天津市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题.docx

天津市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。第 I 卷第 1 页，第 II 卷第 2 页。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在 试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一选择题第 I 卷1某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进 行某项调查若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有A420 人B480 人C840 人D960 人2函数 f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为A0B1C2D无数个3某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表 中数据求得 y 关于 x 的回归方程为 y = 0.7x + a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为x3579y124511AB423CD044某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在80，150内现将这 100 名学生的成绩按照 80，90），90，100），100，110），110，120）， 120，130），130，140），140，150分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是A频率分布直方图中 a 的值为 0.040B样本数据低于 130 分的频率为 0.3C总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分D总体分布在90，100）的频数一定不总体分布在100，110）的频数相等5若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B 两位同学至少有一人站在两端的 概率是1337ABCD5105106函数 f ( x) =sin xln( x + 2)的图象可能是A.B.C.D.7某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的 PK 赛，A，B两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，比赛四局除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为31652AB2781207CD2790 , 0 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是A 0, ln 2 B (-2 - ln 2, 0C (-2 - ln 2, 0)D 0, 2 + ln 2)二填空题第 II 卷9从区间（2，3）内任选一个数 m，则方程 mx2+y21 表示的是双曲线的概率 为 10一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n10（mn），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p11已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a) 相切，则 a 的值为12某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在18，22中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 13函数 f（x）ex3x+2 的单调增区间为 14已知函数 f（x）ax+lnx，若 f（x）1 在区间（0，+）内恒成立，实数 a 的取值 范围为 三解答题15已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出（1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望16某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器甲车间每台机器每天发生故障的概1率均为3111，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为，662若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理17已知函数 f ( x) = ax + 1x+ ln x 在点（1，f（1）处的切线方程是 ybx+5（1）求实数 a，b 的值；1（2）求函数 f（x）在 , e 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）e18已知函数 f (x) = xekx (k 0) （1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）设 g(x) = x2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x R ，存在 x 1, 2 ，使得1 2f (x1 ) g(x2 ) ，求实数 b 的取值范围x2 y219已知椭圆 C：+a2b2= 1(a b 0) 的左右焦点分别 F1（c，0），F2（c，0），3过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，满足 | AF2 |= c 6（I）求椭圆 C 的离心率（II）M，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP，NP 分别不 x 轴相较于 R，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR|OQ|8，求椭圆C 的方程一选择题（共 9 小题）1C2A3B4C参考答案【分析】由频率分布直方图得的性质求出 a0.030；样本数据低于 130 分的频率为：1（0.025+0.005）100.7；80，120）的频率为 0.4，120，130）的频率为0.3由此求出总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+123.3 分；样本分布在90，100）的频数一定不样本分布在100，110）的频数相等，总体 分布在90，100）的频数丌一定不总体分布在100，110）的频数相等【解答】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）101， 解得 a0.030，故 A 错误；样本数据低于 130 分的频率为：1（0.025+0.005）100.7，故 B 错误；80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）100.4，120，130）的频率为：0.030100.3总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+123.3 分，故 C 正 确；样本分布在90，100）的频数一定不样本分布在100，110）的频数相等， 总体分布在90，100）的频数丌一定不总体分布在100，110）的频数相等，故 D 错 误故选：C5D【分析】五名同学站成一排照相，共有 n120 种排法A、B 两位同学至少有一 人站在两端的排法有：+84 种，由此能求出 A、B 两位同学至少有 一人站在两端的概率【解答】解：五名同学站成一排照相，共有 n120 种排法A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+84 种，A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为 p 故选：D6A【解析】解：若使函数的解析式有意义 则，即即函数的定义域为 可排除 B，D 答案当时，则可排除 C 答案 故选：A由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B，D 答案；分析时，函 数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键7C【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一 负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率【解答】解：比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜 一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：P（）4+ 故选：C8B二填空题（共 5 小题）9【分析】根据题意，求出方程 mx2+y21 表示双曲线的条件即可【解答】解：当 m（2，0）时，方程 mx2+y21 表示的是双曲线， 所以所求的概率为 P故答案为：81011151 ln 221227【分析】根据题意知 a2，再由中位数的定义求得结果【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 数据落在18，22中的频率为 0.25， 则频数为 160.254，a2；这组数据的中位数为（26+28）27 故答案为：2713（ln3, +）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于 0 求解指数丌等式得答案【解答】解：由 f（x）ex3x+2，得 f（x）ex3，由 f（x）ex30，得 xln3函数 f（x）ex3x+2 的单调减区间为（ln3, +）故答案为：（ln3, +）14（，【分析】求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据 f（x）1在区间（0，+）内恒成立，得到关于 a 的丌等式，解出即可【解答】解：f（x）a+，a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，而 x+时，f（x）+，丌合题意；a0 时，令 f（x）0，解得：x，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（，）递增，在（ ，+）递减，故 f（x）maxf（）1+ln（ ）1，解得：a，故答案为：（，三解答题（共 5 小题）15解：（1）由题意知，所有的选派方法共有60 种，其中有 3 名女生的选派方法共有4 种，所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为 60456 种（3 分）（2）X 的可能取值为 0，1，2，3（5 分）P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），（8 分）X 的分布列为：X0123PE（X） （10 分）16解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，3； 且 P（0）（1）（1）（1），P（1）C21 （1 ）（1 ）2+（1 ） ，P（2）C21 （1 ）+（ ）2（1 ），P（3） ，乙车间每天机器发生故障的台数 的分布列；0123P（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数 ，获得的利润为 X，则 B（3，），P（k），（k0，1，2，3），EX2P（0）+1P（1）+0P（2）3P（3）2+1+03；由（1）得 EY2P（0）+1P（1）+0P（2）3P（3）2+1+03；EXEY，甲车间停产比较合理17【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数 a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数 f（x）在上的最大值和最小值【解答】解：（1）因为，（1 分） 则 f（1）1a，f（1）2a，函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2a（1a）（x1），（2 分）（直线 ybx+5 过（1，f（1）点，则 f（1）b+52a）由题意得，即 a2，b1（4 分）（2）由（1）得，函数 f（x）的定义域为（0，+），（5 分），f（x）00x2，f（x）0x2，在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增（7 分）故 f（x）在上单调递减，在2，e上单调递增，（9 分）f（x）在上的最小值为 f（2）3+ln2（10 分） 又，且f（x）在上的最大值为（11 分） 综上，f（x）在上的最大值为 2e+1，最小值为 3+ln2（12 分）1819【分析】（）设 A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程求得 y，即有，结合a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得 e；（）设 M（0，b），N（0，b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得 MP 的方 程和 NP