数学分析专题研究学习辅导(五).doc

蚆肆罿蒆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅蝿芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿葿羂羈蕿薁螅芇薈螃羁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薃袂袀膆蚃薂肆肂艿蚄袈羈芈袇肄莆芇薆羇节芆虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿莃蚅螆膅莂螇羂肁莁蒇螄肇莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肆罿蒆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅蝿芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿葿羂羈蕿薁螅芇薈螃羁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薃袂袀膆蚃薂肆肂艿蚄袈羈芈袇肄莆芇薆羇节芆虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿莃蚅螆膅莂螇羂肁莁蒇螄肇莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肆罿蒆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅蝿芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂蕿葿羂羈蕿薁螅芇薈螃羁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薃袂袀膆蚃薂肆肂艿蚄袈羈芈袇肄莆芇薆羇节芆虿膂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿莃蚅螆膅莂螇羂肁莁蒇螄肇莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肆罿蒆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅蝿芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂 数学分析专题研究学习辅导（五）第二章 数 集（一） 教学要求 1.理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。 2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。 3. 理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。 4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。 5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。 6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。 重、难点解析 重点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。 难点：数集扩充的方法。 (一) 关于自然数集 随着历史的发展，数的概念随之也在不断扩展，使得以集合论为基础的数集，从自然数集开始扩充，逐步建立起严密、科学的数系的理论. 在学习本节之前，应该先复习第一章中的集合概念和相关知识，为学习本节内容打好基础. 在学习本节内容时要理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律. 在学习自然数集时应该注意以下几点：1自然数是非空有限集合A的基数. 因为A是非空集合，即A，且的基数是0，所以0不属于自然数. 也因为A是有限集合，所以它的基数是一个可以写出的、唯一确定的数. 2自然数集N是由自然数组成的集合. 且对任意自然数n，有n1，所以1是自然数集N的最小元. 3自然数集N是一个无限集合，即它含有无穷多个元素. 因为设集合M =2kkN，则MN，且存在1N，而1M ，故M是N的真子集.建立自然数集N到集合M的一个映射 f：NM，f(k)=2k，则f 是从N到M的一个双射. 所以N是无限集合. 4因为对于任意两个自然数m,n，那么mn或m = n或mn有且仅有一种情况成立.由第一章中的序关系定义可知，自然数集N是一个全序集合. 5. 因为自然数集可以表示为N=1, 2, 3, , n, ，所以N是可列集. 且与自然数集N等势的集合都是可列集.任何无限集一定含有可列子集.6在自然数的加法定义中，只有当集合A，B是互不相交的，即AB =，或者说集合A，B没有公共元素，则集合A，B的基数(= a，= b)才能相加a + b，否则不能相加. 同理，在乘法的定义中，集合，中任何两个的交集都是空集，也就是说它们之间没有公共元素，而且这b个集合是等势的，即=，= a，否则也是不能做乘法的. (二) 关于整数集 由上一节知道，两个自然数的差未必是一个自然数，即在自然数集中，减法未必总是能够实施的. 为此，我们必须对自然数集进行扩充. 在这一节中，主要讨论如何将自然数集扩充为整数集，使得减法运算能够实施. 在学习本节之前，应该先复习第一章中的笛卡尔集、等价关系和序关系等概念，为学习本节内容打好基础. 在学习本节内容时要理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构和代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性. 在学习整数集时应该注意以下几点： 1在整数集Z= ZZ/R 的定义中，Z是把“0”添入自然数集后所得到的数集，叫做扩大的自然数集. 在Z中加法和乘法运算规定为：n + 0 = 0 + n = n , n0 = 0n = 0 .减法和除法运算是加法和乘法运算的逆运算，即n - 0 = n，n - n = 0 , 0 - 0 = 0 , 0n = 0 . 2在定义Z =m ,n|m ,nZ中的m ,n是一个二元有序数偶，即当mn时，m ,nn ,m.