高中数学 第四章 导数应用 2_2 最大值、最小值问题（二）课件 北师大版选修1-1

第四章 2 导数在实际问题中的应用,2.2 最大值、最小值问题(二),学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路：,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,题型探究,命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？,类型一 几何中的最值问题,解答,设广告的高和宽分别为x cm，y cm，,令S0得x140，令S0得20x140. 函数在(140，)上是增加的， 在(20，140)上是减少的， S(x)的最小值为S(140). 当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,设点B的坐标为(x，0)，且0x2， f(x)4xx2图像的对称轴为x2，点C的坐标为(4x，0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8).,命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？,解答,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,令V0，得0x20； 令V0，得20x30.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,解答,这个极大值就是函数V(x)的最大值，,命题角度1 利润最大问题 例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,类型二 实际生活中的最值问题,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本； (2)利润每件产品的利润销售件数.,反思与感悟,跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,解答,若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k2224，解得k6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有 f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0，21.,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解答,由(1)知，f(x)18x2252x432，x0，21， 令f(x)0，则x12，x212. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x12时，f(x)取得极大值. f(0)9 072，f(12)11 664， 定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.,命题角度2 费用(用材)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解答,而建造费用为C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,解答,当00， 故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为,即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,反思与感悟,跟踪训练4 据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y 8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米. (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？,解答,即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.,(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？,解答,设耗油量为h(x)升，依题意得,令h(x)0，得x80.,当x(0，80)时，h(x)0，h(x)是增加的. 所以当x80时，h(x)取到极小值为h(80)11.25. 因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值. 故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,当堂训练,1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y x381x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件,2,3,4,5,1,x0，yx281(9x)(9x)， 令y0，解得x9，x(0，9)时，y0， x(9，)时，y0，y先增后减. 当x9时函数取最大值，故选C.,答案,解析,2.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y 则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是 A.6时 B.7时 C.8时 D.9时,2,3,4,5,1,答案,解析,当t(6，8)时，y0，当t(8，9)时，y0， 故t8时，y取最大值.,2,3,4,5,1,3.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加 100元，已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系是R(x) 则总利润P(x)最大时，每年生产的产品是 A.100件 B.150件 C.200件 D.300件,答案,解析,2,3,4,5,1,令P(x)0，得x300，易知当x300时，总利润最大.,2x32.2x21.6x，x(0，1.6)， 所以V6x24.4x1.6. 当0x1时，V0，当1x1.6时，V0， 所以当x1时，容器的容积取得最大值.,2,3,4,5,1,4.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,令y0，得x2. 当x