2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式讲义（含解析）.docx

3三个正数的算术几何平均不等式1定理3如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当abc. (2)定理3可变形为：abc3；a3b3c33abc.(3)三个及三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”2定理3的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立用平均不等式证明不等式例1设a，b，cR，求证：(abc)227.思路点拨本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题证明a，b，cR，abc30，从而(abc)290，又30，(abc)23927.当且仅当abc时，等号成立证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明(2)三个正数的算术几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明1设a，b，cR，求证(abc)9.证明：当a，b，cR时，abc3，3.(abc)9，当且仅当abc时，等号成立2已知a1，a2，an都是正数，且a1a2an1，求证：(2a1)(2a2)(2an)3n.证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2a111a13.同理2aj3 (j2,3，n)将上述各不等式的两边分别相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(3)(3)(3)3n.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.当且仅当a1a2an1时，等号成立.用平均不等式求最值例2(1)求函数y(x1)2(32x)的最大值(2)求函数yx(x1)的最小值思路点拨(1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值解(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，当且仅当x1x132x，即x时等号成立，即ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，当且仅当(x1)(x1)，即x3时等号成立即ymin4.(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等3设x0，则f(x)4x的最大值为()A4B4C不存在 D.解析：选Dx0，f(x)4x4434，当且仅当，即x1时等号成立，故f(x)的最大值为.4已知abc，求ac的最小值解：由abc，得ab0，bc0，则ac(ab)(bc)3 3，当且仅当abbc时等号成立，所以当abbc时，ac取得最小值3.用平均不等式解应用题例3如图所示，在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？思路点拨解r，Ek.E2sin2cos4(2sin2)cos2cos23.当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan .h2tan ，即h时，E最大本题获解的关键是在获得了Ek后，对E的表达式进行变形求得E的最大值解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解5已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，r(Hh)V圆柱r2h(Hh)2h(0h0，则yx的最小值为()A2B2C3 D3解析：选Dyx33，当且仅当，即x2时取“”号2设x，y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：选Blg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz3，lg(xyz)lg 83lg 2，当且仅当xyz2时，等号成立3若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选Cxyx2xyxyx23 3 3，当且仅当xyx2，x2y2，即x1，y2时取“”号故xyx2的最小值为3.4已知a，b，cR，x，y，z ，则x，y，z的大小关系是()Axyz ByxzCyzx Dzyx解析：选Ba，b，cR，xy，又x2，z2，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得a2b2c2abbcca，3a23b23c2(abc)2，z2x2，zx，即yxz.5设0x1，则x(1x)2的最大值为 _.解析：0x0.故.x(1x)2，当且仅当x时取等号答案：6设x，y，z均大于0，且x3y4z6，则x2y3z的最大值为_解析：6x3y4zyyy4z6.x2y3z1，当且仅当y4z时取“”号x2z3z的最大值为1.答案：17设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到该三角形三边距离乘积的最大值是_解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.则S(3x4y5z)，又324252，这个直角三角形的面积S346.3x4y5z2612.33x4y5z12.(xyz)max.当且仅当x，y1，z时等号成立答案：8设a，b，cR，求证：(abc).证明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.3 0，(abc).当且仅当abc时，等号成立9若为锐角，求ysin cos2的最大值解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2)3.当且仅当2sin21sin2，即sin 时取等号此时ymax.10已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行