.812015-026.376.513.8612.192.902015-035.616.913.977.282.302015-046.8110.024.425.342.592015-055.067.794.842.522.23 图12西红柿预测价格与实际价格比较图 图13西红柿预测价格与实际价格比较图 图14土豆预测价格与实际价格比较图 图15土豆预测价格与实际价格比较图 图16莲花白预测价格与实际价格比较图5.2 问题二5.2.1价格指数相关知识在经济统计领域的研宄中，统计指数是一种相对数，用来表示某种社会经济现象 的变动情况。从广义上一来说，一切用来表示社会经济现象数量变动的相对数都是指数， 不仅可以反映某一变量随时间变化的相对数，还能够反映某一变量同时异地的变化。 从狭义上来说，统计指数是一种以相对数（数值比数）的形式综合反映多个变量在数 值上总变动情况的方法。价格指数作为一种统计指数，反映着某种商品的价格水平在不同时期变化的方向、 程度和趋势。根据统计指数的概念，可以把狭义的价格指数k简单的理解为某一个变 量在某一时期（记为时刻t = 1 )内的价格P1与该变量在另一个作为比较标准的时期（记为时刻t = O )内的价格的比数。其中作为比较标准的时期即t = 0被称为基期；当前时期，即t = 1被称为报告期。也就是说把基期的价格指数看成100，以基期水平为标准，计算比值，得到报告期的指数，以此来判断价格在不同时期的变动情况。根据指数计算所选用的基期不同，可以把指数分为定期指数和环比指数两种：定 期指数是始终以某一固定的时期作为基期来计算各期的指数；环比指数是始终以前一 期作为基期来计算各期的指数。环比价格指数反映相邻两期的价格变化，基期不固定， 在长期内没有可比性，因此本文只对蔬菜价格指数的月定基价格指数进行研宄，不研究对月环比价格指数。5.2.2 蔬菜价格指数的建立 考虑到蔬菜的种类、人们的消费习惯、季节性变化等多种因素都会对蔬菜的价格 指数造成影响，各种影响是一灰色系统，很难建立确定的数学关系。因此本文选取了 蔬菜种类以及人们的消费习惯两种因素进行研究。 为了减小误差，本文查找网上资料，选取季节性蔬菜，进而计算每月蔬菜价格的平均价格，利用 EXCEL软件计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数，结果如表 4 所示。 表4月定基价格指数2011-072011-082011-092011-102011-112011-122012-012012-022012-0395.891.598.6111.1113.1136.3181.1165.3180.12012-042012-052012-062012-072012-082012-092012-102012-112012-12184.1143.5100.580.399.4106.597.4106.8126.32013-012013-022013-032013-042013-052013-062013-072013-082013-09160.1181.4160.6175.7139.1118124.3119.5141.52013-102013-112013-122014-012014-022014-032014-042014-052014-06158.2165.8157.6178.3211.1197.1156.7113.3作出蔬菜价格指数随时间变化的折线图，如图18所示。由图可以看出蔬菜价格指 数也存在着明显的季节性变动，因此按照问题一的步骤，利用EIVEES软件对价格指数序列建立ARAM模型，所建立的模型为AR(2)。 （5-6） 图18 蔬菜价格指数变动图 图19 价格指数自相关系数和偏自相关系数 图20 价格指数残差检验图利用 MATLAB 软件对所建立的模型进行 检验，结果显示模型满足 h=0模型通过了检验。利用所建立的模型，通过 MATLAB 软件对蔬菜的实际价格指数和预测价格指数进行 比较如图 21 所示，同时价格指数预测的平均相对误差为 4.99%。 图21预测价格指数于实际价格指数比较图5.3 问题三 首先做蔬菜价格散点图如图 22 所示，由图可知，在 95%的置信区间内可以对蔬菜 价格随时间的变化进行线性回归分析。图22 蔬菜价格指数散点图利用 SPSS 软件对蔬菜价格随时间的变化进行线性回归，图 23 给出了方差分析的 结果。由该图可以得到模型的显著性 P 值是 0.011，小于显著性水平 0.05，因此可以 判断模型整体非常显著。Anovaa模型平方和df均方FSig.1回归7490.85317490.8537.264.011b残差34030.610331031.231总计41521.46334a. 因变量: 价格指数b. 预测变量: (常量), 月的个数。 图 23方差结果分析图 图 24是线性回归模型的回归系数以及相应的一些统计量。