数值分析题库.doc

数值分析 题库 一 单项选择题（每小题2分，共10分）1 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）A 0.001523 B 0.15230C 0.01523 D 1.523002 设方阵A可逆，且其n个特征值满足：，则的主特征值是（ ）A B C 或 D 或3 设有迭代公式。若|B| 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛 B 必发散C 可能收敛也可能发散4 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A 解函数 B 近似解函数C 解函数值 D 近似解函数值5 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ）A 追赶法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 高斯塞德尔迭代法二 填空题（每小题4分，共20分）1 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2 设，则 3 设，则相应的显尤拉公式为 4 设,。若要使与在0，1上正交，则= 5 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 三 计算题（每小题10分，共50分）1 求的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2 设,若在-1，0上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。3 设有方程组 ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4 试确定常数A，B，C及，使求积公式为高斯求积公式。5设有向量，试构造初等反射阵H，使。 四 证明题（每小题10分，共20分）1设有迭代公式 ，试证明该公式在邻近是2阶收敛的，并求 。2.设是n 维列向量，Q为n阶正交矩阵，且Q，试证 。模拟二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）。A 0.00217 B 0.02170C 0.21700 D 2.170002 已知是A的特征值，p是给定参数，则B=A-pE的特征值是（ ）。A +p B -pC +2p D -2p3 设有迭代公式，则|B| 1 是该迭代公式收敛的（ ）。A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件4 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代C 平方根法 D 追赶法5 若尤拉公式的局部截断误差是，则该公式是（ ）方法。A 1阶 B 2阶C 3阶 D 无法确定二、 填空题（每小题4分，共20分）a) 设，则 。b) 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为。c) 设，则相应的显尤拉公式为 。d) 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 。e) 设,.若要使与在-1，0上正交，则= 。三计算题（每小题10分，共50分）1 设,若在0，1上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。2求的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？3设有方程组 ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4试确定常数A，B，C及，使求积公式有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。5设有向量，试构造初等反射阵H，使四证明题（共20分）1设有迭代公式 ，试证明该公式。在附近是平方收敛的，并求 。2 设是的一次拉格朗日插值，试证： 模拟三一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。A. B. C. D. 2、 若已知迭代过程是3阶收敛，C是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是（ ）。 A BC D3、 4阶牛顿柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 94、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。 A. LU分解法 B.追赶法 C.高斯消去法 D.平方根法5、 设A的特征值满足，则相应幂法的速比（ ）。A. B. C. D. 二、 填空题（每小题4分，共20分）1、过节点，做近似的二次拉格朗日插值，其表达式是 。