空气中PM2.5问题的研究数学建模论文.docx

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛规则（一下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 毛申申 2. 马甜甜 3. 安兴雪 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张新功 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格）。日期： 2014年 9 月 2 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：空气中PM2.5问题的研究 摘要 新鲜的空气是生命繁衍和人类发展的理想环境，因此，空气质量的监测对地球村民的生活与发展具有重要的意义.本文采用相关系数分析法和多元回归分析法，建立微分方程扩散模型和费用最小化模型对空气中PM2.5浓度进行了一系列的研究.对于问题（1），应用相关系数分析法和逐步回归分析法，对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，可得出大气中的臭氧与其它检测指标之间的相关系数较低，具有较强的独立性，CO的含量对PM2.5含量具有较大的影响，并采用逐步回归法分析与其它指标之间的相关关系.对于问题（2），利用Matlab2012a软件，可得出该地区内PM2.5的时空分布及规律。建立微分方程扩散模型，采用多元回归分析法，可得该地区PM2.5的发生和演变（扩散与衰减等）规律.经过计算，草滩，临潼区、广运潭、纺织城和阎良区是可能的安全区域，而其它地区是重度污染区域.对于问题（3），按照每年减少相等的PM2.5比例，求出年减少量，并根据问题（1）求解出的PM2.5与其它地区的检测指标之间的相关性及其关系，求出每年减少3.3%，每年减少4.45%，PM10每年减少8.9%.建立费用最小化模型，利用Lingo11.0软件经过计算，可得该地区五年的总投入经费为305.025百万元，每年的投资金额为61.005百万元，其中专项治理费用为12.005百万元，综合治理费用为49百万元.关键词 相关系数分析；逐步回归分析；多元回归分析；微分方程扩散模型；费用最小化模型；MATLAB2012a；Lingo11.0 1 问题重述 大气为地球上生命的繁衍与人类的发展提供了理想的环境.它的状态和变化，直接影响着人类的生产、生活和生存.空气质量问题始终是政府、环境保护部门和全国人民关注的热点问题.在环境空气质量标准(GB30952012)的规定中，启用空气质量指数AQI作为空气质量监测指标，以代替原来的空气质量监测指标空气污染指数API (Air Pollution Index).原监测指标API为无量纲指数，它的分项监测指标为3个基本指标（二氧化硫SO2、二氧化氮NO2和可吸入颗粒物PM10）.AQI也是无量纲指数，它的分项监测指标为6个基本监测指标（二氧化硫SO2、二氧化氮NO2、可吸入颗粒物PM10、细颗粒物PM2.5、臭氧和一氧化碳CO等6 项）.新标准中，首次将产生灰霾的主要因素对人类健康危害极大的细颗粒物PM2.5的浓度指标作为空气质量监测指标 .新监测标准的发布和实施，将会对空气质量的监测，改善生存环境起到重要的作用.由于细颗粒物PM2.5进入公众视线的时间还很短，在学术界也是新课题，尤其是对细颗粒物PM2.5及相关的因素的统计数据还太少，对细颗粒物PM2.5的客观规律也了解得很不够.但是相关研究人员绝不能因此而放慢前进的脚步，不能“等”数据，因为全国人民等不起.我们必须千方百计利用现有的数据开展研究，同时新课题、探索性研究、“灰箱问题”也有可能成为数学建模爱好者的用武之地， 据数据研究以下问题.（1）请依据附件1或2中的数据或自行采集数据，利用或建立适当的数学模型，对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析.（2）请依据附件2和3中的数据或自行采集某地区的数据，描述该地区内PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的环境空气质量标准分区进行污染评估.建立能够刻画该地区PM2.5的发生和演变（扩散与衰减等）规律的数学模型，合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响，并利用该地区的数据进行定量与定性分析.假设该地区某监测点处的PM2.5的浓度突然增至数倍，且延续数小时，请建立针对这种突发情形的污染扩散预测与评估方法.