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第一篇 静 力 学,第四章的所有例题及习题4-1,2,12,16,19,例1 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接,并各以铰链A、 D连接于铅直墙上,如图所示。已知杆AC=CB,杆DC与 水平线成45角;载荷F=10kN,作用于B处。设梁和杆的 重量忽略不计,求铰链A的约束力和杆DC所受的力。,1. 取AB杆为研究对象;,3. 选坐标系,列平衡方程,解:,2. 作受力图;,SFx= 0 FAx +FC cos45 = 0,SFy= 0 FAy +FC sin45 F = 0,SMA(F)= 0 FC cos45l F2l = 0,4. 求解,FC = 28.28kN,FAx = 20kN,FAy = 10kN,例2 伸臂式起重机如图所示,匀质伸臂AB 重P =2200 N,吊车 D、E连同吊起重物各重F1= F2=4000 N。已知:l =4.3 m, a = 1.5 m,b = 0.9 m,c = 0.15 m, a = 25。 试求A处的约束力,以及拉索 BH 的拉力。,解:,1.取伸臂AB为研究对象,2.受力分析如图,3.选如图坐标系,列平衡方程,SFx= 0 FAx FB cosa = 0,SFy= 0 FAyF1P F2+FB sina = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N,例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示,F1=2 kN,F2=1.5 kN, M =1.2 kNm,l1=1.5 m,l2=2.5 m。 试求支座A及支座B的约束力。,1. 取梁为研究对象,解:,2. 受力分析如图,3. 选坐标系,列平衡方程,SFx= 0 FAx F2 cos60 = 0,SFy= 0 FAy+ FB F1F2 sin60= 0,SMA(F)= 0,FBl2M F1l1F2 sin60(l1+l2) = 0,4. 求解,FB = 3.76 kN FAx = 0.75 kN FAy = 0.461k N,例5 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用,已知载荷集度 (即梁的每单位长度上所受的力)q = 100 N/m,力偶矩 M = 500 Nm。长度AB =3m,DB =1m。 试求活动铰支座 D 和固定铰支座A的约束力。,3.选坐标系,列平衡方程。,SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy F +FD = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FD= 475 N FAx= 0 FAy= 175 N,例6 某飞机的单支机翼重 G=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时, 作用在机翼上的升力 F = 27 kN,力的作用线位置如图示, 其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。,解:,1.取机翼为研究对象,2.受力分析如图,3.选坐标系,列平衡方程。,SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy G +F = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FAx=0 N FAy=-19.2 kN MA=-38.6 kNm (顺时针),例7 组合梁AC和CE用铰链C相连,A端为固定端,E端为活动铰 链支座。受力如图所示。已知: l =8 m,F=5 kN,均布载荷 集度q=2.5 kN/m,力偶矩的大小M= 5 kNm。 试求固定端A,铰链C和支座E处的约束力。,解:,1.取CE段为研究对象,2.受力分析如图,3.列平衡方程,SFy= 0,SMC(F)= 0,4.联立求解,FE=2.5 kN, FC=2.5 kN,6.列平衡方程,SFy= 0,SMA(F)= 0,7.联立求解,FA= 12.5 kN,MA= 30 kNm,5.