2、若 是三次样条函数，则 , , 。3、设，则 。4、设C=PA,其中P是三阶平面旋转阵， ，若使=0，则。5、设，则相应的隐尤拉公式为 。三、 计算题（每小题10分，共50分）。1、 利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组 的近似解。2、 设，。若线性方程组仅有右端有扰动 。试估计由此引起的解的相对误差。3、 确定求积公式，并指明其代数精度。4、 设有方程组，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。5、 设有方程 。试确定迭代函数，使迭代公式在=3附近收敛，并指出其收敛阶。四、 证明题（每小题10分，共20分）1、 设是n阶正交矩阵，A是n阶方阵。试证明 。（提示： ）2、设有差分公式 。试证明该公式是二阶公式。模拟四一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（ ）。 A. 7.0004 B.-7.000 C. 7 D.-7.00032、 若行列式=0，其中是n阶单位阵，A是n阶方阵，则A的范数满足（ ）。A. B. C. D. 3、 条件数=（ ）。A. B. C. D.4、 设A是n阶方阵，则A可作唯一LU分解的充分必要条件是（ ）。A. B .A为正交阵C.A为对称正定阵 D.A为对角占优阵5、 判定某数值求积公式具有m次代数精度，只需该公式满足条件（ ）。A . 公式对准确成立，而对不准确成立B. 公式对任意次数不超过m次的多项式准确成立C. 公式对任意次数为m+1次的多项式不准确成立D. 公式对任意次数不超过m的多项式准确成立，而对不准确成立二、填空题（每小题4分，共20分）1、 设是方程的单根，是对应的牛顿迭代函数。若邻近二阶连续，则 。2、 设，则二阶均差 。3、 设R是含的邻域。要使迭代公式在R内局部收敛，应满足条件 。4、 设。若存在平面旋转阵P，使P，则P=。5、 设有数值求积公式 。若该公式为高斯公式，则 。 三、计算题（每小题10分，共50分）。1、 设，。试求在-1，1上的二次最佳均方逼近多项式。2、 设曲线和相切。试构造求切点横坐标的近似值的收敛迭代公式。3、 设，试求其分解。4、 已知迭代公式 。设是B的任意特征值，试确定使迭代公式收敛的的取值范围。5、 设 ，若用复化梯形求积公式求的近似值，要求准确到小数点后第4位，问步长h应如何取值？四、证明题（每小题10分，共20分）1、 设矩阵。证明雅可比迭代法应用于解方程组只对是收敛的。2、证明：当|B|1时，E+B是可逆矩阵，且 。其中是指矩阵的算子范数。模拟五一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、阶方阵可作分解的一个充分条件是为 （ ）。A.对角占优阵 B.正交阵C.非奇异阵 D.对称正定阵、设n阶方阵及单位阵满足，则谱半径（ ）。A. 3 D.3、若迭代公式是p阶收敛，则（ ）。A. B. p!C. D. 4、设和是相同的插值条件下关于的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（ ）。（其中）A. B. C. D. 、称函数为a,b上的三次样条函数，是指满足条件（ ）。A. 为分段三次多项式且有二阶连续导数B. 为分段三次多项式且有三阶连续导数C. 为分段函数且有任意阶导数D. 为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）、若已知的相对误差为，则的相对误差为 。、设，则过节点，的二次牛顿插值多项式为 。、设有求积公式是插值型求积公式，则 ， 。、设，若其在，上与带权正交，则与的关系为 。、设求解的牛顿迭代公式平方收敛，是相应迭代序列值，则 。三、 计算题（每小题10分，共50分）、已知数据表如下-1013-11331428 试求及的近似值。、确定参数，使积分取得最小值。、设试确定用牛顿法求解时的收敛性及收敛阶数。、已知迭代公式，设为的任意特征值，设确定使迭代公式收敛的的取值范围。、设，求其分解。四、证明题（每小题10分，共20分）、 设有n个不同的实根，证明、 设是对称矩阵，是的一个特征值及其相应的特征向量。又设是一个正交阵，使证明：的第一行和第一列除了外，其余元素均为零。模拟六一、 单项选择题（每小题2分，共10分）6 若某个迭代公式是三阶收敛的，c是非零常数，则当时，有（ ）A B C D 7 已知是A的特征值，p是给定参数，则B=A-pE的特征值是（ ）A +p B -pC +2p D -2p8 龙贝格算法是求（ ）的算法。A 微分方法 B 插值函数C 数值积分 D 线性方程组9 若，则谱半径（ ）A B C D 10 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ）A 高斯塞德尔迭代法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 追赶法二、 填空题（每小题4分，共20分）1、 若某近似数具有6位有效数字，已知第一个非零数字在个位上，则其绝对误差限为 。