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高中数学竞赛训练题1设全集I=(x,y)|x,yR，集合M=，N=(x，y)|yx+1，那么CIMCIN等于（ ）AB(2，3)C（2，3）D(x，y)|y=x+12函数=（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）A（-，-1）B（-，1）C（1，+）D（3，+）3设全集是实数集，若A=x|0，B=x|=10x，则A是（ ）A2B-1Cx|x2D4集合A，B的并集AB=a1，a2，a2，当AB时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有（ ）A8B9C26D275若非空集事A=x|2a+1x3a-5，B=x|3x22，则能使AAB成立的所有a的集合是（ ）Aa|1a9Ba|6a9Ca|a9D6函数（ ）A是偶函数但不是奇函数B是奇函数但不是偶函数C既是偶函数又是奇函数D既不是偶函数也不是奇函数7设是一个函数，使得对所有整数x和y，都有=+6xy+1和 则8如果在区间1，2上，函数=x2 + px +q（p-4, -2）与在同一点取相同的最小值，那么在该区间上的最大值是9一次函数=ax+b的图象经过点（10，13），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），其中p是质数，q是正整数，则满足条件所有一次函数为 .10已知=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t2 - 3t -40 0，则t的值为 .11设M=1，2，1995，A是M的子集且满足条件：当xA时，19xA，是A中元素的个数最多是 .12已知的定义 在R上的函数，=1且对任意xR都有+5 +1 若=+1- x，则g(2002)= .13.若函数=在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b.14设aR，求函数=在区间上的最大值.15设函数=ax2 + 8x +3（a0有定义且取正值，又当a，b，c为三角形三边时，仍可构成三角形的三边长.证明：存在正数A和B，使得对一切x0，都有Ax+B.21.若A是S=1，2，n的一k元子集，m为正整数,满足条件n(m-1)(+1),则存在S中的元素t1，,tm，使得:=x+|xA,j=1，m中任意两个的交集为空集.22。数集M由2003个不同的实数组成，对于M中任何两个不同的元素a和b,数都是有理数。证明：对于数集M的任何一个数都是有理数。23.称有限集S的所有元素的乘积为的“积数”。给定数集M=。求数集M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和。24 设集合。如果X是Sn的子集，把X中的所有数的和称为的容量（规定空集的容量为0）。如果X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集。（1）。求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等。（2）。求证：当时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等。（3）。当时，求Sn的所有奇子集的容量之和。25 求的图像与x轴的交点坐标26设a0,讨论函数r(x)在(0,)上的单调性，最小值，最大值。27设二次函数 满足条件：（1） 当时，且0。（2） 当时，。（3） 在R上的最小值为0。求最大的m(，使得存在，只要，就有x 28设f为的函数，对任意的正实数x,且1x3求最小的实数x，使得(2004）.29. k是实数，, 对任意三个实数a,b,c, 存在一个以为f(a), f(b), f(c)三边长的三角形，求k的取值范围。30. 设N是非负整数集，是一个函数，使得对任意，都有 问：中有多少个元素小于2003 ?31. 已知二次函数（1）。若方程无实根，求证：b0.(2). 若方程有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：。（3）。若方程有两个非整数实根，且这两实根都在相邻的两个整数之间，求证：存在整数k，使得成立。（4）。若方程有两个非整数实根，且这两实根在相邻的两个整数之间，请你探求当a,b满足什么条件时，一定存在整数k，使得成立。32设sin15 cos1+1，则n的最小值是( )A. 4 B . 5 C. 6 D. 733. M . N在RtABC的斜边AB上， 那么M，N两点分别到两直角边的距离之和与ABC的周长之比的最大可能值是（ ）A B。 C。 D。34如果函数对任意使为常数，则正整数n应为（ ）A1 B。3 C。3或1 D。不存在35关于x的方程至少有一个解，则实数a取值范围是（ ）A. （-1， 2 ） B .（-1，2） C。-1，2 D。-1，236设=，那么ABCD37. 锐角满足b B. a0恒成立，求实数m的取值范围。