并以该地区PM2.5监测数据最高的一天为例，在全地区PM2.5浓度最高点处的浓度增至2倍，持续2小时，利用你们的模型进行预测评估，给出重度污染和可能安全区域.采用适当方法检验你们模型和方法的合理性，并根据已有研究成果探索PM2.5 的成因、演变等一般性规律.（3）该地区目前PM2.5的年平均浓度估计为280（单位为）,要求未来五年内逐年减少PM2.5的年平均浓度，最终达到年终平均浓度统计指标,即35（单位为），请给出合理的治理计划，即给出每年的全年年终平均治理指标.据估算，综合治理费用，每减少一个PM2.5浓度单位 ，当年需投入一个费用单位（百万元），专项治理投入费用是当年所减少 PM2.5浓度平方的0.005倍（百万元）.请你为数据1所在地区设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划,同时使经费投入较为合理，要求你给出五年投入总经费和逐年经费投入预算计划，并论述该方案的合理性.2 模型假设 （1）假设附件中所给数据真实可靠.（2）假设PM2.5含量分布与温度无关.（3）假设问题一中PM2.5含量只与题目中考虑的另外5项监测指标有关.（4）气体的扩散看作空中某一连续点源向四周等强度的瞬时气体的释放.（5）忽略PM2.5的垂直分布.（6）假设PM2.5扩散过程中风力大小稳定.3 符号说明 符号符号说明 监测指标与监测指标之间的相关系数 除PM2.5之外的其他5项监测指标 回归系数 时刻在点处某物质的浓度 增加浓度部分的质量 5年内PM2.5浓度的平均下降百分点第年通过治理减少的PM2.5浓度 五年投入到减排PM2.5浓度的总经费4 模型建立与模型求解 4.1 问题（1）的模型建立与求解根据题意，可采用相关系数法，对AQI中的6个基本监测指标进行相关性分析.在实际运用中，最常用的相关系数是由英国统计学家卡尔皮尔逊提出的简单系那个系数，其数学表达式为（模型）在本题中，和为6个基本监测指标中的任意两个.为两变量的240对观测值，分别为和监测指标的个观察值的平均值.指的是监测指标与监测指标的相关系数.在相关分析中，一般根据的数值大小，将两者的密切程度分为以下四个等级，如表1所示.表1：相关系数与相关性的关系相关系数相关性微弱相关低度相关中度相关高度相关然后对PM2.5（含量）与其他5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行逐步回归分析，其步骤如下：（1）设为自变量，即除PM2.5之外的其他5项分指标，为因变量，即PM2.5.（2）建立全部自变量对因变量的回归方程，即（模型）.（3）对个回归系数进行检验，即.其中，为回归平方和，为残差平方和.记求得的值分别为，选取其中最小的值记为，若有，则可考虑将自变量从回归方程中剔除.（4）再对剔除掉的的其他个自变量建立关于因变量的回归方程，重复上述过程，直至回归方程中的自变量的检验值均大于，即没有变量可剔除为止，此时的方程就是最终所需的回归方程. 利用相关分析法计算AQI的六个基本检测指标的相关系数，在Matlab中编写程序如下：for i=1:6 for j=1:6A,B,R(i,j)=canoncorr(AQI(:,i),AQI(:,j) endend即可计算出各个基本检测指标之间的相关系数，如表2所示.表2：AQI的各个基本检测指标之间的相关系数相关系数二氧化硫二氧化氮可吸入颗粒物一氧化碳臭氧PM2.5二氧化硫10.8066170.6769130.6586530.1789210.726009二氧化氮0.80661710.7242460.6263320.0626950.734154可吸入颗粒物0.6769130.72424610.5821190.0607000.773214一氧化碳0.6586530.6263320.58211910.381164880.822386臭氧0.1789210.0626950.0607000.38116410.352130PM2.50.7260090.7341540.7732140.8223860.3521301由上表中AQI的各个基本检测指标之间的相关系数可以看出各个基本检测指标之间的相关性，如下表3所示.表3：AQI的各个基本检测指标之间的相关性检测指标检测指标相关性二氧化硫二氧化氮高度相关可吸入颗粒物中度相关一氧化碳PM2.5二氧化氮二氧化硫高度相关可吸入颗粒物中度相关一氧化碳PM2.5可吸入颗粒物二氧化硫中度相关二氧化氮一氧化碳PM2.5一氧化碳PM2.5高度相关二氧化硫中度相关二氧化氮可吸入颗粒物PM2.5一氧化碳高度相关二氧化硫中度相关二氧化氮可吸入颗粒物大气中的臭氧与其它检测指标之间的相关系数较低，具有较强的独立性.