线性算子与线性泛函.doc

第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设等是上的向量空间。定义： 若一个映射满足，则称为从到的线性算子。容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：。命题2.1.1 设是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间与子空间，与分别为与的子空间。特别，与（值域）是的子空间；是的子空间（称为的核或零空间）。 （2）若向量组线性相关，则亦线性相关；若是的子空间且，则。（3）是单射。说明：若，则称为零算子，就记为0；若为常数，则称为纯量算子（或相似变换，若），记作，当与1时，分别是零算子和单位算子。对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若是线性算子，则是一个线性算子，它定义为若是另一个算子，则由定义出一个线性算子，称它为与的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：只要以上等式的一端有意义。若线性算子为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射亦为线性算子。是线性同构的充要条件是，存在线性算子，使得二、有界线性算子定义2.1.2 设是一个线性算子。令若，则称为从到的有界线性算子，且称为的算子范数，简称为范数。若，则称为无界算子。约定以记从到的有界线性算子之全体，简写为。注1：的有界的等价刻画：（1），有或（2）映中的有界集为中的有界集。注2：若，则对任给的有注3：范数定义的几种等价形式（1）（2）（3）例2.1.3 设，给定。定义是从到自身的线性算子。求。命题2.1.4 设是一个线性算子，则有界连续。推论：（1）是拓扑同构与皆连续（即为同胚）；（2）若，收敛，则有。例2.1.5：设，在与中均采用sup范数。显然是一线性算子。令，则，而，可见是无界算子。三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6：依算子范数是一个赋范空间；当空间完备时，是Banach空间。定理2.1.7（扩张定理）：设是的稠密子空间，完备，则可保持范数惟一地扩张到上。若线性算子是单射（即），则是一确定的线性算子，当它有界时称为的有界逆，并说有有界逆。命题2.1.8线性算子有有界逆的充要条件是存在，使得。第二节 常用有界线性算子一、矩阵设是有限维赋范空间，。分别取的基与的基。设则完全由矩阵所确定。若分别对应矩阵，则算子恰好对应矩阵。这样，线性算子空间线性同构于矩阵空间，因而对的研究可代之以对的研究。任给，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：其中当作阶矩阵。不妨用同一字母表示算子（2.2.1），它也可表成：若在中使用范数则可看作的子空间，只需将等同于中的元。通常称范数（2.2.2）为范数，采用范数的也记作。相应地，算子（定义见（2.2.1）的范数记作，即也称为的范数。命题2.2.1 设，则。是的特征值的全体。以记一个无穷矩阵，其中。仿照，形式地定义一个算子：仍将式（2.2.7）所定义的算子记作。命题2.2.2 设算子定义如式（2.2.7），依式（2.2.3）（但假定其中）。（1）若，则且。（2）若，则且。（3）若，则且。二、积分算子设，函数为定义在上的Lebesgue可测函数。定义积分算子要求上述积分对几乎所有存在，函数称为积分算子的核或核函数。命题2.2.3 设是上的Lebesgue可测函数，算子依式（2.2.8）定义，约定（范数又称为本性上确界）。1、若则且。2、若则且。3、若则且。例子 考虑积分算子：取可将（2.2.9）写成（2.2.8）的标准形式。由命题2.2.3得：。命题2.2.4 设在上连续，积分算子定义如式（2.2.8），则，且下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。（一）给定函数，以为核。