48ABC的内角满足acos2C+bsinC=1，试判定ABC的形状.49平面上四边形ABCD中，AB=，AD=CD=BC=1，ABD和BCD的面积分别为S、T，求S2+T2的最大值和最小值.50体积为V的圆锥体中，求侧面积的最小值.51设0x，求证：52已知x，y，z，x+y+z=，求tanxtanytanz的最大值.53，求的最小值.54求方程组55化简56 过锐角ABC的重心G作AB、BC、AC的垂线，垂足为M、N、P.求证：57P是ABC的内心，R、r分别为ABC外接圆和内切圆半径.求证：PA+PB+PC3R.58P是ABC的垂心，以BC、AC、AB为直径向外作三个半圆，分别与高AD、BE、CF延长线交于G、H、L.求证：.59P在ABC内，求证：PAsinA+PBsinB+PCsinC.60P在ABC内，AP、BP、CP与对边分别交于L、M、N.求证：ABC的面积，R为其外接圆半径）.61设，+=，求：的最小值.62求证：sinn2x+（sinnx-cosnx）21.63三棱锥VABC的三条棱VA、VB、VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为、.求证：coscoscos（）64设a、b、c为ABC的三条边，abc，R和r分别为ABC的外接圆和内切圆半径.令f=a+b-2R-2r，试用C的大小来判定f的符号.65给定a，内接于单位圆的凸四边形ABCD适合下列条件：（i）圆心在这凸四边形内部；（ii）最大边长是，最小边长是过点A、B、C、D依次作圆的4条切线LA、LB、LC、LD.已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别交于、.求面积之比的最大值与最小值.66.化简 67不等式 对任何实数x均成立，求的取值范围.68设，试求的最大值。69已知求得最大值。70、在ABC中，高AD=h,BC=a, AC=b,AB=c.若a+h=b+c,求BAC的取值范围。71已知数列满足（n1）且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|0，Sn为其前n项之和，则Sn（nN+）中最大的是AS10BS11CS20DS2173等比数列中,a1=1536，公比，用n表示它的前n项之积，则n（nN+）中最大的是A9B11C12D1374已知数列中满足xn+1=xn-xn-1(n2). x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+xn，则下列结论正确的是Ax100= -a,S100=2b-aBx100=-b, S100=2b-aCx100=-b, S100=b-aDx100=-a，S100=b-a75各项均为实数的等比数列的前n项之和记为Sn，若S10=10，S30=70，则S40等于A150B-200C150或-200D400或-5076给定公比为q（q1,qR）的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，则数列A是等差数列B是公比为q的等比数列C是公比为q3的等比数列D既非等差数列又非等比数列77设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项为972，则这样的数列共有 个.78设数列a1，a2，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+a100的值是 .79各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.80等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是 .81设正数a0，a1，a2，an，满足，且a0=a1=1，则数列的通项公式是 .82设Sn=1+2+3+n，nN+，则的最大值是 .83求数列：1，3，8，20，43，81，的一个通项表达式.84设数列满足an+1=a+1，n=1，2，3，.（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所有的n1，有（）ann+2;（）.85数列由下列条件确定：x1=a0，xn+1=，nN+.（1）证明：对n2，总有（2）证明：对n2，总有（3）若数列的极限存在，且大于零，求的值.86已知是由负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)（an-2+2），n=3,4,5,.（1）求a3；（2）证明an=an-2+2，n=3，4，5，；（3）求的通项公式及其前n项和Sn.87在1与2之间插入n个正数a1，a2，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，bn，使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3an，Bn=b1+b2+bn.（1）求数列和的通项；（2）当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论.88（1）设是集合2t+2s|0st，且s，tZ中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5,a3=6，a4=9，a5=10，a6=12.