毕业论文-关于集合可数的若干证明方法.doc

陕西理工学院毕业论文毕 业 论 文题 目 关于集合可数的若干证明方法 学生姓名 学号 所在院(系) 数 学 系 专业班级 数学与应用数学专业2003级4班 指导教师 2007年 5月 22日关于集合可数的若干证明方法（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业2）指导教师： 摘 要 本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:一.依据定义构造无穷序列证明集合可数;二.依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三.通过集合之间取并集来证明有些集合可数;四.用数学归纳法证明集合可数;五.运用转化的思想.通过以上方法的讨论,本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.关键词 可数集;1-1映射;无穷序列 引言集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,对后续的测度论以及Lebesgue积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在数学的各个分支中也有广泛的应用.基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,但集合可数的证明方法无分就几类.本文将主要介绍其中常用的五种方法.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些证明方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍解题方法,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. 预备知识定义2.11 设是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系,使中任意元素,通过都恰与中某一个元素对应,而中任意的元素也一定是中某一通过在中的对应元素,则我们就说和是对等的.记为.定义2.22凡与自然数集对等的集合称为可列集.可列集与有限集统称可数集.定理2.13(CantorBernstein) 若,则.定理2.24 任何无穷集合必有可数子集.基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.定理2.3 设为任意无穷集,为一可数集,且存在满射,则可数.证明 由已知必存在集合,使得在上的限制是一个双射,即存在集合,使得为一个双射,也就是说.又由定理2.2,必有可数子集,即存在,且,也就是说.从而由定理2.1知,又,故即可数.定理2.4 设为任意无穷集,为一可数集,且存在单射,则可数.证明 由已知,而显然为一双射,故.由定理2.2知必有可数子集,即存在,使得,因此由定理2.1知,即可数.定理2.55 若都是可数集合,则是可数的.用数学归纳法不难把定理2.7的结论推广到个集合的情形,即推论2.11 若对于每一个是可数集合,则是可数集合.下面的定理2.6我们再将结论进一步推广到可数个集合的情形.定理2.66 如果的每一个都是可数集合,则也是可数集合.3 关于集合可数的一些证明方法 以下文中例题选自参考文献7,8,9,10.3.1 依据定义构造无穷序列证明集合可数依据上面的定义无穷集合可数与可列等价,那么要证明一个无穷集合可数只要找到其元素的一个无穷序列便可.例3.1 全体有理数构成的集合可数.证明 由于任意有理数都可以用分数表示, 我们构造集合集合序列如下,则这些所有集合的全体元素可做排列,其排列规则为排第一位,当时,排在第位, 将上述排列中的重复元素只取其一个最简形式,便可得到一个全体有理数的无穷序列为,故而由定义可知全体有理数构成一可数集.例3.2 证明直线上以有理数为端点的区间全体所组成的集合可数.证明 设直线上的全体有理点为,令,则中的元素可排列如下：,将以上排列重排成无穷序列如下：.故可数.例3.3 证明整数集可数.证明 整数集中的元素可做如下无穷序列:,故整数集可数.根据定义构造无穷序列来证明集合可数的方法关键在于构造无穷序列,而这其中是有很多技巧的,还要通过多做练习,细加揣摩,还有多注意总结前人的经验才能掌握.3.2 依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数例3.4 直线上互不相交的开区间构成的集合可数.证明 记直线上互不相交的开区间构成的集合为,建立有理数集到的映射如下,对于任意的,由有理数的稠密性知,存在,即存在,使得,故是一个满射,从而根据定理2.3,可数.例3.5 若直线上的集合的任意两点间的距离大于,则集合可数.