从该图可以得到线性回归模型中的常量和采样时间系数分别为 113.241和 1.449，（从2011年7月算第一个月）从而可得回归方程为： 系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B 的 95.0% 置信区间B标准 误差试用版下限上限1(常量)113.24111.09310.208.00090.672135.809月的个数1.449.537.4252.695.011.3552.542a. 因变量: 价格指数 图24 回归系数 5.4 问题四 5.4.1模型的建立与求解(1)模型建立：有题目可以给出约束条件：每天必须购买的蔬菜的量的约束条件： 其余蔬菜品种采购员可以酌情自己选择购买至少5种的约束条件： =0,1 5 每天采购额不得超过4000元： ； 采购所用的汽车是一辆载重量不超过1.5吨： ； 每天车辆的公里吨数（即路程载重吨数，空载不计）不得超过8（公里吨）： ；必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的80%以上： ；目标函数：Max=(i=1,2,3.17,j=1,2,3,4)(2)模型求解利用 LINGO 软件分别对四个批发市场进行求解，将所得结果整理如表3 ：表3：四个批发市场的蔬菜购买情况胡家庙(单位;kg)朱雀(单位;kg)新北城(单位;kg)西三环(单位;kg)总重量1111.11695.6522740.7407740.7407豆角200.9400194.3270227.7112244.5893茄子30.0000030.0000030.0000030.00000青椒20.0000020.0000020.0000020.00000西红柿100.0000100.0000100.0000100.0000青菜248.0981108.5000108.4857108.5903冬瓜20.0000020.0000020.0000020.00000白萝卜10.0000010.0000010.0000010.00000韭菜21.1346222.6312623.5111024.01883黄瓜10.0000021.9744018.7200320.40160尖椒66.4851819.8485119.8400719.06193蒜薹51.8874327.2859934.9420925.57014土豆112.747420.7492223.1304221.03518菜花50.3297328.4930333.8220326.57661白菜56.8300220.7492221.0260320.19880莲花白55.8505719.6796019.0262118.04621芹菜46.8080220.1971420.5259018.88478胡萝卜10.0000011.2168310.0000013.76702由表 5 可知在满足所有约束条件的情况下，到胡家庙蔬菜批发市场分别购买豆角 169 公斤，茄子 71 公斤，青椒 58 公斤，西红柿 134 公斤，青菜 10 公斤，冬瓜 10 公斤， 白萝卜 10 公斤，韭菜 10 公斤，尖椒 10 公斤，土豆 81 公斤，莲花白 467 公斤，胡萝 卜 81 公斤，可以使得当天采购蔬菜的总重量最大为 1111 公斤。六、模型评价 6.1 模型优点 1、本文在建立模型前，采用均值、标准化、剔除等方法对原始数据进行了处理， 使得模型更为准确。 2、本文所建立的 ARMA 模型可以较好的预测蔬菜价格以及价格指数的变化，相对误差较小。 3、问题二将选用不同的季节量产的蔬菜和人们广泛使用的蔬菜价格指数，减小了波动误差，使的结果准确性有所提高。 4、问题三采用线性回归定性的说明了蔬菜价格的总体变化趋势，模型简单，结果可靠。 6.2 模型缺点 在得出相关 ARMA 模型参数后，只对模型进行了检验，以确定所建立的模型正确。但是，在确定模型正确后没有对模型进行进一步的优化，因此本文所建立的模型并不一定是最优的 ARMA 模型。参考文献1 司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用M. 北京：国防工业出版社，2011 2 姜启元，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，20072 周靖靖，刘金杰，张万里.基于整数规划模型的乘用车最优运输方案J,重庆科技学院学报，2005,17(2) 129-1333 刘萌，高翠田，王华.竞赛数学建模论文撰写J,Science & Technology Information,2007,32(3) 506-507.4 何晓群，闵素芹. 实用回归分析（第二版）. 北京：高等教育出版社,2014.附录：问题一（matlab程序）lear;data=;p=2 1 1 2 1;for i=1:5switch(i)case(1)x=data(:,1);case(2)x=data(:,2);case(3)x=data(:,3);case(4)x=data(:,4);case(5)x=data(:,5);enda=lpc(x,p(i);estx=filter(0-a(2:end),1,x);e=x-estx;r(i)=(abs(e)./x);m=ar(x,