2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算学案理201805212110.doc

210导数的概念及运算知识梳理1变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2导数的运算诊断自测1概念思辨(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A22P6例1)若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4xC42x D42(x)2答案C解析y(1y)1f(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4，故选C.(2)(选修A22P18T7)f(x)cosx在处的切线的倾斜角为_答案解析f(x)(cosx)sinx，f1，tan1，所以.3小题热身(1)(2014全国卷)设曲线yaxln (x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3答案D解析ya，当x0时，ya12，a3，故选D.(2)(2017太原模拟)函数f(x)xex的图象在点(1，f(1)处的切线方程是_答案y2exe解析f(x)xex，f(1)e，f(x)exxex，f(1)2e，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.题型1导数的定义及应用 已知函数f(x)1，则 的值为()A B. C. D0用定义法答案A解析由导数定义， f(1)，而f(1)，故选A.已知f(2)2，f(2)3，则 1的值为()A1 B2 C3 D4用定义法答案C解析令x2x，x2x，则原式变为 1f(2)13，故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是x，也可以是2x，解题时要将分子、分母中的增量统一2导数定义 f(x0)等价于 f(x0)3求函数yf(x)在xx0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数y在x1处的导数解记f(x)，则yf(1x)f(1)1， .y|x1.题型2导数的计算求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)yx2sinx；(3)f(x)cos；(4)f(x)e2xsin2x.用公式法解(1)解法一：y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4.解法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)解法一：f(x)sin(2)2sin2sin.解法二：f(x)coscos2xsinsin2xcos2xsin2x，f(x)sin2xcos2x2sin.(4)f(x)2e2xsin2x2e2xcos2x2e2xsin.方法技巧导数计算的原则和方法1原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，见典例(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导，见典例(3)；(6)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导，见典例(4)冲关针对训练1(2017温州月考)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1 C1 De答案B解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.故选B.2求下列函数的导数：(1)ye2xcos3x；(2)yln .解(1)y(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xcos3xe2x(3sin3x)e2x(2cos3x3sin3x)(2)yln (x21)，y.题型3曲线的切线问题角度1求曲线的切线方程(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0，则x0)，则f(x)3(x0)，f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.角度2求切点坐标(多维探究)(2017石家庄模拟)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_利用方程思想方法答案(e，e)解析设P(x0，y0)，则yxln x的导函数yln x1，由题意ln x012，解得x0e，易求y0e.条件探究试求典例中曲线yxln x上与直线yx平行的切线方程解设切点为(x0，y0)，因为yln x1，所以切线的斜率kln x01，由题意知k1，得x0，y0，故所求的切线方程为y，即e2xe2y10.角度3与切线有关的参数问题(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.求a，b的值；用方程思想方法解因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，知即解得a2，be.方法技巧与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略1求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.2已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标见角度2典例3根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解见角度3典例提醒：求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点冲关针对训练1(2017陕西五校联考)已知直线yxm是曲线yx23ln x的一条切线，则m的值为()A0 B2 C1 D3答案B解析因为直线yxm是曲线yx23ln x的切线，所以令y2x1，得x1或x(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线yxm上，所以m2，故选B.2已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程解(1)yx2，ky|x24，曲线在点P(2,4)处的切线方程为4xy40.(2)设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A，则ky|xx0x.切线方程为yxxx.又P(2,4)在切线上，所以42xx，即x3x40.xx4x40，(x01)(x02)20，x01，x02.故所求切线为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则kx1，x01，故切点为，(1,1)，所求切线方程为3x3y20和xy20.题型4导数的几何意义的应用(2017资阳期末)若对x0，)，不等式2axex1恒成立，则实数a的最大值是()A. B. C1 D2数形结合法答案A解析对x0，)，不等式2axex1恒成立，设y2ax，yex1，其中x0；在同一坐标系中画出函数y2ax和yex1的图象如图所示，则yex，令x0，得ke01，曲线yex1过点O(0,0)的切线斜率为k1；根据题意得2a1，解得a，a的最大值为.故选A.已知函数f(x)x3x2，数列xn(xn0)的各项满足：曲线yf(x)在(xn1，f(xn1)处的切线与经过(0,0)和(xn，f(xn)两点的直线平行求证：当nN*时，xxn3x2xn1.导数法证明yf(x)在(xn1，f(xn1)处的切线斜率为f(xn1)3x2xn1，经过(0,0)，(xn，f(xn)的直线斜率为xxn.xxn3x2xn1.