2019届高考数学二轮复习第二篇专题二数学思想方法教案理.docx

专题二数学思想方法概述数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.一、函数与方程思想函数与方程思想在不等式中的应用【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于xR,均有f(x)f(x),则有()(A)e2 018f(-2 018)e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(x),并且ex0,所以g(x)g(0),g(2 018)f(0),f(0),f(2 018)e2 018f(0).故选D.【思维建模】 函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.热点训练1:(1)已知函数f(x)=ln x-asin x在区间,上是单调增函数,则实数a的取值范围为()(A)-,(B)-,(C),(D),+(2)(2017山西三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f(x)f(x),且f(x)f(x+3)=-1,若f(2 015)=-e,则不等式f(x)ex的解集为.解析:(1)f(x)=-acos x,由题意得-acos x0在,上恒成立,即a在,上恒成立,设g(x)=,则g(x)=,因为x,所以xsin x-cos xxcos x-cos x=(x-1)cos x0,所以g(x)0,所以g(x)在,上单调递减,所以g(x)小=g=,所以ag(x)小=.故选B.(2)因为f(x)f(x+3)=-1,所以f(x+3)=-,f(x+6)=-=f(x),即f(x)的周期为6,所以f(2 015)=f(-1)=-e,因为f(x)是奇函数,所以f(1)=e.构造函数g(x)=,则g(x)=0,即g(x)在R上单调递减,g(1)=1,f(x)ex1g(x)1.答案:(1)B(2)(1,+)函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设an的公比为q.由题设可得解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2-+(-1)n=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.【思维建模】 数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.热点训练2:设公差不为零的等差数列an的前5项和为55,且a2,a4-9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn.(1)解:设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),则或(舍去).故数列an的通项公式为an=7+2(n-1),即an=2n+5.(2)证明:由an=2n+5,得bn=-.所以Sn=b1+b2+bn=1-+-+-=1-0,b0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.解析:(1)如图,ABC为圆锥的轴截面,则O为其外接球的球心,设外接球的半径为R,连接OB,OA,并延长AO交BC于点D,则ADBC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD=,则在RtBOD中,有R2=(-R)2+12,解得R=,所以外接球O的表面积S=4R2=.故选C.(2)不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=bax,由题意可知该切线方程为y=-ab(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2=的圆心为(a,0),半径为,则圆心到切线的距离d=,又e=ca,则e2-4e+4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2.答案:(1)C(2)2二、数形结合思想利用数形结合思想研究函数零点问题【例4】 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,则实数a的取值范围为.解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1)有解等价于函数y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.设直线y=a(x-1)与曲线y=f(x)在y轴右侧相切于(x0,),切线方程为y-=(x-x0),因为切线过点(1,0),所以(1-x0)=-,所以x0=2,所以a=e2.当直线y=a(x-1)过点(-2,1)时,a=-,所以a的取值范围为a-或ae2.答案:-,-e2,+)【思维建模】 解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.热点训练4:(1)(2017河北保定市模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)(1,3)(2)(2018石家庄市质检)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则M的值为()(A)3(B)6(C)9(D)12解析:(1)函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,须y1=f(x)与y2=a|x|的图象有4个不同的交点.如图所示.由图可知,当y2=-ax(x0)与y1=-x2-5x-4(-4x-1)相切时,方程x2+(5-a)x+4=0有两个相等实数根,则(5-a)2-16=0,且a-50,解得a=1(a=9舍去).所以当x0时,y1=-x2-5x-4与y2=-ax的图象有3个交点,显然当1a2时,两函数的图象恰有4个不同交点,即函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点.故选B.(2)函数f(x)=|2x-3|-8sin x的零点就是函数h(x)=|2x-3|与g(x)=8sin x图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,画出函数h(x)与g(x)的图象,如图,因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x=对称,两个函数的图象共有8个交点,所以函数f(x)的所有零点之和M=8=12.