将数列各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右的三角形数表:（）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（）求a100;（2）设是集合2t+2s+2r|0rsr0）（1）求bn；（2）求.97在数列和中，a1=b1=10，且（n=1，2，），求an，bn.98已知a1=1，nan+1=(n+2)an+n，求an.99数列满足：a1=1,an+1=an+nN+，求a100的整数部分.1003个数列，存在下列关系：a1=1，b1=，bn=an+1-an,cn=bn+1-bn=3n-1-np（n=1,2,3,）,这里p为正常数.（1）求an;（2）证明：若cn0，必有cn+10；（3）若数列的最小项为b4，求p的取值范围.101两个数列，满足a1=2，b1=1，（n=1，2，3，）试求通项an和bn.102数列，满足0a1b1，2bn+1=an+bn(n=1，2，3，)，证明下列命题：（1）a2b2an+!；（3）对任意整数n2，有bn1有108设实数x1，x2满足1，证明：对任意实数y1，y2均有（x1y1+x2y2-1）2()().109设x1，x2，x3R+且=1，求证：110设x，y，zR，且x2+y2+z2=2，求证：x+y+zxyz+2.111已知a，b，c0，求证：112设0abcde，且a+b+c+d+e=1，求证：ad+dc+cd+be+ea113设a，d0，b，c0，且b+ca+d，求：的最小值.114设a1a2an0（n3），且n2，a1+a2+an=3n，求证：a1+a2+a3n.115设xi0（i=1，2，n），且+2，求的最大值与最小值.116求最大的正实数a，使+对一切实数x，y，z均成立.117设N+是正整数集，R是实数集，S是满足以下两个条件的函数f：N+R的集合.（1）（2）（n=1，2，）试求最小的正整数M，使得对任何fS及任何nN+，都有118设a1，a2，a30，求证：a1+a2+a3+2(+)，并确定等号成立的条件.119、设为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（两项也看作等差数列）.120、数列定义如下：，求它的通项公式121、设数列和满足且证明：是完全平方数。122、设数列定义如下：+试求的最简表达式。123、设对一切自然数n有，求所有被11整除的的值。124、设数列定义如下：证明：对均为自然数。125、设数列满足，求。126 、已知数列分别满足下列条件，求它的通项公式（1）、（2）、（3）、（4）、127、已知数列分别满足下列条件，求它的通项公式 128、一次竞赛在n轮中共发了m枚奖章.第一轮发了1枚及余下的枚的，第二轮发了2枚及余下的，直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？共发了多少枚奖章。129、把一个圆分成n个不同的扇形（n1）,依次记为S1,S2,Sn,每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中的任意一种颜色涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法？130、设为常数，且(1)、证明：对任意的1，有 （2）、假设对任意n1有，求的取值范围131、设为等差数列，为等比数列，且，又，试求的公差与首项.132、设，求证：133、设满足求证：134、使，试确定乘积的最大值.135、设和是给定的正整数，已知正实数，试确定正实数使得和式最小.136、已知求证：137、已知是正数，对任意有，证明：138、且求证：139、求证：140、且对每一个固定的求的最大值.141、已知：证明：142、设为正整数，实数满足证明： 等号成立当且仅当成等差数列143、设和是两个不成比例的实数序列，又设是使成立的任一实数序列，求证： 其中， ，144、对于满足条件的非负实数，求的最大值。145、设，求证：.146、已知且 求证：147 一个棱长为2的正方体S由8个单位正方体组成，我们称S去掉一个单位正方体后的部分为一个“角体”，T是一个由个单位正方体组成的棱长为2n的正方体。证明：随意去掉T的一个单位正方体，余下的部分必要用“角体”拼成.148 设n为正整数，为实数，证明：2cosn可以表示为（2cos）的首项系数为1的n次整系数多项式的形式149 设P（x1，x2，xn）是一个有n个变元的多项式，我们用+1或-1代替P中所有的变元，若其中-1的个数为偶数，则P的值为正；若其中-1的个数为奇数，则P的值为负.证明：P为一个至少n次的多项式（即P中存在一项，其所在变元的次数和不小于n）.150 n个复数zk满足|zk|1，k=1,2,，n.证明：存在e1，e2，en-1,1,使得对任意m1,2,，n，均有|2.151 设nN*,n2，在一个（2n-1）（2n-1)的方格表的每个方格内填入+1或-1.如果任意一个方格内所填的数都等于与它的公共边的那些方格中所填数的乘积，那么称这种填写方法是“成功”的，求“成功”填法的总数.152 设nN*，a1，a2，an为正实数.证明：153设x，y是实数，使得x+y，x2+y2，x3+y3，x4+y4都是整数.