2、 求在0，1上的一次最佳均方逼近多项式时所用的法方程为 。3、 设，则相应的显尤拉公式为 。4、 矩阵的条件数是用来判断线性方程组是否为 。5、 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P= 。三、 计算题（每小题10分，共50分）1、 为了使计算圆面积时的相对误差小于1%，问R的允许相对误差界应是多少？ 2、 用顺序消去法解线性方程组3、 试确定常数A，B，C及，使求积公式有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。4、 设有向量，试构造初等反射阵H，使5、 用尤拉方法求解初值问题步长取0.2,迭代2次。四、 证明题（共20分）1设迭代函数 在区间a,b上对任意 总有，且，试证明在a,b内有且仅有一个解。2设 (k= 0, 1, 2, ,n)是n次拉格朗日插值基函数，试证： 。（j = 0, 1, 2, , n）模拟七一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）A 0.001523 B 0.15230C 0.01523 D 1.523002、 已知A的某一特征值是，p是给定参数，则B=A-pE对应的特征值是（ ）A +p B -pC +2p D -2p3、 若某个迭代公式是三阶收敛的，c是非零常数，则当时，有（ ）A B C D 4、 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代C 平方根法 D 追赶法 5、 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ）A 追赶法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 高斯塞德尔迭代法五、 填空题（每小题4，共20）1、 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2、 设，则 3、 矩阵的条件数是用来判断线性方程组是否为 4、 设,.若要使f(x)与g(x)在-1，0上正交，则= 5、 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 六、 计算题（每小题10分，共50分）1、 近似数具有三位有效数字，试估计的相对误差。对于，试估计的相对误差。2、 取初始向量,用雅可比迭代法求解线性方程组3、 已知的三个点，写出拉格朗日插值基函数，并求的二次插值多项式。4、 试确定常数A，B，C及D，使求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精度。5设有向量，试构造初等反射阵H，使七、 证明题（共20）1设是 的一个单根，在邻近存在且连续。试证明牛顿法在 邻近具有局部收敛性并且至少是平方收敛的。2证明解 的差分方程是二阶方法（假设）。模拟八一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为，则该数是（ ）A 0.001223 B 0.12230C 0.01223 D 1.223002、 设有迭代公式。若|B| 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛 B 必发散C 可能收敛也可能发散3、 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A 解函数 B 近似解函数C 解函数值 D 近似解函数值4、 专用来求解三对角形线性方程组的方法是（ ）A 追赶法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 平方根法5、 若，则谱半径（ ）A B C D 八、 填空题（每小题4，共20）1、 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2、 设，则 3、 设常微分方程初值问题，则相应的显尤拉公式为： 4设, .若要使与在0，1上正交，则= 5设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 九、 计算题（每小题10分，共50分）1、 近似数具有三位有效数字，试估计的相对误差。对于，试估计的绝对误差。2、 讨论牛顿法对的收敛性和收敛速度。3、 设,若在0，1上构造其二次勒让德多项式, 请写出相应的法方程。4、 已知下面公式为高斯求积公式： 试求出A，B，及。5设有向量，试构造初等反射阵H，使十、 证明题（共20）1证明线性方程组的迭代解收敛。2证明n次拉格朗日插值可表示成，其中 模拟九一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）A 0.001583 B 0.15830C 0.01583 D 1.583002、 若，则谱半径（ ）A B C D 3、 六阶牛顿-柯特斯公式至少具有（ ）次代数精度。