取AC段为研究对象, 受力分析如图,81 引 言 82 轴力与轴力图 83 拉压杆的应力与圣维南原理 84 材料在拉伸与压缩时的力学性能 85 应力集中的概念 86 失效、许用应力与强度条件 87 胡克定律与拉压杆的变形 88 简单拉压静不定问题 89 连接部分的强度计算,第八章 轴向拉伸与压缩,例8-4,8-11,8-12,8-13及习题8-14,15,16,17,18,例1 已知结构如图示,梁AB为刚性,钢杆CD直径 d = 20 mm, 许用应力 =160 MPa,F = 25 kN。 求:(1) 校核CD杆的强度; (2) 确定结构的许可载荷 F ; (3) 若F = 50 kN,设计CD杆的直径。,解:(1) 校核CD杆的强度,CD杆轴力FNCD:,SMA= 0 FNCD2a F 3a = 0, FNCD = 1.5F,CD杆应力 CD:, CD CD杆强度足够。,(2) 确定结构的许可载荷 F , F = 33.5 kN,(3) 若F = 50 kN,设计CD杆的直径。,圆整,取直径 d = 25 mm。,例2 已知支架如图示,F = 10 kN, A1= A2= 100 mm2。 试求两杆应力。,截面法:取销B和杆1、2的一部分分析,解: 1) 计算两杆轴力,2) 计算两杆应力,受力:F、轴力FN1、 FN2,SFx= 0 FN2 FN1 cos 45 = 0, FN1 = 1.414 F =14.14 kN (拉),SFy= 0 FN1 sin45 F = 0,FN2 = F = 10 kN (压),AB杆:,BC段:,例3 直径为 d =1 cm 杆受拉力F =10 kN的作用。 试求与横截面夹角 30 的斜截面上的正应力和切应力, 并求最大切应力。,解:拉压杆斜截面上的应力,直接由公式求之:,例4 图示结构,BC杆 BC=160 MPa,AC杆 AC=100 MPa, 两杆横截面面积均为 A = 2 cm2。 求:结构的许可载荷 F 。,解:(1) 各杆轴力, FNAC = 0.518F FNBC = 0.732F, F 3.86 104 N= 38.6 kN,SFx= 0 FNBC sin30 FNAC sin 45 = 0,SFy= 0 FNBC cos30 FNAC cos 45 F = 0,(2) 由AC杆强度条件:,0.518F A AC = 2104 100 106, F 4.37104 N= 43.7 kN,(3) 由BC杆强度条件:,0.732F A BC = 2104 160 106,(4) 需两杆同时满足强度条件:应取较小值,F = 38.6 kN,例5 设横梁为刚性梁,杆 1、2 长度相同为 l ,横截面面积分别 为A1、A2,弹性模量分别为 E1、E2,F、a 已知。 试求:杆 1、2的轴力。,解: 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F = 0 (a),2) 变形几何关系,Dl2= 2Dl1 (b),3) 物理关系,代入(b),例5 设横梁为刚性梁,杆 1、2 长度相同为 l ,横截面面积分别 为A1、A2,弹性模量分别为 E1、E2,F、a 已知。 试求:杆 1、2的轴力。,解: 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F = 0 (a),代入(b),联立(a) (c) 解之,注意:静不定问题中各杆轴与各杆的拉压刚度有关。,例6 杆 1、2、3 用铰链连接如图,各杆长为:l1=l2 =l、l3,各杆 面积为A1=A2=A、A3 ;各杆弹性模量为:E1=E2=E、E3。 F、a 已知。 求各杆的轴力。,解: 1) 计算各杆轴力,SFx= 0 FN1sina + FN2sina = 0,SFy= 0 2FN1cosa + FN3 F = 0 (a),FN1= FN2,A1,2) 变形几何关系,Dl1= Dl3 cosa (b),3) 物理关系,(b),代入(b),联立(a) (c) 解之,91 引 言 92 动力传递与扭矩 93 切应力互等定理与剪切胡克定律 94 圆轴扭转横截面上的应力 95 极惯性矩与抗扭截面系数 96 圆轴扭转破坏与强度条件 97 圆轴扭转变形与刚度条件,第九章 扭 转,书上例题和习题9-4,9-18,例1 已知一传动轴为钢制实心轴,许用切应力 = 30 MPa, = 0.3 /m,G = 80 GPa, n = 300 r/min,主动轮输入 PA = 500 kW,从动轮输出 PB =150 kW,PC= 150 kW,PD= 200 kW。 试按强度条件和刚度条件设计轴的直径 D。,解:1.