证明 用点将直线分成可数个闭区间.易知每一个闭区间至多含有已知集合的一个点,因而在集合中的点到闭区间之间存在一个单射,故集合可数.例3.6 直线上的集合称为离散集是指,对任意给定的,存在使得与不相交,即不是的聚点.求证直线上的离散集为可数集.证明 依据题意,使得.于是我们可以建立如下这般映射,其中满足.易见是一单射,而是可数集.从而根据定理2.4知集合是可数集.例3.7 函数的真正极值是指,对于定义域内一点,如果存在,使对于任意均成立,则称为函数的真正极大值,相应的称为的真正极大值点.设为实函数,令,则为一可数集.证明 设为的真正极大值点,选区间,使得为有理数且对于任意的,有,.由真正极大值的定义知映射,为单射.于是由定理2.4为一可数集.此法主要建立在伯恩斯坦定理的基础之上,根据集合对等的定义,通过建立映射来证明集合可数.集合对等的定义中要求两个集合之间存在双射,此方法在伯恩斯坦定理的基础之上得到两个定理,并通过此二定理将集合可数的条件减弱为单射或满射.映射是数学中的一个基本的概念,在数学的各个分支中均可看见映射的踪影,映射也是一个大家都很熟悉的概念,因此在证明集合可数时不妨试试建立映射.此法的关键是建立合适的映射. 3.3 通过集合之间取并集来证明有些集合可数.例3.8 证明平面上坐标为有理数的点组成可数集合.证明 首先记平面上坐标为有理数的点组成的集合为,将（,）中有理数全体排列起来.记横坐标为,纵坐标为有理数的点的全体构成的集合为,显然,而且易知为可数集合,故为可数集合.例3.9 所有系数为有理数的多项式组成一个可数集.证明 记所有系数为有理数的多项式组成的集合为,记次有理系数多项式为,（）.由于多项式由其系数所唯一确定,因此所有次有理系数多项式组成的集合可记为令,易知可数.建立映射显然这是一个单射,于是由定理2.4可数.又,故可数.例3.10 全体代数数所组成的集合可数.证明 首先我们基于这样一个事实,对于任意给定的自然数全体次整系数多项式所组成的集合可数.由代数学知识可知,次多项式至多有个根.从而对于任意自然数,所有次整系数多项式的全体根所组成的集合可数,记为.令,易知即为全体代数数所组成的集合.而且易见可数.例3.11 当取遍所有正整数时,所有进制有限小数组成一可数集. 证明记所有进制有限小数组成的集合为,下证可数.对于任意的给定的,进制有限小数全体显然组成可数集记为,则,由定理2.6知为一可数集.数学中有这么一句话,所谓的复杂问题只不过是简单问题的组合而已.这句话说得有一点夸大,但是对我们处理有些数学问题还是有一些启示的.比如在证明集合可数时,当我们没有办法证明一个比较复杂的集合可数时,不妨把它分解成很多个（当然不能超过可数多个）简单集合的并集,再证明每一个简单集合可数,从而根据定理说明并起来的复杂集合也是可数的.当然分解的时候至多分解为可数多个简单集合.此法的关键是找出合适的简单集合,使之并起来为所要证明的复杂集合.这部分主要是利用定理2.5、2.6以及推论2.1采用分解之法,其它化复杂为简单之法将在3.5有所体现.3.4 用数学归纳法证明集合可数例3.12 维空间中以有理数为坐标的点构成的集合可数.证明 记.当时,是可数集合,命题成立.假设时命题成立,即可数,我们将其表示成无穷序列的形式,其中每一个是一个维向量.给每一个（）添加一个有理数坐标便可以将其扩展成一个维向量,当添加的坐标取遍所有理数时,每一个被扩展成可数个维向量,我们将这可数个维向量组成的集合记为,易见,故可数.综上,由归纳法原理,对于任意自然数,可数.原命题成立.例3.13 可数集合的所有有限子集所组成的集合可数.证明 记为一可数集合,则可以表示为,记,其中对于任意,是的元子集,用表示的所有有限子集所组成的集合,则显然.下面用数学归纳法证明对于任意,可数,从而证明可数.首先显然可数.假设可数,下证可数,中的元素可以按照这样的方式构成,给中的每一个元素集添加一个元素.即给添加一个元素,使之变成,从这个变换过程还可以看出实际上已经建立了一个从到的满射,其中为从变到所添加的那个元素.故可数.综上根据归纳法原理,对于任意自然数可数.其实从以上证明可以看出可数集合的所有可数子集所组成的集合也是可数的.数学归纳法是一个应用很广泛的而又很基本的数学方法,可以说凡是有自然数的地方都可以看到数学归纳法.而在处理与自然数相关的问题时使用数学归纳法也的确会得心应手,需要注意的是数学归纳法基本的三个步骤缺一不可.集合可数的命题中也有很多与自然数相关,尤其是维空间的子集,可谓和自然数直接相关,譬如例3.12,因此在证明此类集合可数时数学归纳法也不失为一种可行之法.3.5 运用转化的思想 解决数学问题的基本的思路之一便是将复杂问题转化为简单问题,将陌生问题转化为熟知问题,将未知问题转化为已知问题.在集合可数性的证明中这一方法也可派上用场.