A 7 B 6C 12 D 134、 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A解函数 B近似解函数C解函数值 D近似解函数值5、 若尤拉公式的局部截断误差是，则该公式是（ ）方法A 1阶 B 2阶C 3阶 D无法确定十一、 填空题（每小题4，共20）1、 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2、 设，则 3、 设，则相应的显尤拉公式为 4、 设,.若要使与在-1，0上正交，则a = 5、 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 十二、 计算题（每小题10分，共50分）1、 为了使计算球体积时的相对误差小于1%，问R的允许相对误差界应是多少？2、 讨论牛顿法对的收敛性和收敛速度。3、 设,在0，1上求其三次最佳均方逼近多项式。4、 用改进的尤拉方法求解初值问题步长取0.2,迭代2次。5设有向量，试构造初等反射阵H，使十三、 证明题（共20）1证明求解线性方程组的雅可比迭代对任意初值均收敛。2写出辛卜生公式，并验证其具有三次代数精度。模拟十一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）A 0.001111 B 0.11110C 0.01111 D 1.111002、 设方阵A可逆，且其n个特征值满足：，则的主特征值是（ ）A 或 B C 或 D 3、 设有迭代公式。若|B| 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛 B 必发散C 可能收敛也可能发散4、 六阶牛顿-柯特斯公式至少具有（ ）次代数精度。A 7 B 6C 12 D 135、 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代C 平方根法 D 追赶法十四、 填空题（每小题4，共20）1、 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2、 若求积公式具有 ，则称是高斯点。3、 设，则相应的显尤拉公式为 4、 若是上的分段三次多项式，且 ，则称是上的三次样条函数。5、 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 十五、 计算题（每小题10分，共50分）1、 求的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2、 应用牛顿法于方程,导出求（a0）的迭代公式，并求当k趋于无穷时的极限。3、 设 时，。求的二次插值多项式。4、 试确定常数A，B，C及，使求积公式有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。5设有向量，试构造初等反射阵H，使十六、 证明题（共20）1、设向量，试证：是一个初等反对称阵。2、设，验证 满足向量范数的定义。模拟十一一、单项选择题（每小题2分，共10分）。1、当满足（ ）条件时，依据线性方程组系数矩阵的结构，则雅可比迭代解和高斯-塞德尔迭代解一定收敛。A 大于6 B 等于6 C 小于6 D任意实数2、矩阵范数与谱半径所满足的关系是：（ ）。A BC D3、求解线性方程组的追赶法是用来求解下列哪种类型的方程组（ ）A系数矩阵为对称阵 B系数矩阵为正交阵C系数矩阵为三角阵 D系数矩阵为三对角阵4、线性多步法公式，当下列哪个式子成立时，该公式为隐公式（ ）A B C D5、求解初值问题的梯形公式：是( )阶方法。A 1 B 2 C 3 D 二、填空题（每小题4分，共20分）。1、作为圆周率的近似值有 位有效数字。2、设矩阵，则的谱半径 。3、设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，则 。4、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为 。5、设矩阵，则矩阵的行范数是 。 三、计算题（每小题10分，共50分）。1、 设0，0，确定迭代公式在的邻近的收敛阶数。2、 设，在0，1上构造其二次最佳均方逼近多项式的法方程（权为1）。3、 设线性方程组的系数矩阵为，试求能使雅可比方法收敛的的取值范围 。4、 取,写出下述常微分方程初值问题 的二阶龙格库塔公式,并求的近似值。5、 利用龙贝格求积公式计算积分的近似值，要求误差小于。四、证明题（每小题10分，共20分）。1、 设(k= 0, 1, 2, ,n)是n次拉格朗日插值基函数，试证： （j = 0, 1, 2, , n）。2、设有数值积分公式，若其至少有次代数精度，试证该公式是插值型求积公式。模拟十二一、单项选择题（每小题2分，共10分）。1、设非奇异矩阵（可逆阵），若用反幂法求得的按模最小特征值为，则用幂法求得的的按模最大的特征值为（ ）。（其中为矩阵的按模最大的特征值）A B C D2、设是方程的根，若，则选择下列哪个函数作为新的迭代函数，可保证新公式收敛？