为进一步研究PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性，可采用逐步回归分析的方法进行分析.由于PM2.5与臭氧之间的相关性不大，因此，将二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物、一氧化碳和PM2.5之间的相关性分别做逐步回归分析，结果如下图1所示.图1：PM2.5与SO2 、NO2 、CO、臭氧和可吸入颗粒物之间的相关性根据显示结果可以得到：.从表达式可以看出，PM2.5含量与以上5种检测指标之间的关系比重.其中，一氧化碳的含量对PM2.5含量具有较大的影响，在MATLAB中编写程序（见附录一），描绘出PM2.5与其它相关指标的图形，如下图2所示.图2：NO2 、PM10、CO和PM2.5因此，若要降低PM2.5的含量，需要减少一氧化碳的排放.例如，提倡使用天然气、水电、风能、核能和太阳能等清洁资源，尽量减少煤炭、重油和废料.4.2 问题（2）的模型建立与求解4.2.1依据附件2和3中的数据进行处理，可以得出该地区内PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的环境空气质量标准分区进行污染评估该地区内PM2.5在1-4月份的的时间分布如下图a-m所示. a b c de f g hi jk l m图2：该地区内PM2.5的时间分布图根据以上分布图可以看出，该地区在1-4月份期间，PM2.5每天的波动性较大，其中3、4月份的PM2.5整体比1、2月份要低.运用百度地图，找到西安市的地图，以长安区为中心，建立直角坐标系，利用测距工具，可以测量出附件2中的13个检测点的相对坐标，如下表4所示.表4：该地区13个检测点的相对坐标检测点横坐标纵坐标检测点横坐标纵坐标高压开关厂-3.512经开区2.918.3兴庆小区9.312.3长安区00纺织城15.88.6阎良区33.755.4小寨4.47.6临潼区29.324.5市人民体育场4.111.7广运潭16.121.1高新西区1.37.4曲江文化集团10.23.3草滩-25.140.2进一步求解出将附件2中的13个检测点每个月的平均值，如下表5所示.表5：1-4月份各检测地点PM2.5平均值检测地点1月份2月份3月份4月份高压开关厂263269181138兴庆小区239260161116纺织城236233178102小寨221235140102市人民体育场250289172115高新西区272265170122经开区279217150108长安区213241155108阎良区21324115598临潼区232218145101曲江文化集团27419615599广运潭242258167130草滩286260174119根据上表中的数据可以描绘出PM2.5在1-4月份期间内的时空分布，如下图a-d所示，在MATLAB中编写程序（见附录二）.a bc d图3：PM2.5在1-4月份期间内的时空分布图由以上4幅图可以看出，在1月份和3月份时西南方向（即高新西区、经开区和高压开关厂）的PM2.5较高，在 2月份和4月份时西南方向和东北方向（即纺织城、阎良区和临潼区）的PM2.5较高. 根据环境保护部最新修订的环境空气质量标准，将附件2中的13个检测点的每个月的检测指数平均值计算出来，并判断在2类区的范围内，各检测指标是否达标，高压开关厂的各检测指标达标情况如下表6所示.表6：高压开关厂1-4月份的各检测指标达标情况1月份2月份3月份4月份SO2超标达标达标达标NO2超标超标达标达标PM10超标超标超标超标CO超标达标达标达标O3达标达标达标达标PM2.5超标超标超标超标由上表可看出，在1、2月份高压开关厂的空气质量较差，PM10、PM2.5污染较为较重，在1-4月份均超标.按照上述做法，可依次计算出其它检测地点的污染状况.兴庆小区、纺织城、小寨、市人民体育场、高新西区、经开区、长安区、阎良区，临潼区、曲江文化集团、广运潭和草滩在1-4月份中PM10和PM2.5均超标，另外临潼区、曲江文化集团、广运潭在1月份中NO超标，曲江文化集团在1月份中CO超标，广运潭在2月份中CO超标，草滩在1、2月份中CO超标.4.2.2考虑到该地区PM2.5的发生和演变（扩散与衰减等）规律，建立偏微分模型来分析问题.假设有一扩散源，某物质从此扩散源向四周开始扩散，沿和三个方向的扩散系数分别为常数，衰减（例如吸收、代谢等）使质量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为零，估计物质的分布.（模型）微分方程模型：设是时刻在点处某物质的浓度.