2013届江苏省填空题难题汇总(教师版).doc

填空题 难题汇总 02题1(苏锡常镇四市一模) 设mN，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 解 当xZ，且x10时，Z若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点若m0，则令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此时m3，14，30故m的取值集合为0，3，14，30注 将“mN”改为“mN*”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 题2(淮安市一模) 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai+bj=ak+bl，则的值是 解 依题设，有bn+1-bn=a2-a1=1，从而数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列同理可得，an是以1为首项，1为公差的等差数列所以，数列an+bn是以3为首项，2为公差的等差数列所以，=2013变式1 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai-bj=ak-bl，则的值是 略解 依题设，有ai-bj=aj-bi，于是ai+bi=aj+bj，所以an+bn=3，=3变式2 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=，则数列cn的通项公式是 略解 由a2bn=a1bn+1，得，故bn=2n同理，an=，通项公式为题3(常州市一模) 若对任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1，2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为 解 依题意，有0(k-1)x-1(x+1)lnx在x1，2e上恒成立当x1，2e时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是解得k2另一方面，k-1在x1，2e上恒成立令m(x)=，则因1x2e，故0，于是函数为增函数所以0，0，m(x)为1，2e上的增函数所以k-1m(x)min=m(1)=1，k2综上，k=2为所求ABCOEFD图1题4(泰州市一模) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A=，若，则m= (用表示)解法1 如图1，作OEAC交AB于E，作OFAB交AC于F由正弦定理，得 又AOE=OAF=，所以，所以同理，因，故因，故上式可化为，即，所以m=sin解法2 将等式两边同乘以，得，即由正弦定理，得m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin解法3 将已知等式两边平方，得由正弦定理，得m2=sin2A=注意到m0，故m=sin注 1本题虽难度较大，但得分率却较高其主要原因是考生利用了特值法，令ABC为正三角形，即得m=，于是猜测m=sin2题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数f(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)为同一个“友好点对”)已知函数则的“友好点对”有 个xyOx=-1y1y2图2解设x0)在区间上是单调递增函数，则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是 解 令由，得x=0或于是，f(x)的单调增区间为和所以，即00，故g(x)在为增函数因g(10)=0，g(15)=，故方程f(x)=1000的整数解集为11，12，13，14从而对应的实数a亦有4个不同的值题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线上的一个动点，过P作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积的最小值是 解 设P(a，-a3+1)，0a1，则切线方程为y= -3a2x+2a3+1于是两交点分别为(0，2a3+1)，(，0)，令=0，得a=，且可判断此时S取最小值，值为 题9(盐城市一模) 已知函数，设，且函数F(x)的零点均在区间内，则的最小值为 解 =当x0时，；当-1x0时，；当x0，f(-1)=0，故f(0)f(-1)0，g(2)=0，于是g(1)g(2)0，因而g(x)在R上唯一零点在区间(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零点在区间(4，5)上所以，F(x)的两零点落在区间-4，5上，b-a的最小值为9注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具题10(南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值 是 GEABCF图4解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图4，ABC中，E，F分别为底BC与腰AC的中点，BF与AE交于点G，则G为ABC的重心，于是BG=CG=，且AE=3GE所以，当且仅当BGC=，即BGGC时，ABC的面积取最大值2DABCxy图5变式1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0k0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)所以，=，于是，变式2 在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0k1)，AE=l为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ABCPDEOF图6G略解 如图6，因PE=kPD，故EG=kOD因AO=2OD，故，于是因，故，从而=所以，因，故AF=于是，=(当且仅当FA，FB，FC两两垂直时，“”中取“=”)，所以，于是所求的最大值为注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB=2，AC=的ABC的面积的最大值为 题11(无锡市一模) 已知函数f(x)=|x2-2|，若f(a)f(b)，且0ab，则满足条件的点(a，b)所围成区域的面积为 解 易知f(x)在上为减函数，在上为增函数，于是a，b不可能同在上22Oab图7若0ab，则2-a22-b2恒成立，它围成图7中的区域；若0ab，则2-a2b2-2，即a2+b24，它围成图7中的区域综上，点(a，b)所围成的区域恰好是圆a2+b2=4的故所求区域的面积为AxyOy=kxy=sinx2图8题12(高三百校大联考一模) 若函数f(x)=|sinx|(x0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为，则= 解 依题意，画出示意图如图8所示于是，且A(，-sin)为直线y=kx与函数y= -sinx()图象的切点在A点处的切线斜率为，故=tan所以，=2题13(苏北四市二模) 已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是 解 因f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数记g(x)=，h(x)=当x0时，g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011，h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|=所以，f(x+1)-f(x)=所以，f(0)=f(1)f(2)f(3)又当0x1时，f(x)=，故或且aN*，解得a=1，2，3，所以结果为6注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始先研究函数与函数的图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数的图象与性质，并最终得以解决问题 题14(南京市二模) 已知函数f(x)=(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是 解 因xN*，故由f(x)3恒成立，得a，故a当x取最接近于的整数，即x=3时，取最大值，于是a变式 已知函数f(x)=(xN*)，且f(x)min=3，则实数a的取值集合是 略解 首先a另一方面，xN*，使f(x)3能成立，即a能成立，于是a=所以，a的取值集合是题15(盐城市二模) 已知函数f(x)=cosx，g(x)=sinx，记Sn=，Tm=S1+S2+Sm若Tm11，则m的最大值为 解 =1= -1所以，Sn=，Tm=令Tmd=，故2+(-3)22，从而2+(-3)2的取值范围为解法2 依题，B，O，C三点不可能在同条直线上所以=cosBOC(-1，1)又由，得，于是记f()=2+(-3)2=于是，f()2，且f()f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是 解 若a0，则f(x)在x0时为增函数，故对任意正实数k，不等式f(x+k)f(x)恒成立3a-3aOxyka3a-k图13若a0，则函数y=f(x+k)的图象可由函数y=f(x)的图象向左平移k个单位而得(如图13)因k=2011，故仅当20116a时，f(x+2011)f(x)，所以此时0a综上，实数a的取值范围是a0，故由可解得x=1或-1当x0时，a0，且当x=1时，a取极大值，故此时a；当x0，且当x= -1时，a取极小值2，故此时a2综上，实数a的取值范围为题24(南通市最后一卷) 函数f(x)=的最大值与最小值的乘积是 解法1 当x0，1时，f(x)=当x时，f(x)，且当=2时，取“=”，故f(x)的最大值为又因为f(x)为奇函数，故f(x)的最小值为所以所求的乘积为法2 令=0，得x2=函数f(x)的最大值应在x-x30，即0x1或x-1时取得所以f(x)max=maxf()，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，则g()=f(x)=，所求乘积为注 题23与题24有异曲同工之妙，它们都出现了x，x2，x3，x4，经换元后，分别得到了只关于整体变量及的表达式，进而一举解决了问题题25(淮安市四模) 已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值解 f(x)=，f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为x=，同时使第1