应先作出轴的扭矩图, 确定Tmax, (1) 计算外力偶矩,(2) 各段扭矩,BC段:截面1-1,S Mx=0 T1 + MB = 0, T1 = MB= 4.775 kNm,CA段:截面2-2,S Mx=0 T2 + MB + MC = 0, T2 = MB MC = 9.55 kNm,AD段:截面3-3,S Mx=0 T3 MD = 0, T3 = MD = 6.336 kNm,(3) 绘制扭矩图, CA 段为危险截面:,4.775,9.55,6.336,| T |max = 9.55 kNm,T1 = 4.775 kNm,T2 = 9.55 kNm,T3 = 6.336 kNm,CA 段:|T |max = 9.55 kNm。,2.设计轴的直径 D (1) 强度条件,(2)刚度条件, D 12.34 cm, 圆整,取 D = 12.5 cm,例2 某传动轴转速 n = 500 r/min,输入功率 P1 = 370 kW,输出 功率分别 P2 = 148 kW及 P3 = 222 kW。已知:G = 80 GPa, = 70 MPa, = 1/m。试确定:,解:(1) 外力偶矩、扭矩图,7.066, 4.24,作扭矩图:,(1) AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2? (2) 若全轴选同一直径,应为多少? (3) 主动轮与从动轮如何安排合理?,由强度条件:,(2) AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2,由刚度条件:, 取 AB段直径:d1= 85 mm, BC段直径 :d2 = 75 mm,7.066, 4.24,(3) 若全轴选同一直径时, 取:d = 85 mm,(4) 主动轮与从动轮如何安排合理,将主动轮A设置在从动轮之间:,此时轴的扭矩图为:,| T |max = 4.24 kNm,轴的直径:d = 75 mm,较为合理。,7.066, 4.24, 4.24,2.826,101 引 言 102 梁的计算简图 103 剪力与弯矩 104 剪力方程、弯矩方程与剪力图、弯矩图 105 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系,第 十 章 弯 曲 内 力,书上例题P198-202:10-2,3,4,5 习题10-2,10-5,例1 作图示悬臂梁的 FS 图、M 图,并写出|Fs|max 和|M|max 。,解:(1) FS 方程、M 方程,截面法:,FS 方程:,FS = F ( 0 x l ),M 方程:,M = F x ( 0 x l ),(2) 作FS 图、M 图,F,Fl,可知:,|FS|max = F,x = l 时: |M|max= Fl,位于梁的B截面上。,例2 作图示简支梁的 FS 图、M 图, 并写出|Fs|max 和|M|max 。 。,解:(1) 约束力FA 、FB,SMB(F) = 0 FAl + Fb = 0,FA = Fb/ l,SFy= 0 FA + FB F = 0,FB = F FA = Fa /l,(2) FS 方程、M 方程,AC段:,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 x a ),CB段:,FS = FA F = Fa / l ( a x l ),( a x l ),AC段:,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 x a ),CB段:,FS = FA F = Fa / l ( a x l ),( a x l ),(3) 作FS 图、M 图,AC段:x = 0,FS = 0 x = a ,FS = Fb /l,Fb /l,CB段:x = a,FS = Fb /l x = l ,FS = Fa /l,Fa /l,AC段:,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 x a ),BC段:,FS = FA F = Fa / l ( a x l ),( a x l ),(3) 作FS 图、M 图,AC段:x = 0, M = 0,CB段:,x = a,,x = a ,,x = l , M = 0,Fb /l,Fa /l,由FS 图可知:,称|FS |max、Mmax 所在截面为危险截面。,注意:|FS |max、|M|max不一定为同一 截面。,另外:,C截面:x = a,,CB段:|FS |max= Fa / l,由M 图可知:,在集中力作用处,FS图上有突变,突变值等于集中力数值,突变方向与集中力方向相同。,Fb /l,Fa /l,例3 作图示悬臂梁的 FS 图、M 图,并写出|Fs|max 和|M|max 。,解:由前得FS 方程、M 方程,FS = qx ( 0 x l ),作FS 图、M 图:,由 FS = qx ,FS 图为一斜直线。