任取一个闭曲面，它所围区域为 ，由于扩散，从到时刻这段时间内，通过流入的质量为 .其中，分别是沿想方向的扩散系数.由高斯公式.由于衰减，内的质量减少为.其中，为衰减系数.由物质不灭定律，在t到时刻，在区域内由于扩散和衰减的合作用，积存于内的质量为.换一个角度看，在到时刻，在区域内由于浓度的变化引起的质量增加为 .由的任意性可得：.上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是衰减扩散过程的数学模型.对于具体问题，还需要有相应的初始条件与边界条件等才能求得确定情况下的答案.Cauchy问题的求解：设扩散源点在点（）处，则此扩散问题满足Cauchy问题，即 .其中，为扩散源的质量，用傅里叶变换可求得Cauchy问题的解析解为.若假设经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布出于平衡状态，则，于是有线性椭圆形方程的边值问题，即有.也可用傅里叶变换求解.为了使上述偏微分方程更符合本题所要讨论的实际情况，则需要对偏微分方程进行修正.因PM2.5均匀分布于大气中，所以不考虑其垂直分布，只对平面上的分布进行分析，此时，解析解的式子就变为.对上式中出现的参数进行估计.已知条件： 点源（扩散源）的质量为 ； 点源（扩散源）的位置为（）； 时刻的观测取样值（），为时刻（）处物质的浓度，.首先考虑取样时刻，事实上，取样时刻是未知的，但若取样时刻为 ，作变量替换，则有，从而有，即.上式仍然是常系数线性抛物型方程，与有衰减的扩散过程的数学模型形状完全一致，故可令观测取样值得取样时刻为，于是（）满足.其次考虑参数估计，对上式两端取对数，有.则有关系式：.由于获得的观测取样值可以转化为相应的观测取样值，于是利用多元回归分析可以求出的估计值，从而得到的估计值.最后，将参数的估计值代入就得到的近似表达式.利用已有的数据进行多元回归分析，在此选取2013年4月26日的天气来进行分析，这一天天气晴，有西北风和东风，并且在这一天中高新西区的PM2.5最高.假设高新西区为PM2.5的扩散源，经过多元回归分析，=-0.1118 ，=-0.0165,扩散系数分别为8.9和60.6.4月26日当天PM2.5扩散的模拟图与实际分布图如下图4所示，相关程序见附录三.图4：PM2.5扩散的模拟分布图图5：PM2.5扩散的实际分布图从图中可以看出这一天西南方向的PM2.5较高，因为当天的风向为西北风和东风，PM2.5是指环境空气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，而这些颗粒物在风的作用下将会放生转移，于是会出现上图所示的结果.PM2.5在空气中传播时遇到雨水会使PM2.5减少，以2013年4月4日为例，天气小雨，有西南风和西风,以高压开关厂为扩散源，经过多元回归分析，得到 =0.0147,=0.0420,扩散系数分别为68、24，衰减系数为0.08,通过4月4日和4月5日的PM2.5值的比较，发现经过雨水的作用，4月5日PM2.5的值明显减少.如下图6所示.图6：2013年4月4日与5日的PM2.5值根据附件2和3中的数据显示，全市PM2.5最高的一天是2013年2月10日，即PM2.5为500，天气情况为多云，无持续风向，而在这一天，有6个检测点的PM2.5达到了500，下图是当日PM2.5的分布，如图7所示.图7:2013年2月10日PM2.5的分布4.2.3 根据题意，考虑风力、湿度时PM2.5含量带来的影响时，应由具体数据对系数进行修正. 该地区PM2.5的演变（扩散与衰减等）规律为（模型）.其式子中t的计算是以天为单位的，而本题要求持续2小时的扩散情况，则需将转化为.假设在之前的13个检测点都不再扩散前提下只考虑突增浓度的扩散，则有.其中，为增加浓度部分的质量.假设高压开关厂的PM2.5突然增至2倍，持续两小时，根据天气情况，PM2.5在无风的条件下自由扩散，下图是检测点的相对位置.图8：高压开关厂的PM2.5的检测点位置根据模型经过计算，由于距离和在扩散过程中PM2.5浓度的降低，草滩，临潼区、广运潭、纺织城和阎良区是可能的安全区域，而其它地区是重度污染区域.4.2.4选定某下雨天情况下的PM2.5来进行检验，选择2013年4月19日，天气情况为小雨/多云，根据问题（2）第二问的的计算结果，可以预测出4月20日的PM2.5的值，如下图所示.图9：19日与20日PM2.5预测值与实际值比较根据图形来看，预测结果与实际值有些差距，可能是由于当天的温度和检测地点以及污染物排放量有关.