《理学复变函数》PPT课件.ppt

序 言,马克思曾经说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”。,数学物理方法课程体系,数学物理基础篇,复变函数篇,数学物理方程篇,特殊函数篇,计算机仿真篇,数学物理方法课程的主要内容,第一章 复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数的展开 第四章 留数定理 第五章 傅里叶变换 第六章定解问题 第七章分离变量法 第八章积分变换法 第九章勒让德多项式(球函数) 第十章贝塞尔函数(柱函数 ),学习目的与具体要求,目的：掌握数学物理方法有关知识，学习理论结合实际应用的某些解题方法 具体要求 按时出席，认真听课。 上课记好笔记 将增删课本内容 完成课后作业,及时交作业 积极提问,积极参与课堂讨论. 期末闭卷考试 总成绩按期末成绩 和平时成绩 综合评定,学习参考书,黄大奎,舒慕曾,数学物理方法,四川大学数学学院 姚端正,数学物理方法学习指导,科学出版社 程速春,数学物理方程及其近似解法,科学出版社 李惜雯,数学物理方法典型题,西安交通大学出版社 Jeffreys,METHODS OF MATHEMATICAL PHYSICS, Cambridge Mathematical Library(海外教材),联系方式与答疑,E-mail: Telephone number:86914586(office) 办公地点: 赛博北楼 412-A 答疑时间:每周三全天(8:3019:30),一. 复数 二. 复数的表示 三. 复数的乘幂与方根 四.复变函数. 五.区域 六. 复变函数的极限 七. 复变函数的连续 八.解析函数的性质,第一章 复变函数,由于解方程的需要，人们引进了一个新数，叫做虚数单位，并规定:,（1）,（2）实数可以与它进行四则运算，进行运算时， 原有的一切算律仍然成立。,复数的引入,复数的概念： 形如,的数叫做复数.其中,分别称为,的实部和虚部.记作,一般来说，任意两个复数不能比较大小。,2复数的代数运算,定义： 加、减法：,乘法：,除法：,根据乘法定义及复数相等的定义，可推得,容易证明，复数的运算也满足交换律，结合律，乘法对加法的分配律,复数乘法时，不必记定义结果，只需按多项式乘法即可，但须注意把所得结果中的进行,换成-，并把虚部和实部分别合并,进行复数除法时，也不必记定义结果，可把分子分母同乘分母的共轭，然后化简即可。,复数的几何表示,任意给定一个复数z=x+yi，它可由一个有序实数对（x,y）唯一确定因此可借用直角坐标系来表示复数这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面X轴叫做实轴，y轴除去原点部分叫做虚轴,复数z,(从原点指向点z)因此复数z也能用,向量,来表示,向量的长度称为z的模记为|z|则：,显然,复数的指数表示,共轭复数,容易证明共轭复数具有下面性质：,性质,复数的乘幂与方根,乘幂,k=0,1,2.n-1,例4 求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置.,方根的几何意义,复 变 函 数,复变函数的定义：设G是 的 集合，如果有一个法则存在，按照该法则， 对于G中的每一个z有确定的复数 与之对应则称复变数 是复变数 的函 数记作,单值性、多值性、定义集合、函数值集合,等价两个二元实函数,考察函数,即,因此,对应,2.映射的概念,如果用 平面表示自变量 的值，用另一复 平面表示表示函数 的值，则函数 可看成是把 平面上的点集 变到 平面 上的一个点集 （函数值集合）的一个映射 称为由函数 所构成的映射. 称为 的象. 称为 的原象.,不难看出， 是关于实轴的一个对称映射 再如： 把 映射成 由乘法的辐角公式： 通过映射 的辐角增大一倍,因此， 平面上与正实轴夹角为 的角形域 映成 平面上与正实轴夹角为 的角形域,下面看看 把 平面上曲线 映成 平面上怎样的曲线,因为 就是 因此 是两条直线,曲线族映成平行直线族,再看把 平面上 映成什么曲线,即,反函数的概念： 确定了一个单值或 多值函数 称为 的反函数也 称为映射 的逆映射,即,.区域,区域的概念,显然，孤立点集没有内点,开集：如果G的每一点都是其内点,则G称为开集,区域：平面点集D称为区域：如果,1.D是开集,2.D是连通的,D的边界点：设D为一区域，点P不属于D，但 在P的任何邻域内，有点D中的点，则称点P为D的边界点D的所有边界点组成D的边界,闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域,有界区域：如有正数 使得区域D中每一个点 都满足,则D称为有界的，否则称为无界的,2.单连通域与多连通域,光滑曲线：设 是两个实变函数 连续函数则,代表一条平面连续曲线如果令 则 就是该曲线的复数方程,如果在 上 都连续，且,则这曲线称为光滑的,简单曲线：设 是一条连续 曲线， 称 的起点和终点,如果除端点外，曲线自身不相交，则称为简单曲线,简单,非简单,简单闭曲线：如果简单曲线的起点和终点重 合，则称为简单闭曲线,单连通与多连通：D是平面一个区域，如果在 其中任意作一条简单闭曲线，曲线的内部总 属于D则称D是单连通的否则，称D是多连 通的,单连通,多连通,复变函数例,复变函数的极限和连续性,1.函数的极限,定义：,内有定义，去心 有没有意义都可以 时，,记作,定理.设 则,（）,定理.设 都存在，则,（）,（）,.函数的连续性,定义：如果 则称 在 处 连续如果 在区域 内每一点 处处连续，则说 在 内连续,定理： 在 处连续的充要条 件是：其实部、虚部都在 处 连续,定理