证明：对任意正整数n，数xn+yn均为整数.154设a为无理数，n为大于1的整数，证明：为无理数.155设a1=1，a2=2，an+1=,n=2,3,.证明：对任意正整数n3，均有an156证明：对任意正整数n，均有157设a0，证明：对任意nN*，均有158.设m，nN*，记Sm(n)=证明:n+其中x表示不超过x的最大整数.159设n，k为正整数，现有nk件物口和k个盒子，每个盒子恰好能放下n件物品.已知：每件物品被染上了某k种颜色中的一种.证明：这些物品可以放到盒子中，使得每个盒子中至多有两种颜色的物品.160设S为一个2002元集合，N为满足0N22002的整数.证明：可以将S的子集进行黑白染色，使得（1）任意两个白子集的并集仍然是白子集；（2）任意两个黑子集的并集仍然是黑子集；（3）恰有N个白子集.161.在某个罐里有黑、白两种颜色的球各一个，我们另外还有50个白球和50个黑球，下面进行50次操作：随机地取出一个球，然后放入罐中两个与取出的球同色的球称为一次操作，最后在罐中有52个球.问：罐中最有可能有几个白球？162证明：对任意正奇数都可以找到一个正整数，使得他们的乘积在十进制表示下，各数码均为奇数.163数列定义如下：a1=1,am=an-1+a,n=2,3,.证明：此数列中有无穷多项是7的倍数.164正整数n和实数满足：，求所有的整数k，使得为整数.165给定正整数n，问：平面上最少要适当地选取多少个不同的点？才能具有如下性质：对任意k1,2,，n,平面上总存在一条直线，它恰好通过所取的点听k个点.166.设集合A1，A2，Ar是正整数集N*的一个r-分划（即A1A2Ar=N*，且对任意1ijr，均有AiAj=）.证明：A1,A2，Ar中必有一个集合A具有如下性质：存在mN*，使得对任意kN*，都找得到A中的k个数a1，a2，ak满足1aj+1-ajm，1jk-1.167.复系数多项式p(z)=z2+az+b对一切|z|=1时恒有|p(z)|=1.求证:p(z)=z2.168.实系数多项式p(x)=x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中,对任意的一个根,都有,1-也都使p(x)=0.求p(x).169.已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+cn-1z+cn是复变量z的实系数多项式，若|p(i)|1，求证：存在实数a、b，使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2a1a2an0，求证：=a0xn+a1xn-1+an-1x+an的所有根都在单位圆的内部.185.设f:CC且使得方程|=|z-|,其中zC,=0,1,I,且f(0)=0,|f(1)|=1.求证:或186.给定集合S=z1,z2,，z2003，其中z1，z2，z2003是非零复数，求证：可以把S中元素分成若干组，使得：（1）S中每个元素属于且仅属于其中一组；（2）每一组中任一复数与该组所有复数这和的夹角不超过900；（3）将任意两组中的复数分别求和所得的和数之间的夹角大于900.187.设复数z1,z2，zn满足试证存在非空集合D1，2，n使|1.188.设n2，求sin189.复平面上三个点A、B、C所对应的复数分别为z1，z2，z3.若z1，z2，z3是方程z3-3pz2+3qz-r=0的三个根（r0）.求证：ABC是正三角形的充要条件是p2=q.190.求复数z对应的点关于直线y=kx+b对称点对应复数.191.已知方程x10+(13x-1)10=0有10个复根，,， ，这里与（=1，2，3，4，5）互为共轭复根，求+的值.192.设cos sin求证：=193.(1)设n是一个大于3的素数，求（1+2cos）（1+2cos）（1+2cos）（1+2cos）的值.（2）设n是大于3的正整数，求（1+2cos）（1+2cos）（1+2cos）（1+2cos）的值.194.已知实数列，的各项均不为0，a1=1，b1=tan,为已知数，并且an=am-1cos-bn-1sin,bn=an-1sin+bn-1cos.求，的通项公式.195设x2+x+1是的因式，其中为x的复系数多项式.求证：x-1为的公因式.196已知两个复系数函数与(其中a0=b0=1)，和均为实数，=0的所有根的平方的相反数是的全部根.求证：为实数.197给定实数a，b，c已知复数z1，z2，z3满足求|az1+bz2+cz3|的值.198设n是给定的正整数，求所有正数对a，b使得x2+ax+b=0是ax2n+(ax+b)2n的因式.199试问：当且仅当实数x0，x1，xn(n2)满足什么条件时，存在实数y0，y1，yn使得成立，其中，i为虚数单位，k=0，1，n.证明你的结论.120设方程xn+an-1xn-1+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0a0a1an-11.已知为此方程的复数根，且适合条件|1.试证：200如果实数u-1,1,求证：关于x的方程xn+1-uxn+ux-1=0(nN+)的每一根的模长均为1.201设z1,z2,z3为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|.202设akr,zk是复数，k=1，2，n.