必修1阶段复习课第三章.ppt

第三章 阶段复习课,【答案速填】f(a)f(b)0 x轴 有零点 实数x 二分法 x轴交点 越来越慢 爆炸式,类型 一 函数的零点与方程的根 1.函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点y=f(x)有零点.,2.确定函数零点个数的方法 (1)解方程f(x)=0得几个解即函数有几个零点. (2)利用图象找y=f(x)的图象与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数. (3)利用f(a)f(b)与0的关系进行判断.,【典例1】定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时， f(x)=2012x+log2012x，则函数f(x)的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.2006,【解析】选C.因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0, 因为 所以 所以，当x0时，f(x)=2 012x+log2 012x, 函数在区间(0, )内存在零点， 又f(x)在(0，+)上为增函数，因此在(0,+)内有且仅有一 个零点. 根据对称性可知函数在(-,0)内有且仅有一个零点，从而函 数在R上零点的个数为3，故选C.,二分法求方程的近似解(或函数的零点)的方法 1.二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，转化为求函数的零点. (2)明确精确度和函数的零点所在区间(最好区间左、右端点相差1). (3)利用二分法求函数的零点. (4)归纳结论.,2.使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小. (2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求. (3)二分法在具体使用时有一定的局限性.首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.,【典例】设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-,+)上是连续不断的. 先求值：f(0)_，f(1)_，f(2)_， f(3)_. 所以f(x)在区间_内存在一个零点x0，填下表，,结论：x0等于多少.(精确度0.1),【解析】f(0)5，f(1)1，f(2)9，f(3)31, 初始区间为(1，2). |1.187 5-1.125|=0.062 50.1,x0=1.125(不唯一).,类型 二 函数模型的建立 建立函数模型要遵循的原则 (1)简化原则. 建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则. 建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.,(3)反映性原则. 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.,【典例2】某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并 且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万 件.由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销 售情况良好，为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过 多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就 月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b,y=ax2+bx+c， y=a +b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产 量？,【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). 设模拟函数为y=ax+b,将B，C两点的坐标代入函数式，有 解得 所以得y=0.1x+1. 此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月 上升1 000件，这是不可能的.,设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有 解得 所以y=-0.05x2+0.35x+0.7. 由此法计算第4个月份产量为1.3万件，比实际产量少700件， 而且，由二次函数性质可知，产量自第4个月份开始将每月下 降(图象开口向下，对称轴x=3.5)，不符合实际.,设y=a +b，将A，B两点的坐标代入，有 解得 所以y=0.48 +0.52. 把x=3和4代入，分别得到y1.35和1.48，与实际产量差距较大.,设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得 解得 所以y=-0.80.5x+1.4, 把x=4代入得y=-0.80.54+1.4=1.35.,比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势.因此，选用 y=-0.80.5x+1.4模拟比较接近客观实际.,类型 三 函数与方程思想 1.函数思想的实质：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想. 2.应用函数思想解题的两个步骤 (1)由题目意思建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题. (2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.,3.方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想.,【典例3】若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝 对值不超过0.25，则f(x)可以是( ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x- ),【解析】选A.由f(x)=4x-1=0得,函数的零点为 由 g(x)=4x+2x-2得,g(0)=-1,g(1)=4，所以其零点在区间(0,1)内. 又g( )=1，故零点在区间(0, )内，继续求得 所以g(x)=4x+2x-2的零点在区间( )内，所以函数f(x)=4x-1 的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25. 同理可得函数f(x)=(x-1)2,f(x)=ex-1,f(x)=ln(x- )的零点分 别为:1,0, 通过验证，这三个函数的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值都超过0.25，故选项B，C，D错误.,类型 四 分类讨论思想 1.需分类讨论的情形:(1)涉及的数学概念是分类定义的. (2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的. (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的.(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果.(5)较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略.,2.分类讨论的步骤：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全体.(2)合理分类，统一标准，不重不漏.(3)逐段逐类讨论，分级进行.(4)归纳总结，得出整个题目的结论.,【典例4】试讨论函数f(x)=x2-2|x|-1-a(aR)的零点个数. 【解析】令f(x)=0,即x2-2|x|-1=a, 令g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a, 则问题转化为求函数g(x)与h(x)交点的个数. 如图:,当a-1时，g(x)的图象与直线h(x)=a有两个交点，方程x2-2|x|-1=a有两个实根，故函数f(x)有两个零点. 当-2a-1时，g(x)的图象与直线h(x)=a有四个交点，方程x2-2|x|-1=a有四个实根，故函数f(x)有四个零点. 当a=-1时，g(x)的图象与直线h(x)=a有三个交点，方程 x2-2|x|-1=a有三个实根，故函数f(x)有三个零点.,综上所述，当a-1时，有2个零点；当-2a-1时，有4个零点；当a=-1时，有3个零点.,【跟踪训练】 1.方程lgx-x=0根的个数为( ) A.无穷多 B.3 C.1 D.0 【解析】选D.方程lgx-x=0根的个数，转化为f(x)=lgx与g(x)=x的交点个数，画图如图: 由图象知，无交点.,2.下列方程在(0，1)内存在实数解的是( ) A.x2+x-3=0 B. +1=0 C. x+lnx=0 D.x2-lgx=0 【解析】选C易知A，B，D选项对应的函数在区间(0，1)内 的函数值恒为负或恒为正，当x是接近0的正数时， x+lnx为负数；当x接近1时， x+lnx为正数.所以选C,3.若方程mx-x-m=0(m0,m1)有两个不同实数根，则m的取值范围是( ) A.m1 B.00 D.m2,【解析】选A.方程mx-x-m=0有两个不同实数根，等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点显然当m1时，如图(1)有两个不同交点.当0m1时，如图(2)有且仅有一个交点故选A.,4.方程x-1=lgx必有一个根的区间是( ) A.(0.1,0.2) B.(0.2,0.3) C.(0.3,0.4) D.(0.4,0.5) 【解析】选A.设f(x)=x-1-lgx，f(0.1)=0.10， f(0.2)=0.2-1-lg0.2=0.2-lg20. f(0.3)=0.3-1-lg0.3=0.3-lg30. f(0.4)=0.4-1-lg0.4=0.4-lg40. f(0.5)=0.5-1-lg0.5=0.5-lg50. 故必有一个根的区间是(0.1,0.2).,5.函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是0，则m的值 为_. 【解析】由f(0)=2m-1=0得m= 答案：,6.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为_. 【解析】当a0时，y=3x+1的图象与x轴只有一个交点；当a0时，由=(3-a)2-4a=0,得a=1或9. 答案：0,1,9,7.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件