此时，积分算子为通常将式（2.2.11）右端的积分记作，并称它为函数与的卷积。算子显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于的选择。命题2.2.5 设。（1）若，则，且。（2）若，则，且，此处，采用sup范数。（3）若，则，且。 定理的证明需要如下引理：引理2.2.6 设，则当时有。（二）以为核。此时就是的Fourier变换。 命题 ，且。这里依sup范数为一Banach空间。三、微分算子定义1.3.7 设（1）若，则称在中稠密；若，则称为的稠子集；的稠子集就称为稠集。（2）若含可数的稠子集，就称为可分集；若本身可分，则称为可分空间。（3）若，即为稠集，则称为的基本集。（4）若是一序列，每个可惟一地表为，则称为的Schauder基。注：（1）若是中的稠集，则每个可表为中某序列的极限；（2）若是的基本集，则每个可用中元的线性组合逼近；（3）稠集与Schauder基都是基本集；（4）可分有可数的基本集，因而有Schauder基的空间必定可分。例1.3.8 （1）空间的基本集。令，1在第项，则是空间的Schauder基，因而是的基本集且是可分的。（2）空间的基本集，。由Weierstrass定理，每个可用上的多项式一致逼近，故上的多项式全体是中的稠集。其次，以记幂函数的全体，则显然，故是的基本集，因而是可分的。（3）空间的基本集。注意到（）每个可用连续函数逼近；（）一致逼近强于逼近。因此空间的基本集也是的基本集，因而是可分的。此外，每个可用阶梯函数一致逼近，而阶梯函数为形如(是的子区间)的函数的线性组合，故是的子区间亦为的基本集。进而是的基本集。（4）空间的基本集。对任何，令，则，即。而对每个视作的元可用上的阶梯函数逼近。结合（3），有基本集是有限区间。（5）空间为任意开集的基本集。任给实或复值函数，约定，称它为的支集。令是的有界子集，可以证明：在中稠密，因而是的基本集。例1.3.9 （1）设，则有。（2）设，的Fourier变换定义为，则有。第三节 对偶空间和对偶算子一、有界线性泛函定义 给定上的赋范空间，约定，称其为的对偶空间（由前面的结果，为Banach空间）。称每个为上的有界线性泛函。注：（1）因有界线性泛函是有界线性算子的特殊情况，故关于一般有界线性算子的概念与结论，均适应于有界线性泛函。（2）对，有。（3）（4）对上的线性泛函，有界连续。定义 对与，称为中由决定的超平面，也记为。注：过原点的超平面是的闭子空间。命题2.3.1 设是一子空间。则以下两条件等价：（1）有，使得；除一个常数因子的差别外，由惟一决定。（2）存在拓扑直和分解，此处是中的由生成的1维子空间。推论 若，则。二、表示定理表示问题的一般思路是：对于给定的赋范空间，确定一个Banach空间，它通常是已被充分研究因而相当熟悉的空间，使得存在等距同构因而由式（2.3.4）得出结论：有通式，其中由惟一决定，且。若将与视为等同，则不妨认定。这样，通过同构对应式（2.3.4），本来很抽象的空间就获得了一种具体的表示，就是的一个表示，或称为一个实现。定理2.3.2 设，则；有通式其中由惟一决定，且。定理2.3.3 设，则，其中在上有界变差、右连续且；是中的紧集（即保持的紧性），因而有界；在上一致连续，即当时，有；（2）在上取得最大值和最小值。注：若使得，则称是最小化问题的最优点或最优解。定理1.4.4之（2）表明：若为紧集且，则问题（1.4.1）的最优解存在。推论1.4.5（最佳逼近） 设是的有限维子空间，。则存在，使得。即是中离最近的点，因而称为在中的最佳逼近。特别：取为次数小于等于的多项式全体，（或，即得对任给的，存在次数小于等于的多项式，它是对的最佳一致（或）逼近。三、紧集的判定定理1.4.6（Arzela-Ascoli定理） 相对紧的充要条件是：（1）一致有界，即依范数有界；（2）等度连续，即，当时恒有。（3）若将换为任何有界闭区域，（1）、（2）仍成立。例 若依范数（定义见式（1.2.6）有界，则作为的子集是相对紧的。定理1.4.7 设，则相对紧的充要条件是：（1）有界，即；（2）关于一致地有，即，有。例 是空间中的集（称为Hilbert方体）。定理1.4.8 若，则中的闭单位球不是紧集。本定理的证明需用到著名的Riesz引理。