我们通过六个例题简单地介绍了此法,转化与化归的思想方法是初等数学的四大思想方法之一,是一个在大的方向上提供思路的方法,并不能提供具体的解题之招,因此具体的转化技巧的掌握还要经过多练习,多揣摩.例3.14 证明定义在整个数轴上的单调函数之间断点所组成的集合可数.证明 不妨设函数为单调增函数,其间断点的全体记为.由文献10知：.及存在.的充要条件为.,若,则.故每一个对应于直线上的开区间.且由可知这样的开区间是互不相交的,因此可数.例3.15 设是无限集,若从中任意选取不同的数所组成的无穷项正项级数总是收敛的,试证明可数.证明 如果是有限集合的话,则是可数集.下面我们用反证法证明确实是有限集合.假定是无限集,我们从中选取无穷多个数,记为则有,由于级数发散,从而有级数发散.这与题设矛盾,因此假设错误,原命题成立,即是有限集.例3.16 设是上的闭区间族,试证明点集是可数集.证明 我们通过证明是离散集进而说明其可数.为叙述方便我们记,假定是其聚点.则,使得.这已经构成矛盾,故为离散集.例3.17 由自然数组成且公差也是自然数的等差数列之全体组成的集合可数.证明 等差数列的通项公式为,故每个等差数列由其首项与公差所唯一决定.这样便可在等差数列与二元实数对（其中为其首项,为其公差.）之间建立一个一一映射.记如题所述之集合为,则,而后者是一个可数集,从而可数.例3.18 若是上的实值函数,集合的元素满足,在点不连续,但是右极限存在.试证明集合可数.证明 令.对于任意自然数,做.则显然,是的连续点集,故,从而只需指出是可数集即可.任意取定一个,并设,则存在,使得对于任意成立.从而当时,就有.这说明,也就是说中每一个点都可以作为左端点构成开区间,且与不相交.因此当且时,我们有.其实,我们记,且不妨假定,若,则,故,矛盾.所以因此.于是区间族是可数集.我们可以建立到区间族的满射为,故由定理2.3是可数集.例3.19 是上的实值函数,满足及均存在,但.试证明集合可数.证明 令,.则只需证明为可数集即可.下面证明为可数集,对于则情形与类似,同理可得.对任意的,取有理数满足.再取及,使得,以及,合并这两式我们便可以得到,其中且.我们依此便可以建立从到的映射如下,下证其为单射,从而说明是可数集.任取,假定向量,则区间且均含有及于其内,于是我们有以下二式,.而,故得矛盾.这说明确系一单射.例3.20 设为凸函数,则的不可导点组成一可数集.证明 为凸函数,故对于任意的,由文献11有.此外对由文献11有.再由是的增函数,故而由文献10知.同理,存在且满足.根据例3.19的结论便有上的凸函数之不可导点的集合为可数集.应用本文所介绍的方法,简单的集合可数问题的证明就可以顺利解决了.最后一部分主要是体现转化的思想.一个集合的可数性不容易证明时,不妨转化为另一个集合.集合可数的证明有方法很多种,在处理问题时需要根据具体问题选取合适的方法.而且更多的时候用一种方法是很难凑效的,而需要综合好几种方法.例如例3.12总体是数学归纳法,但同时也用到了集合取并集.总之注意多积累、多揣摩、多总结.参考文献1 江泽坚,吴智泉.实变函数论M.北京:高等教育出版社,2003.12-13.2 胡适耕.实变函数M.北京:高等教育出版社,1999.10-17.3 徐森林.实变函数论M.合肥:中国科学技术大学出版社,2006.23-24.4 周民强.实变函数论M.北京:北京大学出版社,2004.19-21. 5 H.L.Royden.Real Analysis,Third EditionM. Beijing:China machine Press,2004.20-21.6 L.V.阿尔福斯.复分析M.赵志勇,薛运华,杨旭.北京:机械工业出版社,2005.45-46.7 Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis,Third EditionM.Beijing:China machine Press,2004.38-39.8 程其襄,张奠宙,魏国强等.实变函数与泛函分析基础M.北京:高等教育出版社,2003.15-27.9 马立新,姜曰华,于宗义.实变函数论复习与解题研究M.青岛:中国海洋大学出版社.1996.12-22.10 谢惠民,钱定边,易法槐,恽自求.数学分析习题课讲义(上册)M.北京:高等教育出版社,2003.103-104.11 华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.北京:高等教育出版社,2004.148-149.Some Method About Proof of the Countability of SetWang Zhonghua(Grade03,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract: This paper mainly discusses five proof method to proove the cou