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高三导数复习 导数概念与运算知识清单1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3几种常见函数的导数: ; ; ; .4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|导数应用知识清单1 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a)、(b)；将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。考点1:导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】例1.是的导函数，则的值是 演练例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考点2:曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .（2）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式演练1若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 .演练2过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 .演练3过点（1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 .演练4.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.演练5已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）考点3：导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。【问题3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个. yxO12-13演练1对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1) f (x) 0，则必有f(0)f(2)- 2f(1) 0. 演练2函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)0的解集为 .【问题4】设函数在及时取得极值（）求a、b的值； （）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围演练1已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求： （）的值； （）的值.演练2函数的值域是_.【问题5】设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.考点4：导数的实际应用建立函数模型,利用【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【专题训练与高考预测】1设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .2函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 .3函数的零点所在的区间是 .4函数的单调递增区间是5曲线在点处的切线方程是6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，则a= 7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 . 9.函数y=x3-3x+3在上的最小值是 10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则 . 11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的递增区间是 .12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. 13.若f(x0)=2, _.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.15.函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.17.已知曲线C：y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标.18.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.Key: 导数复习 考点1:导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】是的导函数，则的值是 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.解答过程 故填3.演练例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程由综上可得MP时, 考点2:曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.（2）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故演练1若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 . 考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.解答过程与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.演练2过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 . Key: y=-3x或y=x考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解法1：设切线的方程为又解法2:由解法1知切点坐标为由演练3过点（1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 .解：y=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1, 于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（1，0）在切线上，可解得x00或2，切线的方程为x-y+1=0；3x+y+3=0演练4.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对求导数.解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为， 即 曲线在点Q的切线方程是即 若直线是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即时，解得，此时点P、Q重合.当时，和有且只有一条公切线，由式得公切线方程为.演练5已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，考点3：导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。【问题3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个. Key:1个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.解答过程由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点. 有两个极大值点.演练1对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1) f (x) 0，则必有f(0)f(2)- 2f(1) 0. Key: A.f(0)f(2)2f(1)解：依题意，当x1时，f (x)0，函数f(x)在（1，）上是增函数；当x0，当时，0，故的极小值、极大值分别为， 而故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17。3函数的零点所在的区间是 . Key: 解析：0;f(x)在（0，+）上是增函数，f()=-20,f(1)=e-10, 零点所在的区间是.4函数的单调递增区间是Key: 解析：单调递增区间是5曲线在点处的切线方程是Key: 解析：，切线的斜率为k=-5,切线方程是。6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，则a= Key: 7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是 Key:450 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 . Key:（0，）9.函数y=x3-3x+3在上的最小值是 Key: 110、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则 . Key: b=c=011、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的递增区间是 . Key:（-，2）,（3，+）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. Key:至多有1个元素13.若f(x0)=2, _.Key:解析：根据导数的定义：f(x0)=(这时)答案：114.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_.Key:解析：设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的单调区间_.Key:解析：函数的定义域是x或x2,若a1,函数f(x)在(,+)上是增函数，x2时，f(x)0.函数f(x)在(,2)上是减函数.若0a1, f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三