方法技巧此类问题注意导数与切线斜率的对应关系kf(x0)，同时应用数形结合思想冲关针对训练1P为曲线yln x上的一动点，Q为直线yx1上的一动点，则|PQ|最小值()A0 B. C. D2答案C解析直线与yln x相切且与yx1平行时，切点P到直线yx1的距离|PQ|最小，(ln x)，令1得x1，故P(1,0)，所以|PQ|min.故选C.2如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x答案A解析由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为yx，在(2,0)处的切线方程为y3x6.以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足，故选A.1(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysinx Byln x Cyex Dyx3答案A解析设函数yf(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1x2，则由题意知只需函数yf(x)满足f(x1)f(x2)1即可yf(x)sinx的导函数为f(x)cosx，则f(0)f()1，故函数ysinx具有T性质；yf(x)ln x的导函数为f(x)，则f(x1)f(x2)0，故函数yln x不具有T性质；yf(x)ex的导函数为f(x)ex，则f(x1)f(x2)ex1x20，故函数yex不具有T性质；yf(x)x3的导函数为f(x)3x2，则f(x1)f(x2)9xx0，故函数yx3不具有T性质故选A.2(2018济南模拟)已知函数f(x)2f(2x)x25x5，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为()Ayx By2x3Cy3x4 Dyx2答案A解析f(x)2f(2x)x25x5，f(x)2f(2x)2x5.令x1，则f(1)2f(1)155，f(1)1.f(1)2f(1)25，f(1)1.切线方程为yx.故选A.3(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln (x1)的切线，则b_.答案1ln 2解析直线ykxb与曲线yln x2，yln (x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln (x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k.即A，B，A、B在直线ykxb上，4(2014江西高考)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(ln 2,2)解析 基础送分 提速狂刷练一、选择题1曲线ylg x在x1处的切线的斜率是()A. Bln 10 Cln e D.答案A解析因为y，所以y|x1，即切线的斜率为.故选A.2(2017潼南县校级模拟)如图，是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在(1,3)上f(x)是减函数C在(4,5)上f(x)是增函数D当x4时，f(x)取极大值答案C解析由于f(x)0函数f(x)单调递增；f(x)0函数f(x)单调递减，观察f(x)的图象可知，当x(2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；当x(1,3)时，函数先增后减，故B错误；当x(4,5)时函数递增，故C正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选C.3(2018上城区模拟)函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是()答案B解析由图可得1f(x)1，切线的斜率k(1,1)且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢结合选项可知选项B符合4(2018昆明调研)若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2答案C解析依题意得f(x)asinx，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin020b，则b0，又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1，选C.5(2018山东烟台期末)若点P是函数yexex3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是()A. B. C. D.答案B解析由导数的几何意义，kyexex3231，当且仅当x0时等号成立即tan1，0，)，又tan0，b0，则0，0，则函数f(x)ax2bx图象的顶点在第三象限，故选C.10若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是()A1 B. C1或 D1或答案C解析易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，则kf(0)2，直线l方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x22xa0满足44a0，解得a1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02，又kx3x02，联立解得x0(x00舍)，即k，则直线l方程为yx.由联立得x2xa0，由4a0，得a，综上，a1或a，故选C.二、填空题11(2017临川区三模)已知函数f(x)sinxcosx，且f(x)2f(x)，则tan2x的值是_答案解析求导得：f(x)cosxsinx，f(x)2f(x)，cosxsinx2(sinxcosx)，即3cosxsinx，tanx3，则tan2x.12设aR，函数f(x)ex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_答案ln 2解析函数f(x)ex的导函数是f(x)ex.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，即ex(exaex)，所以(e2x1)(1a)0，解得a1，所以f(x)ex.令ex，解得ex2或ex(舍去)，所以xln 2.13(2018金版创新)函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)在R上的导函数f(x)，则不等式f(x)的解集为_答案(，1)解析据已知f(x)，可得f(x)0，即函数F(x)f(x)x在R上为单调递增函数，又由f(1)1可得F(1)，故f(x)x，化简得f(x)x，即F(x)F(1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(，1)14(2017河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_答案1,2解析易知函数f(x)exx的导数为f (x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cosx的导数为g(x)a2sinx，设l2与曲线g(x)ax2cosx的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sinx2.由题设可知k1k21，从而有(ex11)(a2sinx2)1，a2sinx2，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y的值域是ya2sinx值域的子集，则(0,1)a2，a2，则1a2.三、解答题15(2017云南大理月考)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x