试证：（）（+）.203设复数z和=（a、b、c、d是给定的复数，a0，adbc）.（1）当对应点在圆周上时，求z对应的点的轨迹.（2）当对应的点在一直线上时，求z对应的点的轨迹.204证明存在一个凸1 990边形，同时具有下面的性质（1）与（2）：（1）所有内角均相等；（2）1 990条边的长度是12，22，32，1 9902的一个排列。205A是一个非零实数，给定自然数n2，求满足方程的所有n次实系数多项式206设=（）对任意R恒有-1.求证：n.207是否存在正实数a1，a2，a2002，使得对任意kN+,1k2002，使多项式ak+2001x2001+ak+2000x2000+ak+1x+ak的每一个复数根z都满足|Imz|Rez|其中a2002+k=ak(k=1，2，2001)？208如图8.1，O1和O2和ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，直线EG与FH交于P.求证：PABC.209在“筝形”MCNP中，MC=MP，CN=PN，经MN、CP的交点A作作两条直线，分别交MP于S，交CN于D，交MC于G，交PN于T，CD、ST分别交CP于F、Q.求证：FA=AQ.210因为ABC，且A+=1800，故考虑作ABC的外接圆，以ABC的外接圆，以ABC为基础，巧妙构造圆内接四边形，然后利用托勒密定理证得命题.211求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上.212如图8.6，已知ABC的三个顶点A、B、C分别在锐角A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1上，使得CAB=C1A1B1，求证：ABC和A1B1C1的垂心到ABC的外心距离相等.213如图8.7，两个大圆A、B相等且相交.两个小圆C、D不等亦相交，且交点为P、Q.若C、D既同时与A内切、又同时与B外切，求证：直线PQ平分线段AB.214如图8.8，设Q1和Q2相离，引它们的一条外公切线切O1于A，切O2于C，引它们的一条内公切线切O1于B，切O2于D.求证：直线AB与CD的交点在两圆的连心线上.215在ABC中，BAC=900，G为AB上给定的一点（G不是线段AB的中点）.设D为直线GC上与C、G都不相同的任意一点，并且直线AD、BC交于E，直线BD、AC交于F，直线EF、AB交于H，求证：交点H与D在直线CG上的位置无关.216在ABC中，AB=AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE=AC，线段DE与ABC的外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点.求证：点P满足PD+PE=AT的充要条件是点P在ADE的外接圆上.217圆内接四边形ABCD的两边AB、CD所在的直线交于点P，分别过A、B、C、D作圆的切径线依次交于E、F、G、H.求证：PH、CF、BF共点.218设ABC的三垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F，从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S.求证：P、Q、R、S共线.219.设P为ABC所在平面内任一点，I为内心，则其中a=BC，b=CA，c=AB.220四边形ABCD对边BA、CD延长交于E，AB、BC延长交于F，对角线AC、BD交于O，过O而平行于BC的直线交AD、EF于G、H.求证：OG=GH.221在ABC中，ACAB，P为BC垂直平分线和A内角平分线的交点，作PXAB=X，PYAC=Y，Z=XYBC.求的值.222在ABC的边BC的延长线上取一点D，使CD=AC.ACD的外接圆和以BC为直径的圆相交于P，BP和AC相交于E，CP和AB相交于F.求证：D、E、F共线.223设D是线段AG的中点，在AG同侧作全等的两个凸四边形ABCD和DEFG，使它们都有内切圆，圆心分别为O1和O2，求证：AO1、CO2、CE三线共点.224在ABC，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N.求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN.225设A1B1C1是不等边锐角ABC的垂足三角形，A2、B2、C2是A1B1C1的内切圆与三边的切点.证明：A2B2C2与ABC的欧拉线重合.226设A是ABC中是小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧.设U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点.线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T.证明：AU=TB+TC.227已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O2分别与O内切于S、T两点.求证：OMM怕充分必要条件是S、N、T三点共线.228设ABCD是一个四边形.AD=BC，A+B=1200.