（ ）A B C（反函数） D3、若某个数值积分公式对次多项式准确成立，则可判定该积分公式的代数精度为（ ）。A次 B次 C次 D次4、设，则均差（ ）。A B0 C1 D65、若数的近似值的绝对误差限为，则具有几位有效数字?（ ）A5位 B6位 C7位 D8位二、填空题（每小题4分，共20分）。1、设矩阵，则矩阵的2-范数是 。2、要使函数，对任意的常数，都与在0，1正交，则= ，= 。3、二阶牛顿-柯特斯求积公式 具有 次代数精度。4、常微分方程求解中，改进尤拉公式的增量函数是 。5、已知，则 。三、计算题（每小题10分，共50分）。1、设函数。写出解的牛顿迭代公式并确定其收敛阶数。2、求函数在-1，1上的二次勒让德展开式的法方程。3、用复化梯形公式计算积分的近似值时，要求精确到小数点后第4位，问应取多少个节点？4、设有求积公式成立，验证该公式是否为高斯公式。5、设， 。考察迭代格式的收敛性。四、证明题（每小题10分，共20分）。1、设是以个互异点为节点的拉格朗日插值基函数 试证明： 2、证明求解常微分方程数值方法中改进尤拉方法是收敛的。模拟十三一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、线性方程组,对于任意初始向量及任意向量，那么谱半径是迭代格式收敛的（ ）条件。A充分 B必要 C充分且必要 D都不是2、用选主元的方法解线性方程组，是为了（ ）。A 提高计算速度 B 减少舍入误差 C 减少相对误差 D 方便计算3、 是按“四舍五入”原则得到的近似数，则它有（ ）位有效数字。A 2 B 3 C 4 D 54、求解初值问题时，改进尤拉方法的局部截断误差是（ ）。A B C D5、用二分法求方程在区间内的根，已知误差限，确定二分的次数是使（ ）成立。 A B C D二、填空题（每小题4分，共20分）1、方程的牛顿迭代公式是 。2、如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n 。3、设方程组有唯一解。如果扰动，则解的相对误差有估计式 。4、求积公式的代数精度为 。5、解常微分方程的迭代公式的增量函数是 。三、计算题（每小题10分，共50分）1、 用雅可比迭代法求解方程组是否收敛？为什么？2、 求三次多项式，使其在与处与相切。3、 求在-1，1上表示为用勒让德多项式作线性组合的二次最佳均方逼近函数（即二次勒让德展开式）。4、 构造连续可导函数在-1，1区间上的两点高斯-勒让德求积公式。5、 利用雅可比方法求矩阵的特征值。（要求只做出第一次消主元过程）四、证明题（每小题10分，共20分）1、 设，证明是求的三阶迭代方法。2、机械求积公式至少具有n次代数精度的充分条件是该公式是插值型求积公式。模拟十四一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、对于迭代过程，如果迭代函数在所求的根的附近有连续的二阶导数，且，则迭代过程（ ）。A 发散 B 一阶收敛 C 二阶收敛 D三阶收敛2、插值型求积公式能达到的最高代数精度是（ ）次。An-1 B 2n C2n-1 D 2n+13、牛顿插值多项式的余项的表述形式是（ ） 。 A Bfx,x0,x1,x2,xn(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)C Dfx0,x1,x2,xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)4、设某数,对其进行四舍五入的近似值是（ ）,则它有3位有效数字，绝对误差限是。A 0.315 B 0.03150 C 0.0315 D 0.003155、n次勒让德多项式在-1，1内有（ ）不同的实零点。A2n B.n C.n-1 D.n+1二、填空题（每小题4分，共20分）1、给定一组实验数据，求拟合的直线方程y=a0+a1x的系数a0,a1是使 最小。2、设，则差商（均差）= 。3、设，的近似值的相对误差是，则的相对误差限是 。4、矩阵的行范数为 。5、求方程在1.3,1.6内的根时，迭代法和 （前者或后者）收敛较快。三、计算题（每小题10分，共50分）1、 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。（要求迭代进行三次）2、 要使取4位有效数字，求它的绝对误差和相对误差。3、 应用牛顿法于方程，导出求 （a0）的迭代公式，并求的值。4、 设矩阵，求出雅可比方法应用于方程组收敛时参数a的取值范围。5、 设，在-1，1上求其三次勒让德展开式的法方程。四、证明题（每小题10分，共20分）1、 证明二分法得到的序列线性收敛。2、 证明恒等式 提示：利用拉格朗日插值及其余项证明，或者差商的函数值表达形式及差商与导数间的关系论证。模拟十五一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 高斯求积公式的代数精度是（ ）。A 3次 B 4次C 5次 D 6次、若某常微分方程数值计算公式的局部截断误差是，则该公式是（ ）方法A 1阶 B 2阶C 3阶 D 无法确定3、设，则n阶均差的值是( )。