故选D.利用数形结合思想解决最值问题【例5】 已知实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根x1,x2,x1(0,1),x2(1,2).求(1)点(a,b)对应区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.解:(1)由题意知函数y=f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得即即画出可行域,如图由得A(-3,1),由得B(-2,0),由得C(-1,0),所以点(a,b)对应的平面区域为ABC的内部,ABC的面积为SABC=|BC|h=.(2)的几何意义是点(a,b)和点(1,2)连线的斜率,设D(1,2),则kAD=,kCD=1,由图知kADkCD,即1,所以的取值范围为,1.(3)(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点D(1,2)之间距离的平方因为|AD|2=17,|CD|2=8,所以8(a-1)2+(b-2)20时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围为()(A)x|0x2(B)x|x2(C)x|x3(D)x|x1(2)当0x时,4x0可转化为-1x-11,解得0x2.故选A.(2)法一构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,当a1时不满足条件,当0a1时,画出两个函数在0,上的图象,可知,fg,即2,所以a的取值范围为,1.故选B.法二因为0x,所以14x1,所以0a1,排除选项C,D;取a=,x=,则有=2,lo=1,显然4xlogax不成立,排除选项A.故选B.【思维建模】 利用函数的图象解决不等式问题,通常根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数(若函数为不熟悉的形式,需要做适当的变形,转化为熟悉的函数),然后在同一坐标系中做出两个函数的图象,利用图象的位置,找到数量关系,从而解决不等式的问题.热点训练5:(1)(2018全国卷)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是()(A)(-,-1(B)(0,+)(C)(-1,0)(D)(-,0)(2)设函数f(x)=a+,g(x)=x+1,当x-4,0时,恒有f(x)g(x),则实数a的取值范围为.解析:(1)法一当即x-1时,f(x+1)f(2x)即为2-(x+1)2-2x,即-(x+1)-2x,解得x1.因此不等式的解集为(-,-1.当时,不等式组无解.当即-1x0时,f(x+1)f(2x),即12-2x,解得x0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.综上,不等式f(x+1)f(2x)的解集为(-,0).故选D.法二当x0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)f(2x),则需或所以x0,即不等式f(x+1)0得a-5.答案:(1)D(2)(-,-5三、化归与转化思想特殊与一般的转化【例7】 如图,已知四棱锥PABCD的底面为矩形,平面PAD平面ABCD,AD=2,PA=PD=AB=2,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为()(A)2(B)4(C)12(D)8解析:易知AB平面PAD,以平面PAD为底面,AB为侧棱,将四棱锥PABCD补充为如图所示的直三棱柱PADEBC.直三棱柱PADEBC的外接球就是四棱锥PABCD的外接球,因为PA=PD=2,AD=2,所以APD=90,所以PAD外接圆的半径r=AD=,又球心到平面PAD的距离h=AB=1,所以外接球的半径为R=,所以外接球的表面积为S球=4R2=12.故选C.【思维建模】 化一般为特殊的应用把一般问题特殊化,解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果,既准确又迅速.要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量.热点训练6:(1)(2017甘肃兰州一诊)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则S9等于()(A)36(B)72(C)144(D)288(2)过双曲线-=1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R,Q两点,则的值为()(A)a2(B)b2(C)2ab(D)a2+b2解析:(1)法一因为an是等差数列,又a3+a5+a7=3a5=24,所以a5=8.S9=9a5=72.故选B.法二不妨设等差数列an的公差为0,则由a3+a5+a7=24,得a1=an=8,则S9=9a1=98=72.故选B.(2)当直线PQ与x轴重合时,|=|=a.故选A.函数、方程、不等式之间的转化【例8】 (2018惠州市二次调研)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对,则实数k的取值范围是()(A)(-,0)(B)0,(C)(0,+)(D)(0,1)解析:依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,如图,可作出函数y=-ln(-x)(x0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x0)的交点个数为2即可.当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y=,则解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k(0,1)时,函数y=ln x的图象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.故选D.【思维建模】 函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.