由AC、DC、BD分别作远离AB的三个等边三角形ACP、DCQ、DBR.证明：P、Q、R三点共线.229延长四边形ABCD的两组对边AB、CD，AD、BC分别交于E、F，证明若平面上存在一点Q，使得BQD=EQF=900，则AQC=900.230以ABC的三边向形外分别作正方形ABHI，BCDE和CAFG.设XYZ是线段EF，DI和GH围出的三角形.证明：231如图9.1，在ABCD中，AB=5，BC=8，A=1200，过点A任意引直线,设顶点B、C、D到的距离之和为d.求d的最大值.232如图9.2，O1与O2相切于点A，点P是O1上任一点，PC为O2切线，C为切点.求证：是定值.233如图9.3，在ABC中，A=600，ABAC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点.点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN.求的值.234如图9.4，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.235如图9.5，设I是ABC的内心，以I为圆心的一个圆分别交BC于A1、A2，交CA于B1、B2，交AB于C1、C2，这六个交点在圆周上的顺序为A1、A2、B1、B2、C1、C2，设A3、B3、C3分别为A1A2、B1B2、C1C2的中心，直线A2A3、B1B3相交于C4，直线B2B3、C1C3相交于A4，直线C2C3、A1A3相交于B4.求证：直线A3A4、B3B4、C3C4三线共点.236如图9.6，D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的点，、分别是AEF、BFD、CDF和DEF的面积.证明：.237如图9.7，过半圆8O的直径AB上一点C作CDAB，交半圆于D，另一圆O1内切半圆O 于P，切CD于M.求证：P、M、A共线.238设ABCD是一圆内接四边形，另一圆的圆心在AB上，且与另三边相切，求证：AD+BC=AB.239设边长分别为a，b，c，d的凸四边形ABCD外切于O，求证：OAOC+OBOD=240凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是AMD和CMB的重心，R、S分别是DMC和MAB的垂心.证明：PQRS.241设ABCDEF是半径为r的圆的任意内接六边形，且AB=CD=EF=r，又设G、H、K分别是边BC、DE、FA的中点.求证：GHK是正三角形.242如图9.13，ABCD是圆内接四边形，BDAC，直线AB与CD交于E，直线BC与AD交于F.L与M分别为线段AC和BD的中点.求证：245如图9.14，已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点.求证：OMMN的充要条件是S、N、T三点共线.246双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.求证：双心四边形的两个心与对角线交点共线.247在ABC中，C=300，O是外心，I是内心，边AC上的点D与BC上的点E满足关系AD=BE=AB.求证：OIDE且OI=DE.248在ABC中，G是重心，M是平面上任一点，求证：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2.249已知ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，P、Q、R分别为AE、EF、AF的中点.求证：BP、CQ、DR三线共点.250ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于A1、B1、C1，ABC的外接圆的弧BAC、CBA、ACB的中点分别为A2、B2、C2.求证：A1A2、B1B2、C1C2三线共点.251菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q. 求证：MQNP.252在锐角AC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB=M，FNAC=N，延长AE交匠外接圆于D点.求证：四边形MADE与ABC的面积相等.253ABC内接于一个半径为R的圆，设P为ABC内部的一点.求证：254过ABC的三边中点D、E、F分别作它的内切圆的切线，设所引的切线分别与EF、FD、DE交于L、M、N.求证：L、M、N三点共线.255ABC三边的中点为E、F、G，三条高的垂足为P、Q、N，垂心X与各顶点连线的中点为K、L、M.求证：EFGPQNKLM九点共圆，它的圆心W在过垂心X、重心Y和外心Z的欧拉线上，且XW：WY：YZ=3:1:2.256一个等腰锐角ABC，D是底边AB中点，点E在AB上，O是ACE的外接圆心.证明：过D垂直于DO，过E垂直BC和过B平行于AC的三线共点.257已知ABC的外心为O，内心为I，垂心为H，且O、I、H不共线，OIH的外接圆过ABC的一个顶点.