,( 0 x l ),取点:, ql,M 图为一抛物线。,x = 0, M = 0,x =l /4,,x =l /2,,x =3l /4,,x =l ,,固定端:,x =l, |FS|max = ql,例4 作图示简支梁的 FS 图、M 图。,解:(1) 约束力FA 、FB,SMB(F) = 0 FA= Me/l,SFy= 0 FB = Me/l,(2) FS 方程、M 方程,AC段:,FS = FA = Me/l ( 0 x a ),( 0 x a ),CB段:,FS = FA = Me/l ( a x l ),( a x l ),(3) FS 图、M 图,AC段:,FS = FA = Me/l ( 0 x a ),( 0 x a ),CB段:,FS = FA = Me/l ( a x l ),( a x l ),Me /l,FS 图:为一水平线。,M 图:,AC段:为一斜直线。,x = 0,M = 0,x = a,,CB段:为一斜直线。,x = a,,x = l,M = 0,作梁 FS 图、M 图步骤:,可知:,x = a+,(1) 求梁约束力;,另外:,在集中力偶作用处,M 图上有突变,突变值等于集中力偶矩数值,突变方向与集中力偶矩对其右侧梁的作用效果而定。,(2) 分段写FS 方程、M 方程;,(3) 分段作 FS 图、M 图;,(4) 确定 | FS |max、| M |max 及其所在截面位置。,Me /l,由例题可知 FS 图、M 图的一些特征:,(1) 梁上无均布载荷 q 作用处,FS 图为一水平线,M 图为一直 线,常为斜直线;,(2) 在 q 作用处,FS 图为斜直线,M 图为一抛物线;,(3) 在集中力 F 作用处,FS 图上有突变,M 图上有一折点;,(4) 在集中力偶 Me 作用处,FS 图上无影响,M 图上有一突变;,(5) | M |max可能发生在集中力或集中力偶作用处。,例5 .一简支梁受均布载荷作用,其集度q=100kN/m, 如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解:(1)计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段. AC和DB上无载荷, CD段有向下的均布载荷.,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,AC段 水平直线,CD段 向右下方的斜直线,DB段 水平直线,最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上.,弯曲内力,(2)剪力图,AC段 向上倾斜直线,CD段 向上凸二次抛物线,DB段 向下倾斜直线,弯曲内力,(3)弯矩图,在FS= 0的截面上弯矩有极值,(4)对图形进行校核,在AC段,剪力为正值,弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD段,方向向下的均布载荷作用,剪力为向下倾斜的直线,弯矩图为向上凸二次抛物线.,最大弯矩发生在FS= 0的截面E上.说明剪力图和弯矩图是正确的.,弯曲内力,在DB段,剪力为负值,弯矩图为向下倾斜的直线.,例6. 作梁的内力图(剪力图和弯矩图 ).,解:(1)支座反力,将梁分为AC、CD、 DB、BE 四段.,(2)剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),弯曲内力,DB段 水平直线 (-),EB段 水平直线 (-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x = 5m,弯曲内力,(3)弯矩图,CD段,AC段,弯曲内力,DB段,BE段,(4) 校 核,弯曲内力,111 引 言 112 对称弯曲正应力 113 惯性矩与平行轴定理 114 对称弯曲切应力简介 115 梁的强度条件 116 梁的合理强度设计 117 双对称截面梁的非对称弯曲 118 弯拉(压)组合强度计算,第 十一章 弯 曲 应 力,书上例题和习题11-14,11-15,解:(1) 作 FS、M 图,例1 图示矩形截面木梁,已知 b = 0.12m,h = 0.18m,l = 3m, 材料 = 7 MPa, = 0.9 MPa。试校核梁的强度。,可知: FSmax = 5400 N Mmax = 4050Nm,(2) 校核梁的强度,= 6.25 MPa, ,= 0.375 MPa, , 梁安全。,例2 图示减速箱齿轮轴,已知 F = 70 kN ,d1 = 110mm, d2= 100 mm,材料 =100 MPa。 