引理1.4.9（Riesz引理） 设是的闭子空间，。则存在，使得且。推论：（1）无限维赋范空间中的单位球面不是紧集。（2）平移与相似变换不改变集合的紧性。（3）无限维赋范空间中的闭球是非紧的。进而有（4）无限维赋范空间中任何含内点的集是非紧的，因而紧集必无内点。例 设，。显然，且在上，但在上取不到最小值。四、纲定理定义1.4.10 设。若，则称为疏集。可数个疏集之并称为第一纲集；非第一纲集称为第二纲集；第一纲集的补集称为剩余集。例 （1）无内点的闭集是疏集；（2）单点集是疏集；（3）可数集是第一纲集。定理1.4.11（Baire纲定理） 设完备，是第一纲集，则是第二纲集且为稠集。推论（1）设为一线性赋范空间，为疏集当且仅当，使得。（2）Banach空间是第二纲集。例1.4.12 上几乎所有连续函数处处不可微。第五节 Hilbert空间一、内积空间定义1.5.1 设是上的向量空间。若对任一对元，指定了一个数，称为与的内积，它满足以下内积公理：（1）的线性性：；（2）共轭对称性：；（3）正定性：，（这里），则称为上的内积空间。当（或）时，上的内积空间又称为实（或复）内积空间。例 依下式所定义的内积构成一内积空间。推论 （1）；更一般地，有（2）；引理1.5.2（Schwarz不等式） 对任给的，成立。推论 对任给的，有。故为上的范数（称其为由内积定义的范数）。定义 完备的内积空间称为Hilbert空间。推论 内积依范数收敛是连续的，即若在中，则。例 是Hilbert空间。这里是任一测度空间，中的内积定义为。例 是Hilbert空间。中的内积定义为。定理1.5.3 上的赋范空间是内积空间的充要条件是，其中的范数满足如下的中线公式（又称为极化恒等式）：。二、正交系定义1.5.4 （1）设。若，则说与正交或直交，记为。（2）设。若当时，则称为正交系。若是正交系且（这等价于，是Konecker记号），则称为标准正交系。（3）设。约定，有；，有；，称为的正交补。当时，称与相互正交。性质：若是一有限正交系，则有。一般地，若，类似地有。性质：不含零元的正交系必线性无关。性质：设是中的标准正交系。若可表为，则有，即表达式中的系数惟一确定。定义：若每个均可表为，则称为的标准正交基。定理1.5.5 设是Hilbert空间中的标准正交系，则以下条件相互等价：（1）是的标准正交基；（2）是的基本集；（3）是极大正交系，即若，则；（4）对任给的，成立如下的Parseval等式：；（5）对任给的，成立如下内积公式：。推论：任何Hilbert空间均与等距同构。推论（标准正交基的存在问题）：设是一个可分的无限维Hilbert空间，则其一定存在标准正交基。三、标准正交基的例子1、三角函数系定义：形如的函数称为三角多项式。定理：令，则三角多项式全体在中稠密。定理：设则的Foueier系数是，而其余的Foueier系数为零。并且对成立Parseval等式。推论：函数系是的基本集，并且也是标准正交基，因而每个可展开为均方收敛的Fourier级数：其中是通常的Foueier系数。问题：的Fourier级数的部分和均方收敛于是否意味着级数几乎处处收敛，即：是否几乎处处等于？（1）、早在1913年，鲁津就猜测上式成立，这个猜测一直是三角级数理论的一个重要课题。（2）、1923年柯尔莫哥洛夫（）给出了一个，它的Fourier级数是处处发散的。（3）、1966年，L.Carleson证明鲁津的猜测是正确的。（4）、1967年，R.A.Hunt证明；对于中的函数，其Fourier级数是几乎处处收敛的。2、Legendre多项式系取，我们已经得到：是中的基本集，将其标准正交化，得到一个多项式系，称为Legendre多项式系。定理：（1）Legendre多项式的一般表达式为（2）是的标准正交基。3、Hermite多项式系称为Hermite多项式。定理：若将中的内积定义为，则多项式系为其标准正交基。4、Laguerre多项式系称为Laguerre多项式。定理：若将中的内积定义为，则多项式系为其标准正交基。5、Haar函数系以记区间的特征函数，令。定理：若补充，则是空间中的标准正交基。四、最佳逼近最佳逼近问题可描述为：对于给定的集与点，求一点，使得；即是最小化问题的最优解。定理1.5.