热点训练7:(1)(2018山东省、湖北省部分重点中学质检)已知函数f(x)=ln +x2,则关于m的不等式f(m-1)-ln 3-0的解集为()(A)-,+(B)0,2(C),+(D)-1,(2)(2018福州市质检)已知函数f(x)对任意的xR都满足f(x)+f(-x)=0,fx+为偶函数,当0x时,f(x)=-x,则f(2 017)+f(2 018)=.解析:(1)由题可知f=ln 3+,所以原不等式可转化为f(m-1)f.易知函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数,且当x(0,1)时,f(x)=ln +x2单调递增,所以|m-1|1,解得m0,2.故选B.(2)依题意,f(-x)=-f(x),f-x+=fx+,所以f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以f(2 017)=f(1)=-1,f(2 018)=f(2)=f+=f-+=f(1)=-1,所以f(2 017)+f(2 018)=-2.答案:(1)B(2)-2正难则反的转化【例9】 (1)若对于任意t1,2,函数g(x)=x3+2x2-2x在区间(t,3)上不是单调函数,则实数m的取值范围是()(A)-,-5(B)-,-5(C)-,-(-5,+)(D)-5,+)(2)(2017广东广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前都放着一枚完全相同的硬币,所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为()(A)(B)(C)(D)解析:(1)g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,g(x)0在(t,3)上恒成立;g(x)0在(t,3)上恒成立.由得3x2+(m+4)x-20,即m+4-3x在x(t,3)上恒成立,所以m+4-3t恒成立,则m+4-1,即m-5;由得m+4-3x在x(t,3)上恒成立,则m+4-9,即m-.所以,函数g(x)在区间(t,3)上不为单调函数的m的取值范围为-m-5.故选A.(2)由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率,四个人抛,共有24=16种不同的情况,其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况,三个人需要站起来有4种情况,四个人都站起来有1种情况,所以有相邻的两个人站起来的概率P=(转化为对立事件求解),故没有相邻的两人站起来的概率P=1-=.故选B.【思维建模】 若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.热点训练8:(1)若命题“x0R,使得+mx0+2m-30”为假命题,则实数m的取值范围是()(A)2,6(B)-6,-2(C)(2,6)(D)(-6,-2)(2)(2017江西师大附中、临川一中联考)在某个微信群里一次抢红包活动中,若所发红包的总金额为10元,被随机分配为1.49元、1.81元、2.19元、3.41元、0.62元、0.48元,共6份,供甲、乙等6人抢,则甲、乙二人抢到的金额之和低于4元的概率是()(A)(B)(C)(D)解析:(1)因为命题“x0R,使得+mx0+2m-30”为假命题,所以命题“xR,使得x2+mx+2m-30”为真命题,所以0,即m2-4(2m-3)0,所以2m6.故选A.(2)因甲、乙两人从六份红包中随机取两份的可能有35=15种,其中金额之和大于等于4的可能有(0.62,3.41),(1.49,3.41),(1.81,2.19),(1.81,3.41),(2.19,3.41)共五种,故甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是P=,低于4元的概率为1-=.故选C.四、分类讨论思想由数学概念、性质、运算引起的分类讨论【例10】 (1)(2017江西师范附属中学模拟)已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2(2)(2017安徽阜阳二模)等比数列an中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,则an的前9项和S9=.解析:(1)当2-a2,即a0时,22-a-2-1=1,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2;当2-a0时,-log23-(2-a)=1,解得a=-,舍去.所以f(a)=-2.故选A.(2)由题意得q2=9,q=3,当q=3时,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;当q=-3时,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以S9=14或26.答案:(1)A(2)14或26【思维建模】 数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论;(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论;(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论.热点训练9:(1)(2018湖南省湘东五校联考)已知函数f(x)=g(x)=x2-2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为()(A)-1,+)(B)(-,-13,+)(C)-1,3(D)(-,3(2)在等比数列an中,已知a3=4,S3=12,则a1=.解析:(1)当-7x0时,f(x)=|x+1|0,6,当e-2xe时,f(x)=ln x单调递增,得f(x)-2,1,综上,f(x)-2,6.若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则有-22g(a)6,即-1a2-2a3-1a3.故选C.(2)设等比数列an的公比为q,当q=1时,an=a1,此时S3=3a1=3a3=12,符合题意.当q1时,S3=a1+a2+a3=+a3=+4=12,即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去),所以a1=16.所以a1=16或4.答案:(1)C(2)16或4由图形位置或形状引