而且，按照Z中规定的序，Z中的大小关系应该是：m,n()k,l m + l()k + n.特别地：m,nk,n m k，m,nm,l n l.因此，要注意“”右面表达式中的数字在左面数组中的位置. 3整数p，q与m, n的减法运算为：p, q-m, n=n+ p, m+ q，也就是说在整数加减运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数. 这是因为 p, q-m, n=n+ p, m+ q =p, q+n, m=p, q+(-m, n). 4由于整数集可以表示为Z =m,0|mZ0, m|mZ.我们规定：0 = 0, 0， m = m, 0， - m = 0, m又因为m, n= m, 0+0, n=m, 0-n, 0=m- n, 0.故Z = , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, 因此，整数集是可列集. (三) 关于有理数集 由前二节知道，在自然数集或整数集中，除法未必总是能够实施的. 为此，我们必须对整数集进一步扩充. 本节主要讨论如何将整数集扩充为有理数集，使得除法运算能够实施. 在学习本节内容时要了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示. 在学习有理数集时应该注意以下几点： 1在有理数集的定义： Q=ZZ/R中，等价关系R是集合ZZ中的一个关系， (a ,b)R(c ,d)ad = bc其中集合Z=bbZ，b0，它是去掉整数集中的0元素后得到的集合，即Z= , -n, , -2, -1, 1, 2, , n, .因此，有序数偶(a ,b)与(c ,d)的第二个元素b0，d0(这一点要特别注意). 这样就可以把关于R的(a,b)的等价类记作,称之为一个有理数，而把所有有理数组成的集合Q = ZZ/R 称为有理数集. 2有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的. 设和是两个有理数，那么有理数集上的四则运算公式为 + = ， - = ， = ， = (c0).注意，做除法运算时，除数0. 3两个有理数a =,b =的大小，可以通过它们的分子、分母分别相乘后的两个数kn与ml的比较得知，即当关系式 kn ml 时，得 ab. 设a，b为任意两个有理数，那么ab，或a = b，或ab有且仅有一种情况成立. 4对有理数中无限循环小数的表示，补充如下两个概念： 称形如 的无限循环小数为纯循环小数，其中(j=1,r)都是0，1，9的数字 称形如 的无限循环小数为混循环小数，其中(i=1,，m)与(j=1,n)都是0，1，9的数字 5如果把有限小数和整数也看作是循环小数，即=， 那么，对任意一个有理数，(p , q) = 1，都存在唯一一个循环小数与之对应，即=因此，有理数集Q与循环小数集是一一对应的，在具体计算中可以互相替换. (四) 关于实数集 由前一节知道，循环小数集与有理数集一一对应，即无限循环小数等价于有理数. 但是，无限小数除了循环小数外，还有许多是无限非循环小数. 所以，我们还要对有理数集进行扩充. 首先把无限非循环小数定义为无理数，并把有理数与无理数同称为实数. 在学习本节内容时要知道是无理数，会应用实数的四则运算和算律，理解实数集的连续性. 在学习实数集时应该注意以下几点： 1可以证明一个有理数与一个无理数经过加、减、乘、除四则运算后得到的结果是一个无理数，但是任意两个无理数经过四则运算后得到的结果不一定是无理数. 如1-，1+，2等都是无理数，而 +(1-)=1，-(1+)=-1，2=4，2=2等都是有理数. 2由实数稠密性的证明可知，不仅有理数在实数集中是稠密的，无理数在实数集中也是稠密的 3本节的无理数的证明和一些定理的证明是比较长，也是比较难的，因此只要求大家记住这些定理的条件和结果，并能正确应用. 它们的证明过程只需知道即可. 4描述实数集连续性的单调有界定理、闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理和完备性定理，虽然它们的表述的数学形式不同，但它们的实质都是描述实数集的连续性，它们在许多方面都有应用，所以希望大家理解这些定理，并能正确运用 (五) 关于复数集 在实数集中，加、减、乘、除和幂运算都是可以实施的，但是在实数集中开方运算不是总能实施的，如负数的偶次方根在实数集中不存在，为了使开方运算总能实施，有必要对实数集进行扩充. 在学习本节内容时要知道复数集的序结构和代数结构，掌握复数的四则运算，知道复数域不是有序域. 在学习复数集时应该注意以下几点： 1复集合C=(a,b)aR，bR中的元素偶(a,b)是有序实数对，即当ab时，(a,b)(b,a). 2用元素偶(a,b)定义的复数，乘法运算有特殊规定，即(a ,b)(c ,d)=(ac bd ,ad + bc)等号右边元素偶的第一项ac bd是左边两个元素偶第一项乘积减去第二项乘积，而等号右边元素偶的第二项ad + bc是左边第一个元素偶的第一项与第二个元素偶的第二项的乘积加上第一个元素偶的第二项与第二个元素偶的第一项的乘积. 一定不要误写为(a ,b)(c ,d)= (ac ,bd). 由乘法定义，可以得到复数的除法运算：(a ,b)(c ,d)=()注意等号右边元素偶各项分子上的元素乘积的顺序和加减号与复数的乘法是不一样的. 3. 把复数 z =(a ,b)= a + ib中的两项分别看作是对应与平面直角坐标系中x轴和y轴的上的值，那么 z就是坐标系中的一个向量(如右图). 由此可得复数 z的模为：= r =，辐角=Arg z =Arctan，(02). 4复数的四种等价的表示形式： z =(a ,b) = a + ib =r(cos+isin)= r其中r与分别是复数z = a + ib的模与辐角。 衿袈莂莈袈羁膅蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袅莈蒄羄肇芁螃羄腿蒇虿羃节艿薅羂羁蒅蒁薈肄芈莇蚈膆蒃蚆蚇袆芆薂蚆羈蒁薈蚅膀莄蒄蚄芃膇螂蚃羂莃蚈蚂肅膅薄蚂膇莁蒀螁袆膄莆螀罿荿蚅蝿膁膂蚁螈芃蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿螆膈艿蚇螅袇蒄薃袄羀芇葿袃肂蒂莅袂芄芅螄袁羄肈蚀袀肆莃薆袀腿膆蒂衿袈莂莈袈羁膅蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袅莈蒄羄肇芁螃羄腿蒇虿羃节艿薅羂羁蒅蒁薈肄芈莇蚈膆蒃蚆蚇袆芆薂蚆羈蒁薈蚅膀莄蒄