线性规划教学PPT目标规划.ppt

第五讲 目标规划,目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 目标规划应用举例,第一节 目标规划问题及其数学模型,(1)线性规划是单目标最优化问题; (2)线性规划有最优解的必要条件是其可行解集非空，即各约束条件彼此相容; (3)线性规划数学模型是相对于实际问题的近似。,线性规划问题的局限性,一、目标规划问题的提出,二、目标规划的数学模型,例1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见表6-l。 表6-l,1. 举例,解：设产品i和的产量分别为x1和x2，当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为:,用图解法或单纯形法求解，解得：最优生产计划为x18件，x22件，max z64元。,从线性规划的角度来看，问题已经得到了圆满的解决。 但如果站的角度不同，决策的目标也可能不同。,例2 假设在例 l 的基础上，要求考虑如下意见： (1)由于产品销售疲软，故希望产品的产量不超过产品i的一半； (2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； (3)最好能节约4小时设备工时； (4)计划利润不少于48元。 面对这些意见，决策人员需要会同各有关方面做进一步的协调，最后达成了一致意见：原材料使用限额不得突破；产品产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。 类似这样的多目标决策问题是典型的目标规划问题。,2.目标规划数学模型涉及到的基本概念,（1）偏差变量 对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。按定义应有d+0，d0，d+d0。,（2）绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的约束条件，如线性规划中的约束条件都是绝对约束。绝对约束是硬约束，对它的满足与否，决定了解的可行性。 目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。,（3）优先因子和权系数 不同目标的主次轻重有两种差别。 一种差别是绝对的，可用优先因子 来表示。只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。优先因子间的关系为 ，即 对应的目标比 对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子,它们的重要程度可用权系数的不同来表示。,（4）目标规划的目标函数 目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量、相应的优先因子和权系数构成。 由于目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值,也就是使各有关偏差变量尽可能小，所以其目标函数只能是极小化。,有三种基本表达式： 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值都是不希望的，因此有：, 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望决策值超过目标值，因此有：, 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希望决策值低于目标值，因此有：,例2 假设在例 l 的基础上，要求考虑如下的意见： (1)由于产品销售疲软，故希望产品的产量不超过产品i的一半； (2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； (3)最好能节约4小时设备工时； (4)计划利润不少于48元。 面对这些意见，决策人员需要会同有关各方作进一步的协调，最后达成了一致意见： 1.原材料使用限额不得突破； 2.产品产量要求必须优先考虑； 3.设备工时问题其次考虑； 4.最后考虑计划利润的要求。,1.原材料使用限额不得突破(绝对约束),2.产品产量要求必须优先考虑（p1）,3.设备工时问题其次考虑(p2),4.最后考虑计划利润的要求(p3),根据上述概念，例2的目标规划数学模型如下：,其中，(6.1a)为绝对约束，(6.1b)、(6.1c)、(6.ld)为目标约束。根据题意，p1为两种产品产量要求的优先因子；p2为节约工时要求的优先因子；p3为计划利润要求的优先因子，它们应满足p1p2p3。,目标规划数学模型的一般形式为 ：,模型中gk为第k个目标约束的预期目标值， 和 为 优先因子对应各目标的权系数。 在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系数等，应当综合运用各种决策技术,尽可能地减少主观片面性。,第二节 目标规划的图解法,对于只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束。一般地，若优先因子pj对应的解空间为rj，则优先因子pj+1对应的解空间只能在rj中考虑。即 :,若rj，而rj+1=，则rj中的解为目标规划的满意解，它只能保证满足p1，p2，pj级目标。而不保证满足其后的各级目标。,例3 用图解法解例2的目标规划模型。 解：解题过程见图6-l。,a,b,图6-1中，oab区域是满足绝对约束(6.1a)和非负条件的解空间。对于所有目标约束，去掉偏差变量，画出相应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向 。,例4 用图解法解下面的目标规划。,从图6-2可见，在考虑p1和p2的目标后，解空间r2为四边形abcd区域。在考虑p3的目标时，因为 的权系数比 的大，所以先考虑 。此时，x1和x2的取值范围缩小为四边形abef区域；然后考虑 。但在四边形abef区域内无法满足 0，所以，只能退一步，要求在四边形区域abef中找一点，使 尽可能小，这一点就是点e(6.5,1.25)。所以，问题的满意解为x16.5，x21.25。,在用图解法解目标规划时，可能会遇到下面两种情况。,一种情况是像例3那样，最后一级目标的解空间非空。这时得到的解能满足所有目标的要求。当解不唯一时(如例3，r3为四边形edcf区域)，决策者在作实际决策时究竟选择哪一个解，完全取决于决策者自身的考虑。,另一种情况是像例4那样，得到的解不能满足所有目标。这时，我们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足高级别的目标，同时又使它对那些不能满足的较低级别目标的偏离程度尽可能地小。如在例4中，解空间r3。于是我们在r2(四边形abcd区域)中选择了e点，它满足p1和p2的目标。对p3的目标，它只满足 ，而 未能满足 。至于更低级的p4目标 ，它也不能满足( )。,目标规划的灵敏度分析,在目标规划建模时，目标优先级和权系数的确定往往带有一定的主观性，因此，对它们的灵敏度分析是目标规划灵敏度分析的主要内容。目标规划灵敏度分析的方法、原理同线性规划的灵敏度分析本质上相同，下面通过例子讲述。,例7 对例4的目标规划问题，已求得满意解为x113/2，x2=5/4(见表6-6)。现决策者想知道，目标函数中各目标的优先因子和权系数对最终解的影响。为此，提出了下面二个灵敏度分析问题，即目标函数分别变为： 原目标函数：,原目标函数：,例4 用图解法解下面的目标规划。,从图6-2可见，在考虑p1和p2的目标后，解空间r2为四边形abcd区域。在考虑p3的目标时，因为 的权系数比 的大，所以先考虑 。此时，x1和x2的取值范围缩小为四边形abef区域；然后考虑 。但在四边形abef区域内无法满足 0，所以，只能退一步，要求在四边形区域abef中找一点，使 尽可能小，这一点就是点e(6.5,1.25)。所以，问题的满意解为x16.5，x21.25。,例4 用图解法解下面的原目标规划。,第四节 目标规划应用举例,例：多目标运输问题如下表。目标要求： p1：产地不存货，且销量至少满足一半 p2：满足b1需求，且a4b2尽量少运 p3：总运费最小,解：设ai到bj的运输量为xij x11+ x12 + x13 +d1-d1+=100 x21+ x22 + x23 +d2-d2+=40 x31+ x32 + x33 +d3-d3+=40 x41+ x42 + x43 +d4-d4+=120 x11+ x21 + x31 + x41+d5-d5+=120/2 x12+ x22 + x32+ x42+d6-d6+=140/2 x13+ x23+ x33