试校核轴的强度。,12.25 kNm,9.8,解:(1) 作M 图,确定危险截面,C截面:Mmax= 12.25 kNm , 为危险截面,D截面:MD = 9.8 kNm,但其直 径较小,也可能为危险 截面。,(2) 强度校核,C截面:,= 93.9 MPa, ,D截面:,= 99.9 MPa, , 梁满足强度要求。,解:(1) 作 M 图,例3 图示T形截面铸铁梁,已知 Iz = 8.8410-6m4,y1 = 45mm, y2= 95mm,材料 t = 35 MPa,s c= 140 MPa。 试校核梁的强度。,可知危险截面:D 截面、B 截面,D 截面:最大正弯矩 MD = 5.56 kNm,B 截面:最大负弯矩 MB = 3.13 kNm,5.56kNm,= 59.8 MPa, c, 梁安全。, | MD | | MB | , | y2 | | y1 |, |sa | |sd | 即最大压应力 为D 截面上a点。,而最大拉应力为D 截面上b点或B 截面上c点,由计算确定。,stmax= 33.6 MPa t,注意:若将梁倒置,则,stmax= 59.8 MPa t,梁不安全。,(2) 校核梁的强度,5.56kNm,例4 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 t = 30MPa ,许用压应力为c =160MPa. 已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度.,解:,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面, 梁安全。,121 引 言 122 梁的挠曲线近似微分方程 123 计算梁位移的积分法 124 计算梁位移的叠加法 125 简单静不定梁 126 梁的刚度条件与合理刚度设计,第 十二 章 弯 曲 变 形,书上例题12-4,5,7,8和习题12-7,123 计算梁位移的积分法,挠曲线的近似微分方程:,对等截面梁,EIz为常量,,可用积分法求梁的变形:, 梁的转角方程:,梁的挠曲线方程:,方程中积分常数C、D由边界条件或连续性条件确定。,边界条件:梁上某些点的已知变形。,如:,固定端:qA = 0,wA = 0,连续性条件:挠曲线为一条光滑连续曲线,其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。,C截面处: qC+ = qC,铰支座:wA = 0,wB = 0,弯曲变形对称点:qC = 0,wC+= wC,例1 图示悬臂梁,已知F、l,EIz为常数。 试求: qB,wB,解:(1) 弯矩方程,M(x) = F (l x)= Fl + Fx,(2) 近似微分方程并积分,积分:,(3) 确定积分常数,由边界条件:,x = 0 qA = 0, C = 0,x = 0 wA = 0, D = 0,(4) 转角方程、挠曲线方程,(5) 确定 qB,wB,B 截面:x = l,(顺时针),(向下),梁的挠曲线如图示。,例2 图示简支梁,已知F、l、a、b,EIz为常数。 试求:挠曲线方程,C点挠度wC及梁最大挠度,解:(1) 约束力,弯矩方程,AC段: 0 x1 a,SMB(F) = 0,SFy= 0,CB段: a x2 l,取坐标系:,(2) 近似微分方程并积分,AC段:,CB段:,AC段:,CB段:,(3) 确定积分常数,由连续性条件:,q1C = q2C, C1= C2, D1 = D2,w1C = w2C,由边界条件:,C 截面:x1 = x2 = a,AC段:,CB段:,支座A:x1= 0 wA = 0,支座B:x2= l wB = 0,D1 = D2 = 0,= C1,(4) 转角方程、挠曲线方程,AC段:,CB段:,(5) C点挠度wC,C 截面:x1 = a,(向下),AC段:,(5) 确定最大挠度 wmax,若 a b,wmax在AC段中。,在,(向下),令,即:,处有 |w|max,将,代入w1,得:,若 F 在梁中点,a = b = l/2,则 x1= l/2 时:,(向下),积分法求梁变形步骤:,(1) 求约束力,列弯矩方程;,(2) 列近似微分方程并积分;,(3) 由边界条件或连续性条件确定积分常数,建立转角方程、 挠曲线方程;,(4) 由转角方程、挠曲线方程求梁变形。,注意:,(1) 分段正确:载荷变化时分, EIz 不同时分;,(2) 所列弯矩方程正确;,(3) 正确利用边界条件或连续性条件确定积分常数;,(4) 注意 q、w 的
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