《向量及其线性运算》PPT课件.ppt

2019年5月13日星期一,1,第六章 向量代数与空间解析几何,数量关系 ,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,2019年5月13日星期一,2,主 要 内 容,第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积 *混合积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,2019年5月13日星期一,3,第一节 向量及其线性运算,第六章,四、利用坐标作向量的线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,2019年5月13日星期一,4,一、向量的概念,表示法:,向量的模 :,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,2019年5月13日星期一,5,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,2019年5月13日星期一,6,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,2019年5月13日星期一,7,2019年5月13日星期一,8,三角不等式,2. 向量的减法,2019年5月13日星期一,9, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,3. 向量与数的乘法,2019年5月13日星期一,10,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证数 的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,定理1,2019年5月13日星期一,11,则,例1 设 M 为,解:,（自学课本例12）,2019年5月13日星期一,12,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,（Rectangular Coordinates system in Space）,2019年5月13日星期一,13,向径,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,在直角坐标系下,2019年5月13日星期一,14,坐标轴 :,坐标面 :,2019年5月13日星期一,15,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,2. 向量的坐标表示,2019年5月13日星期一,16,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,2019年5月13日星期一,17,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,例2（课本例3）,2019年5月13日星期一,18,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,例3 已知两点,（课本例4）,2019年5月13日星期一,19,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,说明: 由,2019年5月13日星期一,20,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,2019年5月13日星期一,21,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,例4 求证以,（自学课本例5）,2019年5月13日星期一,22,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,例5 在 z 轴上求与两点,（自学课本 例6）,2019年5月13日星期一,23,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例6 已知两点,和,解:,求,提示:,（自学课本 例7）,2019年5月13日星期一,24,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,2. 方向角与方向余弦,2019年5月13日星期一,25,方向余弦的性质:,2019年5月13日星期一,26,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,例7 已知两点,（课本 例8）,2019年5月13日星期一,27,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,例8 设点 A 位于第一卦限,（自学课本 例9）,2019年5月13日星期一,28,3. 向量在轴上的投影,空间一点在轴上的投影:,则,设,或记作,过点 作轴 的垂直平面，交点 即为点 在轴 上的投影.,2019年5月13日星期一,29,性质1,（ 即 ）,其中 为向量 与 轴的夹角;,性质2,（即 ）;,性质3,（即 ）.,2019年5月13日星期一,30,例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 , 求OA在OM方向上的投影Prj 。,解 记,有,于是Prj,课后练习,习题6-1 3；7；16；17；20；22,2019年5月13日星期一,31,内容小结,1. 向量的概念及其线性运算,2. 空间直角坐标系,3. 利用坐标变量作向量的线性运算,4. 向量的模、方向角、投影,2019年5月13日星期一,32,思考与练习,解: