2019安徽教师招聘考试-双曲线习题

师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 - 1 - 页 共4页 双曲线习题双曲线习题 1、若椭圆01 22 nm n y m x 与双曲线 22 1 xy ab )0(ba有相同的焦点 F1，F2，P 是两条曲线的一个交点， 则|PF1|PF2|的值是（） A.am B.am 2 1 C. 22 amD.am 2、已知双曲线 1 279 22 yx 与点 M（5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，使PM PF 2 1 最小，则 P 点的坐 标为 3、过点（1，3）且渐近线为xy 2 1 的双曲线方程是 4、两共轭双曲线的离心率分别为 21,e e，证明： 22 12 11 ee =1. 5、设 CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 6、如图， 1 F和 2 F分别是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点，A和B是以O为圆心，以 1 FO为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（） （A）3（B）5（C） 2 5 （D）31 7、直线l过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点，斜率 k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率 e 的范围是（） A.e2B.15 8、设P为双曲线 2 2 1 12 y x 上的一点， 12 FF，是该双曲线的两个焦点，若 12 |:| 3:2PFPF ，则 12 PFF的面积为 （） A6 3B12C.12 3D24 9、双曲线1 22 yx的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为（） A.12 xyB.22 xyC.32 xyD.32 xy 10、在双曲线1 2 2 2 y x上，是否存在被点 M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说 明理由. 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 - 2 - 页 共4页 答案 1、 【解析】椭圆的长半轴为 12 21mPFPFm， 双曲线的实半轴为 12 22aPFPFa ， 22 1212 1244PFPFmaPFPFma：，故选 A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 2、 【解析】双曲线的右焦点 F（6，0） ，离心率2e ， 右准线为 3 2 lx ：.作MNl于 N，交双曲线右支于 P， 连 FP，则 1 2 2 PFe PNPNPNPF.此时 PM 137 5 225 P FP MP NM N 为最小. 在 1 279 22 yx 中，令3y ，得 2 122 3.xxx 0，取2 3x .所求 P 点的坐标为2 33（， ）. 3、 【解析解析】设所求双曲线为 2 2 1 4 x yk 点（1，3）代入： 135 9 44 k .代入（1） ： 222 2 354 1 443535 xyx y 即为所求. 4、 【证明证明】双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 222 2 11 22 ccab ee aaa ； 双曲线 22 22 1 xy ba 的离心率 222 2 22 22 ccab ee bbb . 22 222222 12 11 1 ab eeabab . 5、 【证明证明】如图设等轴双曲线方程为 222 1xya， 直线 CD：y=m.代入（1） ： 22 xxm .故有： 2222 ,CxmmDxmm. 取双曲线右顶点,0B a.那么： 2222 ,BCxma mBDxma m 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 - 3 - 页 共4页 2222 0,BC BDaammBCBD .即CBD=90. 同理可证：CAD=90. 6、 【解析】设 AB 交 x 轴于 M，并设双曲线半焦距为 c，ABF2是等边三角形， 3 ,. 22 c OMMAc点 3 , 22 c Ac 代入双曲线方程： 2 2222222222222 3 34 44 c baca bccaa caca.化简得： 4224422 84084042 331ca caeeee. （e1， 2 42 3e 及31e 舍去）故选 D. 7、 【解析解析】如图设直线l的倾斜角为，双曲线渐近线 m的倾斜角为.显然。当时直线l与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由 22 2 2 tantan245 bca e aa . 双曲线中1e ，故取 e5 .选 D. 8、 【解析解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,2 3,13abc.设； 1212 3 ,2 .22,2.PFr PFrPFPFar 于是 222 121212 6,4.52PFPFPFPFFF， 故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90. 1 2 12 11 6 412 22 PF F SPFPF .选 B. 9、 【解析解析】设弦的两端分别为 1,12,2 ,A x yB x y.则有： 22 222211 1212 1212 22 121222 1 0 1 xyyyxx xxyy xxyyxy . 弦中点为（2，1） ， 12 12 4 2 xx yy .故直线的斜率 1212 1212 2 yyxx k xxyy . 则所求直线方程为：12223yxyx ，故选 C. 10、如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 【错解】假定存在符合条件的弦 AB，其两端分别为：A（x1，y1） ，B（x2，y2）.那么： 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 - 4 - 页 共4页 22 11 12121212 22 22 1 1 1 2 01 12 1 2 xy xxxxyyyy xy . M（1，1）为弦 AB 的中点， 12 12 1212 1212 2 02 2 AB xx yy xxyyk yyxx 代入 1 ：2， 故存在符合条件的直线 AB，其方程为：12121yxyx ，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 其一：将点 M（1，1）代入方程1 2 2 2 y x，发现左式=1- 11 22 1，故点 M（1，1）在双曲线的外部；其二： 所求直线 AB 的斜率2 AB k，而双曲线的渐近线为2yx .这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然 所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 2 2 2 22 1 221224302