求证：它必过ABC的另一顶点.258如图10.3，直三棱柱ABCA1B1C1中AC=BC，连接AB1，BC1，CA1，若AB1BC1，则AB1CA1.259正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，M、N分别在对角线AC和BF上，并且AM=FN，求证MN平面BEC.260设ABCA1B1C1是直三棱柱，BCA=900，点D1，E1分别是A1B1与A1C1的中点.若BC=CA=CC1=10.求：（1）BD1与AE1所在的角；（2）BD1与AE1之间的距离.261设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BC、CD的中点.（1）证明：B1EFD1是等腰梯形；（2）求二面角D1B1EC1的大小.262如图10.11，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=900，侧棱AA1=2.D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求A1B与平面ABD所成的角；（2）求点A1到平面ADE的距离；（3）求AB1与BD所成的角；（4）求AB1与BD的距离.263已知正三棱锥SABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为，在上取一点P，使AP：P=8，求经过P点且平行底面的截面的面积.264设正三棱锥PABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比.265四面体ABCD被平面所截，对棱AB，CD都与平行且与等距，设截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积.266直三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，BAC=，AD是BC边上的高，若此直棱柱的侧面积为S，过BC1且与AD平行的平面与底面成角，求这平面截棱柱所得截面面积以及棱柱被截面分成的两部分的体积.267已知圆锥的表面积等于其内切球的表面积的n倍，试确定正整数n的一切可能值.268正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，则直线A1C1与BD1的距离等于 ，夹角等于 .269正四棱锥 SABCD中，ASB=450，二面角ASBC为且cos=m+(m，n为整数)，求m+n.270已知正方体ABCD的棱长为1，M，N分别是、的中点，P是MN的中点，求DP与的距离与夹角.271设正三棱锥PABC中，AB=a，PA=2a，过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面ADE的周长最小时，求及P到截面ADE的距离.272直三棱柱A1B1C1ABC中，平面A1BC平面ABB1A1，且AC=AA1，AC与平面A1BC所在的角为，求的取值范围.273设AB是圆台上底面O的直径，C是O上不同于A、B的任意一点，是下底面上的点，使得平面垂直于下底面.又M为的中点，AC=2，=1200，=300.（1）求证：AM平面；（2）求二面角AC的大小.274四棱锥SABCD的底面是中心为O的矩形ABCD，AB=4，AD=12，SA=3，SB=5，SO=7，N为棱BC上一点，过S，O，N三点作截面交AD于M，问BN为何值时，截面SMN取最小值？最小值是多少？275空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3.每个球都与其他三个球外切，别一个小球与这四个球都相切，求这个小球半径.276设一个半球内切于一个圆锥，使得半球的圆面位于圆锥底面内且半球的球面与圆锥的侧面相切.若半球的体积V1是圆锥体积V2的.求半球的表面积S1与圆锥的表面积S2之比.277设圆台上、下底面的半径分别为10和20，高为.OA，OB是下底面的两条互相垂直的半径，C是母线BB1上靠近B的三等分点，试求圆台侧面上A、C两点间的最短距离.278如图11.1，已知ABC中各顶点的坐标分别为（xA，yA），（xB,yb）,（xC,yC），点E、F分别在AC，AB上，且求BE与CF的交点P的坐标.279图11.2，ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H、直线ED和AB交于M，FD和AC交于点N.求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN.280已知圆（x-3）2+(y-4)2=16，直线kx-y-k=0.（1）若与圆交于不同的两点P、Q，求实数k的取值范围；（2）证明：恒过定点A；（3）若P，Q连线的中点为M，与l2:x+2y+4=0的交点为N，求证|AM|AN|为定值.281.设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两面圆弧，其弧长的比为3：1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0距离最小的圆的方程.282.设P是双曲线上任意一点，过P作渐近线l1、l2的平行线，分别交l2、l1于Q，R.求证|PQ|PR|为定值.283.已知抛物线y2=2px及定点A（a，b），B（-a,0）（a