《微分学几何应用》PPT课件.ppt

定义: 设M0是空间曲线L上的一个定点, M是L上的一个动点, 当M沿曲线L趋于M0时, 割线M0M的极限位置MT0(如果极限存在)称为曲线L在M0处的切线.,下面导出空间曲线的切线方程.,8.6 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线和法平面,1. 空间曲线方程为参数方程的情形:,(1)式中的三个函数均可导. 且导数不同时为零.,L:,(1),设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+x, y0+y, zo+z)对应参数 t=t0+t. 则割线M0M的方程为:,考察割线趋近于极限位置切线的过程:,上式分母同除以t , 得,当MM0, 即t 0时, 曲线在M处的切线方程为:,切向量(切线的方向向量)为,法平面(过M0点且与切线垂直的平面)的方程为:,故, 切线方程为:,法平面方程为:,解: 当t=0时对应曲线上的点的坐标为M0(0, 1, 2),而,则切向量为:,即,在M0(x0, y0, zo)处, 取x为参数, 则,切向量为:,法平面方程为:,切线方程为:,切线方程为:,法平面方程为:,解一: 直接利用公式.,解二: 在所给方程的两边对x求导并移项, 得,解得,在点(1, -2, 1)处,由此得切向量为:,所求切线方程为:,法平面方程为:,即,二、曲面的切平面与法线,1. 曲面的方程为一般方程F(x, y, z)=0的情形:,在曲面上任取一条通过点M(x0, y0, z0)的曲线,对应M有 t=t0 .,曲线在M处的切向量为:,令,又因为为曲面上的曲线, 故有,F(t), (t), (t) 0,上式在t = t0 处对 t 求导得,Fx(x0, y0, z0)(t0)+Fy(x0, y0, z0)(t0)+Fz(x0, y0, z0)(t0)=0,切平面的方程为:,Fx(x0, y0, z0)(xx0)+Fy(x0, y0, z0)(yy0)+Fz(x0, y0, z0)(yy0)=0,通过点M(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为:,2. 曲面的方程为显函数z=f(x, y)的情形:,令F(x, y, z)=f(x, y)z, 则曲面在点M(x0, y0, z0)的法向量为:,故, 切平面方程为:,法线方程为:,因为, 曲面z=f(x, y)在M处的切平面方程为,切平面上点的竖坐标的增量z.,全微分的几何意义,函数z=f(x, y)在(x0, y0)的全微分, 表示曲面z=f(x, y)在点(x0, y0, z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量, 即以切平面上点的改变量近似代替曲面上该点处的改变量.,函数z=f(x, y)在(x0, y0)的全微分. 即dz=fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y.,若, , 表示曲面的法向量的方向角, 并假定法向量的方向是向上的, 即使得它与z轴的正向所成的角 是锐角, 则法向量的方向余弦为:,其中,回顾一元函数微分的几何意义: 设曲线C的方程为y=f(x), 曲线C上的点M处有切线. 则 y是曲线C上关于点N的纵坐标的增量, 而d y是曲线C在点M处的切线对应点P的纵坐标的增量.,例3: 求旋转抛物面 z=x2+y21 在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程.,解: 设f(x, y)= x2+y21. 则法向量为:,切平面方程为:,法线方程为:,即,例4: 求曲面 z ez + 2xy = 3 在点(1, 2, 0)处的切平面及法线方程.,解: 令 F(x, y, z)= z ez + 2xy 3, 则,切平面方程为:,法线方程为:,解: 设(x0, y0, z0)为曲面上的切点, 曲面在该点处的法向量为:,切平面方程为:,依题意, 切平面平行于已知平面x+4y+6z=0, 得,即,例5: 求曲面 x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6z=0 的切平面方程.,即,因为(x0, y0, z0)是曲面上的切点, 故满足方程,因此所求切点为: (1, 2, 2)和(1, 2, 2).,所求切平面方程为:,解: 令,则,x02+2y02+3z02=21, 即 x02+2(2x0)2+3(2x0)2=21,得, x0=1,和,即,和,注意到法线与坐标轴正向的夹角, , 相等, 即,解得,所求点的坐标为:,故椭球面上任一点P(x0, y0, z0)的法线方向向量为:,故,又,曲面的切平面与法线:,求法向量的方向余弦时注意符号.,三、小结,空间曲线的切线与法平面:,当空间曲线方程为一般式时, 求切向量注意采用推导法.,思考题解答,设切点P(x0,