由以上求解可以总结出PM2.5的成因及演变规律：（1）从化学角度而言，PM2.5组成一般分为可溶性组分、元素组分和碳质组分，PM2.5的来源大致有三种：第一是直接以固态形式排出的一次颗粒物，主要包括EC和土壤尘等；第二是在高温状态下以气态形式排出，在烟雨的稀释和冷却过程中凝结成固态的颗粒物；第三是由气态的等潜体物通过与大气反应而生成的二次颗粒物.（2）PM2.5的分布会受到风力的吹蚀，雨水的冲涮作用以溶解一些小颗粒物，使PM2.5降低.4.3问题三的模型建立与求解4.3.1 根据研究表明，PM2.5成因复杂，约50%来自燃煤、机动车、扬尘和生活物质燃烧等直接排放的一次细颗粒物；约50%是空气中的二氧化硫、氮氧化物、挥发性有机物和氨等气态污染物，经过复杂的化学反应形成的二次细颗粒物.假设每年PM2.5减少的比例相同，则该地区目前PM2.5的年平均浓度估计为280，5年后的平均浓度为35，即280=35.其中，表示每年下降的比例，经计算可得=0.34，所以该地区的PM2.5每年下降34%，具体如下表7所示.表7：该地区PM2.5的年治理量第1年第2年第3年第4年第5年PM2.5降低95.262.841.472718.2PM2.5值184.8121.9780.553.535根据问题（1）求解出的PM2.5与其它地区的检测指标之间的相关性及其关系，可以计算出每年减少3.3%，每年减少4.45%，PM10每年减少8.9%.根据各污染物的来源，同时要对一次性细颗粒物的排放做出控制，主要是工业烟粉尘减排比例为12%，重点行业现役员挥发性有机物排放削减比例为10%. 4.3.2 据估算，综合治理费用，每减少一个PM2.5浓度单位 ，当年需投入一个费用单位（百万元），专项治理投入费用是当年所减少 PM2.5浓度平方的0.005倍（百万元）.依据附件1给出的数据，为所在地区设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划,同时使经费投入较为合理.设第年综合治理减少个PM2.5浓度单位，则由题意，五年投入总经费为（模型）.其中，.在lingo11.0中，编写程序如下：model:min=0.005*x12+0.005*x22+0.005*x32+0.005*x42+0.005*x52+x1+x2+x3+x4+x5;x1+x2+x3+x4+x5=245;end经过计算，可以得到每年减少49个PM2.5浓度单位，五年的总投入经费为305.025百万元，每年的投资金额为61.005百万元，其中专项治理费用为12.005百万元，综合治理费用为49百万元.这种治理方案在五年总的经费最少，每年降低的PM2.5浓度值是相等的，这样，PM2.5逐年降低是稳定的，降低污染物排放的量是稳定的，有利于经济的健康发展，因此，此方案是较为合理的.5模型评价 本文采用相关分析法，逐步回归分析法和多元回归分析法，并建立微分方程扩散模型和费用最小化模型等对PM2.5相关问题作了研究.其中，对于问题一，利用相关分分析法研究PM2.5与其它5项分指标之间的相关性，并用逐步回归分析法，研究与5项分指标之间的关系.对于问题二，利用微分方程扩散模型和多元回归分析对PM2.5的演变进行研究.对于问题三，建立费用最小化模型进行了求解.本文模型构建与假设合理，结果较好.但本文也存在一些不足之处，一方面，在问题一的求解中，没有考虑PM2.5与温度和雨水的相关关系；另一方面，在问题二中的PM2.5的发生与演变模型中没有考虑季节因素，有待进一步改进.6 模型改进基于本文的研究，可进一步对模型进行改进，考虑温度与PM2.5的相关性以及与温度的关系，根据附件2中和3中的数据，在MATLAB中编写程序（附录四）可以画出PM2.5与温度的关系图，如下图10所示.图10：2013年3-4月份PM2.5与温度的变化在Matlab中，编写程序如下：for i=1:3 A,B,R(i,1)=canoncorr(wenpm(:,i),wenpm(:,4)end通过定量分析，可以计算出3-4月份的最高温度，最低温度和温差与PM2.5之间的相关系数分别为0.1632、0.0063、0.2159.因此分析可得PM2.5的含量分布与温度有关系.参考文献1 重点区域大气污染防治“十二五”规划 国函2012146号.2 唐孝炎.大气环境化学M.北京：高等教育出版社，2006.3 袁新生.Lingo和Excel在数学建模中的应用M.北京：科学出版社,2007.4 卓金武.MATLAB在数学建模中的运用M.北京：北京航空航天大学出版社,2011.2.5 房少梅.数学建模理论、方法及应用M.北京：科学教育出版社,2013.6 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社.7 梅宁，尹凤，陆虹涛.湿度变化对气体污染