A B1 C D04、命题”梯形求积公式和辛卜生求积公式都是插值型求积公式”( )。A 对 B错 C不能确定5、下面哪一种方法不是求矩阵特征值或特征向量的数值方法。( )A 幂法 B反幂法 C 原点平移法 D牛顿法迭代法二、填空题（每小题4分，共20分）1、已知函数, 过点(2,5),(5,9),那么的拉格朗日插值多项式的基函数为 。2、改进尤拉预测校正公式是 3、为了避免两相近数相减， （）,应变形为 。4、求方程在区间1.0,1.5内的根，要求准确到小数点后两位，需二分 次可达到精度要求。5、如果是一个n次多项式，则 。（kn）三、计算题（每小题10分，共50分）1、已知数据如下表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.52、应用牛顿法解方程，导出求立方根的近似公式。3、已知数值求积公式为 试确定其求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。4、用下面的例子说明 收敛性判定条件若线性代数方程组的系数方阵满足下列条件： 按行（或按列）为严格对角占优；则雅可比迭代法和赛德尔迭代法都是收敛的。是雅可比迭代法收敛的一个充分条件而不是必要条件。5、设有方程组系数矩阵，常数项,若右端有扰动 时，估计解的相对误差。四、证明题（每小题10分，共20分）1、设 的次数不超过n的多项式，过插值点做的n次插值多项式。试证、证明：高斯求积公式中的求积系数可表示为（其中，是n次拉格朗日插值基函数。）模拟十六一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、 由下表 00.511.522.5-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ ）。A二次 B 三次 C 四次 D五次2、 已知函数，设对一切，存在且，当取值（ ）时，迭代过程收敛于的根。A或 B C D 3、 若线性代数方程组的系数矩阵为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代（ ）。A都收敛 B都发散 C前者收敛，后者发散 D前者发散，后者收敛、求解常微分方程初值问题的数值公式： 是（ ）。A单步二阶 B多步二阶 C单步一阶 D多步一阶、 使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积节点应分别为 （ ）。A 任意 B ， C D二、判断题（每小题4分，共20分）1、 若是非奇异阶阵，则必存在单位下三角阵和单位上三角阵，使得分解成立。（ ）2、 区间上的三次样条插值函数，在具有直到三阶的连续导数。（ ）3、 若是n阶非奇异阵，则的条件数。（ ）4、 形如的高斯（Gauss）求积公式具有最高代数精度次。（ ）5、 若，则其六阶均差。（ ）三、计算题（每小题10分，共50分）、若，说明对任意实数，方程组中矩阵的条件数。（用形式表示）。、在区间，上给定函数，求其在上关于权函数的最佳平方逼近多项式。、写出解线性代数方程组的高斯塞德尔迭代法迭代格式，并判断其收敛性。、推导常微分方程的初值问题 （）的数值解公式：并证明它是四阶方法。、用“追赶法”求线性方程组四、证明题（每小题10分，共20分）、 若，证明用梯形公式计算积分所得到的数值计算公式结果比准确值大。、假设对函数在步长为的等距点上造表，且，证明：在表中任意相邻两点做线性插值，误差不超过。模拟十七一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1、=0.69314718，精确到103的近似值是（ ）。A 0.693 B 0.6931 C 0.69 D 0.7002、用二分法求解非线性方程的正根，在初始区间是0，2的情况下，若要求误差小于0.05，那么需要二分（ ）次即可满足要求。A B C D、线性多步法的形式是下列（ ）成立时，该公式是显公式。A B C D、已知n=3时，科特斯系数，那么（ ）。 、插值型求积公式需要达到（ ）次代数精度才是高斯公式。 二、 填空题（每小题4分，共20分）1、设，则 。2、在使用松弛法（SOR）解线性代数方程组时，若松弛因子满足，则迭代法一定 (收敛或发散) 。3、解常微分方程初值问题的显尤拉方法的局部截断误差为 。4、是n阶方阵，那么矩阵的行范数的表达式是 ，列范数表达式是 。、已知，那么的二次插值多项式是 。三、计算题（每小题10分，共50分）1、已知函数的观察数据为20455131试构造的拉格朗日多项式，并计算。2、设，节点互异，求差商（均差）之值，这里3、数值积分公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？4、设线性方程组为（1） 求系数矩阵的条件数；（2） 若右段向量有扰动，试估计解的相对误差。、讨论线性方程组的高斯赛德尔迭代法的收敛性。四、证明题（每小题10分，共20分）1、 证明 初等下三角阵的逆矩阵为、设，证明：是（次数不超过n的全体多项式构成集合）中的一组基函数，并且中的